7. 已知$∠ AOB=40^{\circ }$，过点$O$作射线$OC$，$OD$，使$∠ AOC=∠ BOD=60^{\circ }$，则$∠ COD$的度数为.

7.40°或80°或160°

【分析】本题的核心是射线OC和OD的位置未明确，需运用分类讨论思想，全面考虑射线在∠AOB不同侧的情况，避免漏解。解题时先根据已知角度判断OC、OD不可能在∠AOB内部，再分情况计算∠COD的度数。
【解析】已知∠AOB=40°，∠AOC=∠BOD=60°，由于60°＞40°，射线OC、OD均不在∠AOB内部，分三种情况讨论：
1. 当OC在OB的外侧，OD在OA的外侧（与OC分别在OA两侧）：
∠AOD=∠BOD - ∠AOB=60°-40°=20°，
∠COD=∠AOC + ∠AOD=60°+20°=80°；
2. 当OC在OB的外侧，OD在OA的同侧（与OC都在OA的右侧）：
∠BOC=∠AOC - ∠AOB=60°-40°=20°，
∠AOD=∠BOD - ∠AOB=20°，
∠COD=∠BOC + ∠AOD=20°+20°=40°；
3. 当OC在OA的外侧（左侧），OD在OB的外侧（右侧）：
∠COD=∠AOC + ∠AOB + ∠BOD=60°+40°+60°=160°；
综上，∠COD的度数为40°或80°或160°。
【答案】40°或80°或160°
【知识点】角的计算、分类讨论思想
【点评】本题考查角的计算，核心是分类讨论思想的应用，需全面考虑射线的不同位置，避免漏解，是几何中常见的易错题，需学生具备空间想象和分类意识。
【难度系数】0.5

8. 如图,点$A,O,B$在同一条直线上,$∠ COD=90°$,且$∠ COD$在直线$AB$的上方,将$∠ COD$绕点$O$旋转$(0°＜∠ AOC≤90°)$,射线$OE$是$∠ BOC$的平分线.若$OC$恰好将$∠ AOE$分成了$1:2$的两个角,则$∠ DOE$的度数是
.

8.18°或45°

【分析】
根据点A、O、B共线得∠AOB=180°，OE是∠BOC的平分线，故∠COE=½∠BOC；OC将∠AOE分为1:2的两个角，需分两种情况讨论：①∠AOC:∠COE=1:2；②∠COE:∠AOC=1:2，结合平角性质和角平分线定义计算，最后利用∠COD=90°求∠DOE。
【解析】
分两种情况计算：
1. 当∠AOC:∠COE=1:2时，设∠AOC=x，则∠COE=2x。
因为OE平分∠BOC，所以∠BOC=2∠COE=4x。
由平角定义：∠AOC + ∠BOC=180°，即x+4x=180°，解得x=36°。
则∠COE=2×36°=72°，故∠DOE=∠COD -∠COE=90°-72°=18°。
2. 当∠COE:∠AOC=1:2时，设∠COE=x，则∠AOC=2x。
因为OE平分∠BOC，所以∠BOC=2∠COE=2x。
由平角定义：∠AOC + ∠BOC=180°，即2x+2x=180°，解得x=45°。
则∠COE=45°，故∠DOE=∠COD -∠COE=90°-45°=45°。
综上，∠DOE的度数为18°或45°。
【答案】
18°或45°
【知识点】
角平分线性质，角的和差，平角定义
【点评】
本题需运用分类讨论思想，结合角平分线、平角的性质求解，易因漏解出错，考查学生的几何逻辑推理与计算能力。
【难度系数】
0.5

9. 如图①,$AB=6\ \mathrm{cm}$,点$C$在线段$AB$上,$AC=2BC$. 如图②,直角三角尺$EOF(∠ EOF=90°)$的直角边$OE$放在直线$MN$上. 现将一动点$P$沿$A\to B\to A$的方向以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度匀速运动,运动时间为$t\ \mathrm{s}\ (0≤ t≤ 12)$,同时将直角三角尺$EOF$绕点$O$以$30°/\mathrm{s}$的速度顺时针匀速旋转一周.
(1)$BC=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$;
(2)当$∠ EOM=60°$时,求$t$的值;
(3)若$∠ EON=5∠ FON$,求此时线段$PC$的长度.

9.(1)2
(2)解:因为$∠ EOM=60°$,
所以当OE在MN上方时,$t=60°÷30°=2$;
当OE在MN下方时,$t=(360°-60°)÷30°=10$.
综上,$t$的值为2或10.
(3)解:当OF在MN上方,且OE在MN上或上方时,
$0≤ t＜3$,$∠ EON=180°-(30t)°$,$∠ FON=90°-(30t)°$,
所以$180°-(30t)°=5[90°-(30t)°]$,解得$t=\frac{9}{4}$,
此时$AP=\frac{9}{4}×1=\frac{9}{4}(\mathrm{cm})$,
所以$PC=AC-AP=4-\frac{9}{4}=\frac{7}{4}(\mathrm{cm})$;
当OF在MN上或下方,且OE在MN上方时,
$3≤ t＜6$,$∠ EON=180°-(30t)°$,$∠ FON=(30t)°-90°$,
所以$180°-(30t)°=5[(30t)°-90°]$,解得$t=\frac{7}{2}$,
此时$AP=\frac{7}{2}×1=\frac{7}{2}(\mathrm{cm})$,
所以$PC=AC-AP=4-\frac{7}{2}=\frac{1}{2}(\mathrm{cm})$;
当OF在MN下方,且OE在MN上或下方时,
$6≤ t＜9$,此时$∠ FON＞∠ EON$,故不符合题意;
当OF在MN上或上方,且OE在MN上或下方时,$9≤ t≤12$,此时$∠ FON≥90°$,不满足$∠ EON=5∠ FON$,故不符合题意.
综上所述,线段PC的长度为$\frac{7}{4}\ \mathrm{cm}$或$\frac{1}{2}\ \mathrm{cm}$.

【分析】
1. 第(1)问：根据线段和差关系，结合AC与BC的倍数关系，代入AB的长度即可求出BC；
2. 第(2)问：直角三角尺绕O顺时针旋转，需分OE在直线MN上方、下方两种情况，计算对应旋转角度，再结合旋转速度求出时间t；
3. 第(3)问：先确定AC的长度，再根据∠EOF=90°及∠EON=5∠FON，分不同旋转时间段讨论角度关系，列方程求出t，结合P的运动路程算出AP，进而求出PC，需排除不符合角度关系的情况。
【解析】
(1) 因为AC=2BC，且AC+BC=AB=6cm，所以2BC+BC=6，解得BC=2cm。
(2) 直角三角尺EOF绕O顺时针旋转，速度为30°/s，∠EOM=60°分两种情况：
① 当OE在MN上方时，旋转角度为60°，则t=60°÷30°/s=2s；
② 当OE在MN下方时，旋转角度为360°-60°=300°，则t=300°÷30°/s=10s；
综上，t的值为2或10。
(3) 由(1)得AC=AB-BC=6-2=4cm，P的运动速度为1cm/s，故AP=t cm（0≤t≤12）。
已知∠EOF=90°，∠EON=5∠FON，分情况讨论：
① 当0≤t＜3时，OF在MN上方，OE在MN上或上方，此时∠EON=180°-30t°，∠FON=90°-30t°，代入等式得：180-30t=5(90-30t)，解得t=9/4，此时AP=9/4 cm，PC=AC-AP=4 -9/4=7/4 cm；
② 当3≤t＜6时，OF在MN上或下方，OE在MN上方，此时∠EON=180°-30t°，∠FON=30t°-90°，代入等式得：180-30t=5(30t-90)，解得t=7/2，此时AP=7/2 cm，PC=4 -7/2=1/2 cm；
③ 当6≤t＜9时，∠FON＞∠EON，不符合题意，舍去；
④ 当9≤t≤12时，∠FON≥90°，无法满足∠EON=5∠FON，舍去；
综上，PC的长度为7/4 cm或1/2 cm。
【答案】
(1)2；(2)2或10；(3)7/4 cm或1/2 cm
【知识点】
线段和差计算、角的旋转、一元一次方程应用
【点评】
本题结合线段动点与图形旋转，需掌握线段和差、角的旋转规律，核心是分类讨论不同位置下的角度关系，避免漏解，综合考查分析与分类能力。
【难度系数】
0.5

10. 一副三角尺按如图①所示的方式拼在一起,我们将三角尺$COD$绕点$O$以每秒$15°$的速度顺时针旋转$180°$.
(1)在旋转过程中,$∠ AOB$,$∠ AOC$,$∠ BOC$之间有怎样的数量关系?
(2)当运动时间为9秒时,图中有角平分线吗?找出并说明理由.
(3)如图②,在运动过程中,当$∠ AOB$,$∠ AOC$,$∠ BOC$中的一个角的度数是另一个角的两倍时,则称射线$OC$是$∠ AOB$的“优线”.
①第(2)问中旋转后的射线$OC$是$∠ AOB$的“优线”吗?为什么?
②在整个旋转过程中,若旋转时间记为$t$秒,当射线$OC$是$∠ AOB$的“优线”时,请写出所有满足条件的$t$的值.

10.解:(1)设三角尺COD绕点O顺时针旋转的角度为$α$.
当$0°≤α≤90°$时,$∠ AOB=∠ AOC+∠ BOC$;
当$90°＜α≤180°$时,$∠ AOB=∠ AOC-∠ BOC$.
(2)有,射线OD平分$∠ AOB$,射线OB平分$∠ COD$.理由如下:
当运动时间为9秒时,$∠ AOC=15°×9=135°$,
则$∠ BOC=∠ AOC-∠ AOB=135°-90°=45°$.
因为$∠ COD=90°$,
所以$∠ BOD=∠ COD-∠ BOC=90°-45°=45°$,
所以$∠ BOC=∠ BOD=45°$,所以射线OB平分$∠ COD$.
又$∠ BOD=45°=\frac{1}{2}∠ AOB$,所以射线OD平分$∠ AOB$.
(3)①是.理由如下:
由(2)知$∠ AOB=90°$,$∠ AOC=135°$,$∠ BOC=45°$,则$∠ AOB=2∠ BOC$,所以OC是$∠ AOB$的“优线”.
②由题意,得$∠ AOB=∠ COD=90°$,$t$的取值范围是$0≤ t≤12$,且当OB与OC重合时,$t=90÷15=6$.
当$0≤ t≤6$时,若$∠ BOC=2∠ AOC$,
则$∠ AOC=\frac{1}{3}∠ AOB=30°$,所以$t=30÷15=2$;
若$∠ AOB=2∠ AOC$,则$∠ AOC=45°$,
所以$t=45÷15=3$,此时$∠ AOB=2∠ BOC$;
若$∠ AOC=2∠ BOC$,则$∠ AOC=\frac{2}{3}∠ AOB=60°$,
所以$t=60÷15=4$.
当$6＜t≤12$时,$∠ AOC=(15t)°$,$∠ BOC=(15t-90)°$.
若$∠ AOC=2∠ BOC$,则$15t=2(15t-90)$,
解得$t=12$,此时$∠ AOC=2∠ AOB$;
若$∠ AOB=2∠ BOC$,则$90=2(15t-90)$,解得$t=9$.
综上,$t$的值为2,3,4,9,12.

【分析】
本题是三角尺旋转的角度动态问题，需结合旋转速度计算旋转角度，分情况讨论旋转过程中角的位置关系。第(1)问需根据旋转角度的范围，分析OC的位置，推导∠AOB、∠AOC、∠BOC的数量关系；第(2)问先计算9秒时的旋转角度，再求出各角的度数，判断是否存在角平分线；第(3)问①利用第(2)问的角度，验证是否满足“优线”定义，②分旋转的两个阶段（0≤t≤6和6＜t≤12），根据“优线”（一个角是另一个角的两倍）的定义列方程，求解所有符合条件的t值。
【解析】
10.解:(1)设三角尺COD绕点O顺时针旋转的角度为$α$。
当$0°≤α≤90°$时，OC在OA、OB之间，此时$∠ AOB=∠ AOC+∠ BOC$；
当$90°＜α≤180°$时，OC在OA另一侧，此时$∠ AOB=∠ AOC-∠ BOC$。
(2)有，射线OD平分$∠ AOB$，射线OB平分$∠ COD$。理由如下：
当运动时间为9秒时，旋转角度为$15°×9=135°$，即$∠ AOC=135°$，
则$∠ BOC=∠ AOC-∠ AOB=135°-90°=45°$。
因为$∠ COD=90°$，所以$∠ BOD=∠ COD-∠ BOC=90°-45°=45°$，
因此$∠ BOC=∠ BOD=45°$，故射线OB平分$∠ COD$；
又$∠ BOD=45°=\frac{1}{2}∠ AOB$，所以射线OD平分$∠ AOB$。
(3)①是。理由如下：
由(2)知$∠ AOB=90°$，$∠ AOC=135°$，$∠ BOC=45°$，则$∠ AOB=2∠ BOC$，满足“一个角是另一个角的两倍”，所以OC是$∠ AOB$的“优线”。
②由题意，$∠ AOB=∠ COD=90°$，旋转总时间为$180°÷15°=12$秒，且当OB与OC重合时，$t=90°÷15°=6$，分两段讨论：
当$0≤ t≤6$时，若$∠ BOC=2∠ AOC$，则$∠ AOC=\frac{1}{3}∠ AOB=30°$，故$t=30°÷15°=2$；
若$∠ AOB=2∠ AOC$，则$∠ AOC=45°$，故$t=45°÷15°=3$，此时$∠ AOB=2∠ BOC$；
若$∠ AOC=2∠ BOC$，则$∠ AOC=\frac{2}{3}∠ AOB=60°$，故$t=60°÷15°=4$。
当$6＜t≤12$时，$∠ AOC=(15t)°$，$∠ BOC=(15t-90)°$。
若$∠ AOC=2∠ BOC$，则$15t=2(15t-90)$，解得$t=12$，此时$∠ AOC=2∠ AOB$；
若$∠ AOB=2∠ BOC$，则$90=2(15t-90)$，解得$t=9$。
综上，满足条件的$t$的值为2,3,4,9,12。
【答案】
(1)当$0°≤α≤90°$时，$∠ AOB=∠ AOC+∠ BOC$；当$90°＜α≤180°$时，$∠ AOB=∠ AOC-∠ BOC$；
(2)有，射线OD平分$∠ AOB$，射线OB平分$∠ COD$，理由见解析；
(3)①是，理由见解析；②$t$的值为2,3,4,9,12。
【知识点】
角的和差运算、角平分线、旋转的性质、新定义应用
【点评】
本题以三角尺旋转为背景，综合考查角的运算、角平分线的判定及分类讨论思想，需要学生动态分析图形变化，理解并应用新定义，是一道综合性较强的几何动态问题。
【难度系数】
0.5