登录
1. 下列是关于变量$x$和$y$的关系式：$y=x$，$2x^2 - y = 0$，$y^2 = x$，$2x - |y| = 2$。其中$y$是$x$的函数的个数是（
A.1
B.2
C.3
D.4
B
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
1.B
解析
【分析】
要判断y是不是x的函数，核心依据是函数的定义：在变化过程中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数。我们只需逐个验证4个关系式是否满足这个要求即可：首先整理每个关系式，再判断x取定一个值时，y对应的取值是否唯一，最后统计符合要求的关系式个数。
【解析】
根据函数的判断标准：x取任意一个确定值时，y有且仅有一个确定值与之对应，则y是x的函数，逐一分析如下：
1. 对$y=x$：任意给定一个确定的x值，y有唯一值（等于x）与之对应，因此y是x的函数；
2. 对$2x^2 - y = 0$，整理得$y=2x^2$：任意给定一个确定的x值，y有唯一值（$2x^2$）与之对应，因此y是x的函数；
3. 对$y^2=x$：例如取$x=4$时，$y=2$或$y=-2$，存在x的一个取值对应2个y的值，因此y不是x的函数；
4. 对$2x - |y|=2$，整理得$|y|=2x-2$：例如取$x=3$时，$|y|=4$，即$y=4$或$y=-4$，存在x的一个取值对应2个y的值，因此y不是x的函数。
综上，y是x的函数的关系式共有2个。
【答案】B
【知识点】函数的定义
【点评】本题是函数定义的基础应用题，解题关键是抓住函数定义中“唯一对应”的核心特征，对每个关系式逐一验证即可得出结果。
【难度系数】0.7
要判断y是不是x的函数，核心依据是函数的定义：在变化过程中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数。我们只需逐个验证4个关系式是否满足这个要求即可：首先整理每个关系式，再判断x取定一个值时，y对应的取值是否唯一，最后统计符合要求的关系式个数。
【解析】
根据函数的判断标准：x取任意一个确定值时，y有且仅有一个确定值与之对应，则y是x的函数，逐一分析如下：
1. 对$y=x$：任意给定一个确定的x值，y有唯一值（等于x）与之对应，因此y是x的函数；
2. 对$2x^2 - y = 0$，整理得$y=2x^2$：任意给定一个确定的x值，y有唯一值（$2x^2$）与之对应，因此y是x的函数；
3. 对$y^2=x$：例如取$x=4$时，$y=2$或$y=-2$，存在x的一个取值对应2个y的值，因此y不是x的函数；
4. 对$2x - |y|=2$，整理得$|y|=2x-2$：例如取$x=3$时，$|y|=4$，即$y=4$或$y=-4$，存在x的一个取值对应2个y的值，因此y不是x的函数。
综上，y是x的函数的关系式共有2个。
【答案】B
【知识点】函数的定义
【点评】本题是函数定义的基础应用题，解题关键是抓住函数定义中“唯一对应”的核心特征，对每个关系式逐一验证即可得出结果。
【难度系数】0.7
2. 下列图象中不能表示 y 是 x 的函数的是 （
D
） 答案
2.D
解析
【分析】
要判断图像能否表示y是x的函数，需紧扣函数的核心定义：对于x的每一个确定的值，y有且只有一个确定的值与之对应。我们可以用“竖线法”快速判断：作垂直于x轴的直线，沿x轴左右平移，若直线与图像始终最多只有1个交点，就符合函数要求，若存在2个及以上交点就不符合，接下来用该方法逐个分析选项即可。
【解析】
根据函数定义：对于自变量x的任意一个确定值，因变量y都有唯一确定的值与之对应时，y才是x的函数，用“竖线法”逐一判断：
1. 选项A：任意垂直于x轴的直线与图像仅存在1个交点，每个x对应唯一的y，可表示y是x的函数；
2. 选项B：任意垂直于x轴的直线与图像仅存在1个交点，每个x对应唯一的y，可表示y是x的函数；
3. 选项C：任意垂直于x轴的直线与图像仅存在1个交点，每个x对应唯一的y，可表示y是x的函数；
4. 选项D：存在垂直于x轴的直线与图像有2个及以上交点，即存在某个x值对应多个y值，不符合函数定义，不能表示y是x的函数。
【答案】
D
【知识点】
函数的概念；函数图像判断
【点评】
本题属于基础概念类题目，核心考查对函数定义的理解，掌握“竖线法”判断函数图像的技巧就能快速解题。
【难度系数】
0.85
要判断图像能否表示y是x的函数，需紧扣函数的核心定义：对于x的每一个确定的值，y有且只有一个确定的值与之对应。我们可以用“竖线法”快速判断：作垂直于x轴的直线，沿x轴左右平移，若直线与图像始终最多只有1个交点，就符合函数要求，若存在2个及以上交点就不符合，接下来用该方法逐个分析选项即可。
【解析】
根据函数定义：对于自变量x的任意一个确定值，因变量y都有唯一确定的值与之对应时，y才是x的函数，用“竖线法”逐一判断：
1. 选项A：任意垂直于x轴的直线与图像仅存在1个交点，每个x对应唯一的y，可表示y是x的函数；
2. 选项B：任意垂直于x轴的直线与图像仅存在1个交点，每个x对应唯一的y，可表示y是x的函数；
3. 选项C：任意垂直于x轴的直线与图像仅存在1个交点，每个x对应唯一的y，可表示y是x的函数；
4. 选项D：存在垂直于x轴的直线与图像有2个及以上交点，即存在某个x值对应多个y值，不符合函数定义，不能表示y是x的函数。
【答案】
D
【知识点】
函数的概念；函数图像判断
【点评】
本题属于基础概念类题目，核心考查对函数定义的理解，掌握“竖线法”判断函数图像的技巧就能快速解题。
【难度系数】
0.85
3. 当$x=1$时，函数$y=-4x-1$的函数值为（
A.$-3$
B.$5$
C.$-5$
D.$3$
C
）A.$-3$
B.$5$
C.$-5$
D.$3$
答案
3.C
解析
【分析】
本题考查给定自变量值求一次函数的函数值，解题思路清晰明确，只需将题目给出的x=1代入函数表达式，按照有理数运算规则计算出y的结果，再匹配对应选项即可，计算时要注意负号的运算规则，避免符号出错。
【解析】
将x=1代入函数$y=-4x-1$中，可得：
$\begin{aligned}y&=-4×1 -1\\&=-4-1\\&=-5\end{aligned}$
因此对应的选项为C。
【答案】
C
【知识点】
1. 函数值计算 2. 有理数混合运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查代入求函数值的方法，运算量小，只要掌握代入求值的基本方法，注意符号运算的准确性即可顺利得分。
【难度系数】
0.9
本题考查给定自变量值求一次函数的函数值，解题思路清晰明确，只需将题目给出的x=1代入函数表达式，按照有理数运算规则计算出y的结果，再匹配对应选项即可，计算时要注意负号的运算规则，避免符号出错。
【解析】
将x=1代入函数$y=-4x-1$中，可得：
$\begin{aligned}y&=-4×1 -1\\&=-4-1\\&=-5\end{aligned}$
因此对应的选项为C。
【答案】
C
【知识点】
1. 函数值计算 2. 有理数混合运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查代入求函数值的方法，运算量小，只要掌握代入求值的基本方法，注意符号运算的准确性即可顺利得分。
【难度系数】
0.9
4. 将常温中的温度计插入一杯$60° \mathrm{C}$的热水(恒温)中,温度计的读数$y$(单位:$°\mathrm{C}$)与时间$x$(单位:min)的关系用图象可近似表示为 (
C
)答案
4.C
解析
【分析】
解决这类实际问题与函数图象结合的题目，首先要梳理清楚变量的变化规律：本题中自变量是时间x，因变量是温度计读数y。首先温度计初始处于常温，温度低于60℃；插入恒温60℃的热水后，温度计温度会逐渐升高，直到和热水温度相同，之后因为热水是恒温的，温度计读数会保持60℃不变，既不会持续升高，也不会下降。接下来我们对照这个变化规律逐一分析选项，排除不符合的即可。
【解析】
我们结合温度计的温度变化规律分析选项：
1. 选项A的图象显示温度随时间匀速升高，没有温度恒定的阶段，不符合温度计最终温度和水温一致后保持不变的规律，排除；
2. 选项B的图象显示温度持续升高，且上升速度越来越快，同样没有恒定阶段，不符合实际，排除；
3. 选项C的图象显示温度先逐渐升高，到达某一数值后保持不变，完全符合温度计的变化规律，正确；
4. 选项D的图象显示温度升高到峰值后又下降，而题目中热水是恒温的，温度计温度不会下降，不符合设定，排除。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
函数图象识别，实际问题的函数关系
【点评】
本题结合生活中的温度变化场景考查函数图象的判断，属于基础题型，解题核心是梳理清楚因变量的变化过程，结合题干的限定条件排除错误选项即可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
解决这类实际问题与函数图象结合的题目，首先要梳理清楚变量的变化规律：本题中自变量是时间x，因变量是温度计读数y。首先温度计初始处于常温，温度低于60℃；插入恒温60℃的热水后，温度计温度会逐渐升高，直到和热水温度相同，之后因为热水是恒温的，温度计读数会保持60℃不变，既不会持续升高，也不会下降。接下来我们对照这个变化规律逐一分析选项，排除不符合的即可。
【解析】
我们结合温度计的温度变化规律分析选项：
1. 选项A的图象显示温度随时间匀速升高，没有温度恒定的阶段，不符合温度计最终温度和水温一致后保持不变的规律，排除；
2. 选项B的图象显示温度持续升高，且上升速度越来越快，同样没有恒定阶段，不符合实际，排除；
3. 选项C的图象显示温度先逐渐升高，到达某一数值后保持不变，完全符合温度计的变化规律，正确；
4. 选项D的图象显示温度升高到峰值后又下降，而题目中热水是恒温的，温度计温度不会下降，不符合设定，排除。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
函数图象识别，实际问题的函数关系
【点评】
本题结合生活中的温度变化场景考查函数图象的判断，属于基础题型，解题核心是梳理清楚因变量的变化过程，结合题干的限定条件排除错误选项即可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
5. 下列各点中在函数$y=3x+2$的图象上的是 （
A.(1,1)
B.(-1,-1)
C.(-1,1)
D.(0,1)
B
）A.(1,1)
B.(-1,-1)
C.(-1,1)
D.(0,1)
答案
5.B
解析
【分析】
判断一个点是否在函数图象上的核心依据是：函数图象上任意一点的坐标都满足对应的函数解析式，反之，坐标满足函数解析式的点一定在函数图象上。因此本题的解题思路为：将每个选项中点的横坐标代入函数解析式$y=3x+2$，计算出对应的$y$值，再和点的纵坐标对比，若二者相等则该点在函数图象上，逐个验证四个选项即可得到正确答案。
【解析】
采用代入验证法逐一判断：
1. 验证选项A：将$x=1$代入$y=3x+2$，得$y=3×1+2=5$，$5≠1$，因此点$(1,1)$不在函数图象上，A错误；
2. 验证选项B：将$x=-1$代入$y=3x+2$，得$y=3×(-1)+2=-1$，与点的纵坐标相等，因此点$(-1,-1)$在函数图象上，B正确；
3. 验证选项C：将$x=-1$代入$y=3x+2$，得$y=-1≠1$，因此点$(-1,1)$不在函数图象上，C错误；
4. 验证选项D：将$x=0$代入$y=3x+2$，得$y=3×0+2=2≠1$，因此点$(0,1)$不在函数图象上，D错误。
【答案】
B
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征，函数值计算
【点评】
本题是基础类题目，核心考查点和函数图象的对应关系，只要掌握代入验证的方法就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
判断一个点是否在函数图象上的核心依据是：函数图象上任意一点的坐标都满足对应的函数解析式，反之，坐标满足函数解析式的点一定在函数图象上。因此本题的解题思路为：将每个选项中点的横坐标代入函数解析式$y=3x+2$，计算出对应的$y$值，再和点的纵坐标对比，若二者相等则该点在函数图象上，逐个验证四个选项即可得到正确答案。
【解析】
采用代入验证法逐一判断：
1. 验证选项A：将$x=1$代入$y=3x+2$，得$y=3×1+2=5$，$5≠1$，因此点$(1,1)$不在函数图象上，A错误；
2. 验证选项B：将$x=-1$代入$y=3x+2$，得$y=3×(-1)+2=-1$，与点的纵坐标相等，因此点$(-1,-1)$在函数图象上，B正确；
3. 验证选项C：将$x=-1$代入$y=3x+2$，得$y=-1≠1$，因此点$(-1,1)$不在函数图象上，C错误；
4. 验证选项D：将$x=0$代入$y=3x+2$，得$y=3×0+2=2≠1$，因此点$(0,1)$不在函数图象上，D错误。
【答案】
B
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征，函数值计算
【点评】
本题是基础类题目，核心考查点和函数图象的对应关系，只要掌握代入验证的方法就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
6. 下列函数中自变量$ x $的取值范围错误的是（
A.$ y=-2x^2+1 $中，$ x $取全体实数
B.$ y=\frac{1}{x+1} $中，$ x $取不等于$-1$的实数
C.$ y=\sqrt{x-2} $中，$ x $取大于或等于2的实数
D.$ y=\frac{1}{\sqrt{x+3}} $中，$ x $取大于或等于$-3$的实数
D
）A.$ y=-2x^2+1 $中，$ x $取全体实数
B.$ y=\frac{1}{x+1} $中，$ x $取不等于$-1$的实数
C.$ y=\sqrt{x-2} $中，$ x $取大于或等于2的实数
D.$ y=\frac{1}{\sqrt{x+3}} $中，$ x $取大于或等于$-3$的实数
答案
6.D
解析
【分析】
本题考查函数自变量的取值范围判断，解题思路是根据不同函数形式的取值规则逐个分析选项：①整式函数：自变量可取全体实数；②分式函数：分母不能为0；③含二次根式的函数：若二次根式仅在被开方位置，被开方数需≥0；若二次根式在分母位置，被开方数需＞0（同时满足分母不为0的要求）。按照上述规则逐一验证4个选项，找出取值范围错误的选项即可。
【解析】
我们逐个分析各选项：
A选项：$y=-2x^2+1$是整式函数，自变量$x$可取全体实数，该选项取值范围正确；
B选项：$y=\frac{1}{x+1}$是分式函数，需满足分母不为0，即$x+1≠0$，解得$x≠-1$，该选项取值范围正确；
C选项：$y=\sqrt{x-2}$含二次根式，需满足被开方数非负，即$x-2≥0$，解得$x≥2$，该选项取值范围正确；
D选项：$y=\frac{1}{\sqrt{x+3}}$中二次根式在分母位置，需同时满足：①被开方数非负$x+3≥0$，②分母不为0$\sqrt{x+3}≠0$，合并得$x+3＞0$，解得$x＞-3$，选项中表述为$x$取大于或等于$-3$的实数，取值范围错误。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
函数自变量取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是掌握不同形式代数式有意义的条件，尤其要注意当二次根式出现在分母位置时，被开方数不仅要非负，还要保证整个分母不为0，避免因遗漏限制条件出错。
【难度系数】
0.7
本题考查函数自变量的取值范围判断，解题思路是根据不同函数形式的取值规则逐个分析选项：①整式函数：自变量可取全体实数；②分式函数：分母不能为0；③含二次根式的函数：若二次根式仅在被开方位置，被开方数需≥0；若二次根式在分母位置，被开方数需＞0（同时满足分母不为0的要求）。按照上述规则逐一验证4个选项，找出取值范围错误的选项即可。
【解析】
我们逐个分析各选项：
A选项：$y=-2x^2+1$是整式函数，自变量$x$可取全体实数，该选项取值范围正确；
B选项：$y=\frac{1}{x+1}$是分式函数，需满足分母不为0，即$x+1≠0$，解得$x≠-1$，该选项取值范围正确；
C选项：$y=\sqrt{x-2}$含二次根式，需满足被开方数非负，即$x-2≥0$，解得$x≥2$，该选项取值范围正确；
D选项：$y=\frac{1}{\sqrt{x+3}}$中二次根式在分母位置，需同时满足：①被开方数非负$x+3≥0$，②分母不为0$\sqrt{x+3}≠0$，合并得$x+3＞0$，解得$x＞-3$，选项中表述为$x$取大于或等于$-3$的实数，取值范围错误。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
函数自变量取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是掌握不同形式代数式有意义的条件，尤其要注意当二次根式出现在分母位置时，被开方数不仅要非负，还要保证整个分母不为0，避免因遗漏限制条件出错。
【难度系数】
0.7
