18. 一个两位数，十位上的数字与个位上数字之和是8，将十位上的数字与个位上的数字对调，得到的新数比原数的2倍多10. 求原来的两位数.

原来的两位数为26.

【分析】
解决这道题首先要明确两位数的表示规则：若一个两位数十位数字为a，个位数字为b，则这个两位数可表示为10a+b。题目给出两个明确的等量关系：①原数十位数字+原数个位数字=8；②数位对调后的新数=原数×2+10。我们可以先设其中一个数位的数字为未知数，借助第一个等量关系表示出另一个数位的数字，再代入第二个等量关系列方程，求解后即可算出原来的两位数。
【解析】
设原来的两位数的个位数字为x，则十位数字为(8 - x)。
原数可表示为：$10(8 - x) + x$
数位对调后的新数可表示为：$10x + (8 - x)$
根据题意列方程：
$10x + (8 - x) = 2[10(8 - x) + x] + 10$
化简左边得：$9x + 8$
化简右边括号内得：$10(8 - x) + x = 80 - 9x$
因此右边整体为：$2×(80 - 9x) + 10 = 170 - 18x$
方程变为：$9x + 8 = 170 - 18x$
移项得：$9x + 18x = 170 - 8$
合并同类项得：$27x = 162$
解得：$x = 6$
则十位数字为：$8 - 6 = 2$
原来的两位数为：$2×10 + 6 = 26$
【答案】
原来的两位数为26.
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 两位数的表示方法
【点评】
本题是典型的数字类应用题，解题的核心是正确掌握多位数的表示规则，准确从题干中提取等量关系列方程求解，注意数位对调后新数的数位对应关系不要混淆。
【难度系数】
0.7

19. 【阅读材料】我们知道：探索多边形内角和的方法是将其转化为三角形，利用三角形内角和获得结论，这一方法也可以用来解决其他求角度的问题. 如图①，四边形ABCD是凸四边形，探索其内角和的方法是：连结对角线AC，则四边形ABCD的内角和就转化为△ABC和△ADC的内角和，即为360°.

【解决问题】
(1)如图②，四边形ABDC是凹四边形，请探究∠BDC(∠BDC＜180°)与∠B、∠C、∠BAC之间的数量关系. 小明得出的结论是∠BDC = ∠B + ∠C + ∠BAC，请你帮小明写出证明过程.
(2)图③和图④所示的图形都是一笔画成的，即从图形的某一顶点出发，连续不断且不重复经过图形上所有部分画成的，请你根据上述解决问题的思路，解答下列问题：
图③中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为；
图④中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为.

(1)证明略；
(2)$180°$ $360°$

【分析】
(1) 要推导凹四边形中∠BDC与∠B、∠C、∠BAC的数量关系，可借助三角形外角的性质，通过作辅助线构造外角，将∠BDC转化为两个三角形外角的和，逐步推导得到角的和差关系。
(2) 对于图③的五角星角度求和，可利用三角形外角性质，把五个分散的角转化到同一个三角形中，结合三角形内角和为180°即可求出结果；图④的六个角求和，同理将分散的角转化到一个四边形中，结合四边形内角和为360°计算即可。
【解析】
(1) 证明：延长BD交AC于点E。
∵∠DEC是△ABE的外角，根据三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴∠DEC = ∠BAC + ∠B。
又
∵∠BDC是△CDE的外角，
∴∠BDC = ∠DEC + ∠C。
将∠DEC = ∠BAC + ∠B代入上式，可得∠BDC = ∠BAC + ∠B + ∠C，结论得证。
(2) ① 图③中：根据三角形外角性质，可将∠C+∠E、∠B+∠D分别转化为某个三角形的外角，三个角最终可集中到同一个三角形中，结合三角形内角和为180°，可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°。
② 图④中：同理利用外角性质，可将∠A+∠D+∠E转化为四边形的一个内角，结合四边形内角和为360°，可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°。
【答案】
(1) 证明略；
(2) $180°$；$360°$
【知识点】
三角形外角性质；三角形内角和；四边形内角和
【点评】
本题以多边形内角和的转化推导思路为引入，考查多角求和的计算，解题核心是利用三角形外角性质将分散的角集中到同一个三角形或多边形中，结合内角和定理求解，体现了转化思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7