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1. 在下列数中，无理数有 （
$π,\frac{22}{7},-\sqrt{3},\sqrt[3]{343},3.1415,0.\dot{3},-\frac{\sqrt{2}}{6},2.10101010···,5.1717717771···$
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
B
）$π,\frac{22}{7},-\sqrt{3},\sqrt[3]{343},3.1415,0.\dot{3},-\frac{\sqrt{2}}{6},2.10101010···,5.1717717771···$
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
答案
1.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数。常见的无理数有三类：①含π的数；②开方开不尽的数的方根；③有规律但不循环的无限小数。解题时先将能化简的数先化简，再逐个判断每个数是否属于无理数，最后统计个数即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析给出的数：
1. $π$：是无限不循环小数，属于无理数；
2. $\frac{22}{7}$：是分数，所有分数都属于有理数，是无限循环小数，不属于无理数；
3. $-\sqrt{3}$：$\sqrt{3}$开方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数；
4. $\sqrt[3]{343}$：化简得$\sqrt[3]{343}=7$，是整数，属于有理数，不属于无理数；
5. $3.1415$：是有限小数，属于有理数，不属于无理数；
6. $0.\dot{3}$：是无限循环小数，属于有理数，不属于无理数；
7. $-\frac{\sqrt{2}}{6}$：$\sqrt{2}$开方开不尽，因此这个数是无限不循环小数，属于无理数；
8. $2.10101010···$：是“10”循环的无限循环小数，属于有理数，不属于无理数；
9. $5.1717717771···$：是无限小数，且没有循环节，不循环，属于无理数。
综上，无理数有$π,-\sqrt{3},-\frac{\sqrt{2}}{6},5.1717717771···$，共4个。
【答案】
B
【知识点】
无理数的定义，立方根的化简，实数的分类
【点评】
本题核心考查无理数的识别，解题的关键是牢记无理数的特征，特别注意需要先对带根号的数进行化简后再判断，避免看到根号就直接判定为无理数，同时要区分开无限循环小数和无限不循环小数。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要明确无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数。常见的无理数有三类：①含π的数；②开方开不尽的数的方根；③有规律但不循环的无限小数。解题时先将能化简的数先化简，再逐个判断每个数是否属于无理数，最后统计个数即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析给出的数：
1. $π$：是无限不循环小数，属于无理数；
2. $\frac{22}{7}$：是分数，所有分数都属于有理数，是无限循环小数，不属于无理数；
3. $-\sqrt{3}$：$\sqrt{3}$开方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数；
4. $\sqrt[3]{343}$：化简得$\sqrt[3]{343}=7$，是整数，属于有理数，不属于无理数；
5. $3.1415$：是有限小数，属于有理数，不属于无理数；
6. $0.\dot{3}$：是无限循环小数，属于有理数，不属于无理数；
7. $-\frac{\sqrt{2}}{6}$：$\sqrt{2}$开方开不尽，因此这个数是无限不循环小数，属于无理数；
8. $2.10101010···$：是“10”循环的无限循环小数，属于有理数，不属于无理数；
9. $5.1717717771···$：是无限小数，且没有循环节，不循环，属于无理数。
综上，无理数有$π,-\sqrt{3},-\frac{\sqrt{2}}{6},5.1717717771···$，共4个。
【答案】
B
【知识点】
无理数的定义，立方根的化简，实数的分类
【点评】
本题核心考查无理数的识别，解题的关键是牢记无理数的特征，特别注意需要先对带根号的数进行化简后再判断，避免看到根号就直接判定为无理数，同时要区分开无限循环小数和无限不循环小数。
【难度系数】
0.7
2.一个自然数的一个平方根是$ a $，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（
A.$ \pm\sqrt{a+1} $
B.$ a+1 $
C.$ a^2+1 $
D.$ \pm\sqrt{a^2+1} $
D
）A.$ \pm\sqrt{a+1} $
B.$ a+1 $
C.$ a^2+1 $
D.$ \pm\sqrt{a^2+1} $
答案
2.D
解析
【分析】
解题时首先要回忆平方根的定义与性质：第一步，根据已知的平方根求出原自然数；第二步，计算出相邻的下一个自然数；第三步，求出新自然数的平方根，注意正数的平方根有两个，互为相反数，最后匹配选项即可。
【解析】
设这个自然数为$ x $，
∵ 自然数$ x $的一个平方根是$ a $，根据平方根的定义，可得$ x = a^2 $，
∴ 与$ x $相邻的下一个自然数为$ x+1 = a^2 + 1 $，
∵ 正数的平方根有两个，且互为相反数，
∴ $ a^2 + 1 $的平方根为$ \pm\sqrt{a^2 + 1} $，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
平方根的定义；平方根的性质
【点评】
本题核心考查平方根的相关概念，常见易错点有两个：一是误将原自然数当成$ a $，错选A选项；二是忽略平方根有正负两个，漏写±符号。只要掌握平方根与原数的互逆关系，牢记正数的平方根互为相反数，就能准确解题。
【难度系数】
0.7
解题时首先要回忆平方根的定义与性质：第一步，根据已知的平方根求出原自然数；第二步，计算出相邻的下一个自然数；第三步，求出新自然数的平方根，注意正数的平方根有两个，互为相反数，最后匹配选项即可。
【解析】
设这个自然数为$ x $，
∵ 自然数$ x $的一个平方根是$ a $，根据平方根的定义，可得$ x = a^2 $，
∴ 与$ x $相邻的下一个自然数为$ x+1 = a^2 + 1 $，
∵ 正数的平方根有两个，且互为相反数，
∴ $ a^2 + 1 $的平方根为$ \pm\sqrt{a^2 + 1} $，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
平方根的定义；平方根的性质
【点评】
本题核心考查平方根的相关概念，常见易错点有两个：一是误将原自然数当成$ a $，错选A选项；二是忽略平方根有正负两个，漏写±符号。只要掌握平方根与原数的互逆关系，牢记正数的平方根互为相反数，就能准确解题。
【难度系数】
0.7
3. 下列说法正确的是（
A.1的立方根是±1
B.－9没有立方根
C.$\frac{1}{36}$的平方根是$\frac{1}{6}$
D.－5的立方根是$\sqrt[3]{-5}$
D
）A.1的立方根是±1
B.－9没有立方根
C.$\frac{1}{36}$的平方根是$\frac{1}{6}$
D.－5的立方根是$\sqrt[3]{-5}$
答案
3.D
解析
【分析】
本题考查平方根和立方根的基本概念，解题时先回忆两类根式的性质：①平方根的性质：正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根；②立方根的性质：任意实数都有唯一的立方根，正数的立方根为正，负数的立方根为负，0的立方根为0。再对照性质逐一判断每个选项，排除错误项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：1的立方根唯一，仅为1，±1是1的平方根，因此A错误；
B选项：负数存在立方根，-9的立方根是$\sqrt[3]{-9}$，因此B错误；
C选项：正数的平方根有2个，$\frac{1}{36}$的平方根是$\pm\frac{1}{6}$，选项仅给出正的平方根，遗漏了负的平方根，因此C错误；
D选项：根据立方根的表示规则，-5的立方根可写作$\sqrt[3]{-5}$，因此D正确。
【答案】
D
【知识点】
平方根的定义；立方根的定义
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心是区分平方根和立方根的性质差异，重点关注正数平方根的个数、负数是否存在平方根/立方根这两个易错点，熟练掌握概念即可快速作答。
【难度系数】
0.8
本题考查平方根和立方根的基本概念，解题时先回忆两类根式的性质：①平方根的性质：正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根；②立方根的性质：任意实数都有唯一的立方根，正数的立方根为正，负数的立方根为负，0的立方根为0。再对照性质逐一判断每个选项，排除错误项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：1的立方根唯一，仅为1，±1是1的平方根，因此A错误；
B选项：负数存在立方根，-9的立方根是$\sqrt[3]{-9}$，因此B错误；
C选项：正数的平方根有2个，$\frac{1}{36}$的平方根是$\pm\frac{1}{6}$，选项仅给出正的平方根，遗漏了负的平方根，因此C错误；
D选项：根据立方根的表示规则，-5的立方根可写作$\sqrt[3]{-5}$，因此D正确。
【答案】
D
【知识点】
平方根的定义；立方根的定义
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心是区分平方根和立方根的性质差异，重点关注正数平方根的个数、负数是否存在平方根/立方根这两个易错点，熟练掌握概念即可快速作答。
【难度系数】
0.8
4. 下列各式比较大小正确的是 （
A.$-\sqrt{2}＜-\sqrt{3}$
B.$-\frac{\sqrt{5}}{5}＞-\frac{\sqrt{6}}{6}$
C.$-π＜-3.14$
D.$-\sqrt{10}＞-3$
C
）A.$-\sqrt{2}＜-\sqrt{3}$
B.$-\frac{\sqrt{5}}{5}＞-\frac{\sqrt{6}}{6}$
C.$-π＜-3.14$
D.$-\sqrt{10}＞-3$
答案
4.C
解析
【分析】
本题考查负数的大小比较，核心解题依据是：两个负数比较大小，绝对值大的数反而小。解题时先逐个计算每个选项中两个负数的绝对值，比较绝对值的大小后，再反向判断负数的大小关系，排除错误选项即可得到正确结果。
【解析】
根据负数比较大小的规则：两个负数，绝对值大的数更小，逐一分析选项：
A. $|-\sqrt{2}|=\sqrt{2}\approx1.414$，$|-\sqrt{3}|=\sqrt{3}\approx1.732$，因为$\sqrt{2}＜\sqrt{3}$，所以$-\sqrt{2}＞-\sqrt{3}$，A错误；
B. $|-\frac{\sqrt{5}}{5}|=\frac{\sqrt{5}}{5}$，$|-\frac{\sqrt{6}}{6}|=\frac{\sqrt{6}}{6}$，分别平方得：$(\frac{\sqrt{5}}{5})^2=\frac{5}{25}=\frac{1}{5}$，$(\frac{\sqrt{6}}{6})^2=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$，因为$\frac{1}{5}＞\frac{1}{6}$，所以$\frac{\sqrt{5}}{5}＞\frac{\sqrt{6}}{6}$，故$-\frac{\sqrt{5}}{5}＜-\frac{\sqrt{6}}{6}$，B错误；
C. $|-π|=π\approx3.14159$，$|-3.14|=3.14$，因为$π＞3.14$，所以$-π＜-3.14$，C正确；
D. $|-\sqrt{10}|=\sqrt{10}\approx3.16$，$|-3|=3$，因为$\sqrt{10}＞3$，所以$-\sqrt{10}＜-3$，D错误。
【答案】
C
【知识点】
负数大小比较，实数大小比较，无理数估值
【点评】
本题是实数比较大小的基础题型，解题关键是熟练掌握负数比较大小的规则，结合无理数估值或平方比较法判断绝对值的大小即可解题，是实数章节需要熟练掌握的基础内容。
【难度系数】
0.7
本题考查负数的大小比较，核心解题依据是：两个负数比较大小，绝对值大的数反而小。解题时先逐个计算每个选项中两个负数的绝对值，比较绝对值的大小后，再反向判断负数的大小关系，排除错误选项即可得到正确结果。
【解析】
根据负数比较大小的规则：两个负数，绝对值大的数更小，逐一分析选项：
A. $|-\sqrt{2}|=\sqrt{2}\approx1.414$，$|-\sqrt{3}|=\sqrt{3}\approx1.732$，因为$\sqrt{2}＜\sqrt{3}$，所以$-\sqrt{2}＞-\sqrt{3}$，A错误；
B. $|-\frac{\sqrt{5}}{5}|=\frac{\sqrt{5}}{5}$，$|-\frac{\sqrt{6}}{6}|=\frac{\sqrt{6}}{6}$，分别平方得：$(\frac{\sqrt{5}}{5})^2=\frac{5}{25}=\frac{1}{5}$，$(\frac{\sqrt{6}}{6})^2=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$，因为$\frac{1}{5}＞\frac{1}{6}$，所以$\frac{\sqrt{5}}{5}＞\frac{\sqrt{6}}{6}$，故$-\frac{\sqrt{5}}{5}＜-\frac{\sqrt{6}}{6}$，B错误；
C. $|-π|=π\approx3.14159$，$|-3.14|=3.14$，因为$π＞3.14$，所以$-π＜-3.14$，C正确；
D. $|-\sqrt{10}|=\sqrt{10}\approx3.16$，$|-3|=3$，因为$\sqrt{10}＞3$，所以$-\sqrt{10}＜-3$，D错误。
【答案】
C
【知识点】
负数大小比较，实数大小比较，无理数估值
【点评】
本题是实数比较大小的基础题型，解题关键是熟练掌握负数比较大小的规则，结合无理数估值或平方比较法判断绝对值的大小即可解题，是实数章节需要熟练掌握的基础内容。
【难度系数】
0.7
5.如图,数轴上点A,B表示的数分别是1，$\sqrt{3}$，且B,C两点到点A的距离相等,则点C表示的数是（
A.$\dfrac{1}{4}$
B.$1-\sqrt{3}$
C.$2-\sqrt{3}$
D.$3-\sqrt{3}$
C
）A.$\dfrac{1}{4}$
B.$1-\sqrt{3}$
C.$2-\sqrt{3}$
D.$3-\sqrt{3}$
答案
5.C
解析
【分析】
解题时首先明确数轴上两点间的距离的计算规则：右侧点表示的数减去左侧点表示的数即为两点间的距离。本题已知B、C到A的距离相等，先计算出AB的距离，再根据C在A的左侧，用A表示的数减去AB的距离即可得到C表示的数。
【解析】
1. 计算AB的距离：
已知点A表示的数为1，点B表示的数为$\sqrt{3}$，且B在A的右侧，因此$AB=\sqrt{3}-1$。
2. 求点C表示的数：
因为B、C两点到点A的距离相等，所以$AC=AB=\sqrt{3}-1$，又因为C在A的左侧，所以点C表示的数为A表示的数减去AC的距离：
$1-(\sqrt{3}-1)=1-\sqrt{3}+1=2-\sqrt{3}$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
数轴上两点距离计算；实数加减运算
【点评】
本题结合数轴考查两点距离的应用，只要掌握数轴上两点距离的计算规则，理清点的位置关系即可正确求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确数轴上两点间的距离的计算规则：右侧点表示的数减去左侧点表示的数即为两点间的距离。本题已知B、C到A的距离相等，先计算出AB的距离，再根据C在A的左侧，用A表示的数减去AB的距离即可得到C表示的数。
【解析】
1. 计算AB的距离：
已知点A表示的数为1，点B表示的数为$\sqrt{3}$，且B在A的右侧，因此$AB=\sqrt{3}-1$。
2. 求点C表示的数：
因为B、C两点到点A的距离相等，所以$AC=AB=\sqrt{3}-1$，又因为C在A的左侧，所以点C表示的数为A表示的数减去AC的距离：
$1-(\sqrt{3}-1)=1-\sqrt{3}+1=2-\sqrt{3}$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
数轴上两点距离计算；实数加减运算
【点评】
本题结合数轴考查两点距离的应用，只要掌握数轴上两点距离的计算规则，理清点的位置关系即可正确求解。
【难度系数】
0.8
6.利用计算器进行如下操作 
=，屏幕显示的结果为5.625，那么进行如下操作$\sqrt[3]{}$ 0 . 1 7 8 =，屏幕显示的结果为
=，屏幕显示的结果为5.625，那么进行如下操作$\sqrt[3]{}$ 0 . 1 7 8 =，屏幕显示的结果为0.562 5
。答案
6.0.562 5
解析
【分析】
首先回忆立方根的小数点移动规律：被开方数的小数点每向左（或向右）移动3位，它的立方根的小数点就相应地向左（或向右）移动1位。题中已知对178开立方得到结果为5.625，现在要计算0.178的立方根，只需对比两个被开方数的小数点移动位数，就能推出对应的立方根结果：观察得178到0.178小数点向左移动了3位，因此对应立方根的小数点向左移动1位即可得到答案。
【解析】
解：根据立方根的变化规律：被开方数的小数点向左移动3位，其立方根的小数点向左移动1位。
已知$\sqrt[3]{178}=5.625$，
被开方数从178变为0.178，小数点向左移动了3位，
因此$\sqrt[3]{0.178}$的结果是把5.625的小数点向左移动1位，即$0.5625$。
【答案】
0.5625
【知识点】
立方根的性质，被开方数与立方根的变化规律
【点评】
本题侧重考查立方根相关的变化规律，解题核心是准确掌握被开方数和立方根的小数点移动对应关系，注意不要和平方根的移动规律混淆，找准移动位数即可快速得出答案。
【难度系数】
0.7
首先回忆立方根的小数点移动规律：被开方数的小数点每向左（或向右）移动3位，它的立方根的小数点就相应地向左（或向右）移动1位。题中已知对178开立方得到结果为5.625，现在要计算0.178的立方根，只需对比两个被开方数的小数点移动位数，就能推出对应的立方根结果：观察得178到0.178小数点向左移动了3位，因此对应立方根的小数点向左移动1位即可得到答案。
【解析】
解：根据立方根的变化规律：被开方数的小数点向左移动3位，其立方根的小数点向左移动1位。
已知$\sqrt[3]{178}=5.625$，
被开方数从178变为0.178，小数点向左移动了3位，
因此$\sqrt[3]{0.178}$的结果是把5.625的小数点向左移动1位，即$0.5625$。
【答案】
0.5625
【知识点】
立方根的性质，被开方数与立方根的变化规律
【点评】
本题侧重考查立方根相关的变化规律，解题核心是准确掌握被开方数和立方根的小数点移动对应关系，注意不要和平方根的移动规律混淆，找准移动位数即可快速得出答案。
【难度系数】
0.7
7.若$\sqrt{x-3}+(x+y-2)^2=0$，则$x-y$的算术平方根是
2
.答案
7.2
解析
【分析】
本题需要利用非负数的性质求解。我们已经知道，算术平方根和完全平方数都是非负数（即大于等于0），当两个非负数的和为0时，这两个非负数必须同时为0，据此可以列出关于x和y的方程，求出x、y的值后，再计算x-y的值，最后求它的算术平方根即可。
【解析】
解：
∵$\sqrt{x-3} ≥ 0$，$(x+y-2)^2 ≥ 0$，且$\sqrt{x-3}+(x+y-2)^2=0$
∴根据非负数的性质可得：
$\begin{cases}x - 3 = 0 \\x + y - 2 = 0\end{cases}$
解第一个方程得：$x = 3$
把$x=3$代入第二个方程：$3 + y - 2 = 0$，解得$y = -1$
∴$x - y = 3 - (-1) = 4$
∵4的算术平方根是2
∴$x-y$的算术平方根是2
【答案】
2
【知识点】
非负数的性质；算术平方根的定义；代数式求值
【点评】
本题是实数章节的基础常考题，解题的核心是牢记算术平方根、平方数的非负性，计算过程中注意符号问题，不要混淆算术平方根和平方根的概念即可正确求解。
【难度系数】
0.7
本题需要利用非负数的性质求解。我们已经知道，算术平方根和完全平方数都是非负数（即大于等于0），当两个非负数的和为0时，这两个非负数必须同时为0，据此可以列出关于x和y的方程，求出x、y的值后，再计算x-y的值，最后求它的算术平方根即可。
【解析】
解：
∵$\sqrt{x-3} ≥ 0$，$(x+y-2)^2 ≥ 0$，且$\sqrt{x-3}+(x+y-2)^2=0$
∴根据非负数的性质可得：
$\begin{cases}x - 3 = 0 \\x + y - 2 = 0\end{cases}$
解第一个方程得：$x = 3$
把$x=3$代入第二个方程：$3 + y - 2 = 0$，解得$y = -1$
∴$x - y = 3 - (-1) = 4$
∵4的算术平方根是2
∴$x-y$的算术平方根是2
【答案】
2
【知识点】
非负数的性质；算术平方根的定义；代数式求值
【点评】
本题是实数章节的基础常考题，解题的核心是牢记算术平方根、平方数的非负性，计算过程中注意符号问题，不要混淆算术平方根和平方根的概念即可正确求解。
【难度系数】
0.7
8.若$a,b$互为相反数,$c,d$互为倒数,$m$的绝对值为$3$,且$m＜0$,则$(-cd)^{2025}+m^2-\dfrac{3a+3b}{2025+m}=$
8
.答案
8.8
解析
【分析】解题时首先根据代数基本定义推导关键数值：①互为相反数的两个数之和为0，可得a+b=0；②互为倒数的两个数乘积为1，可得cd=1；③绝对值为3且小于0的数为-3，可得m=-3。接下来先验证代数式分母不为0，再将推导得到的数值代入原式，按照有理数混合运算的顺序（先乘方、再乘除、最后加减）计算即可得到结果。
【解析】
解：根据题意可得：
∵ a、b互为相反数，
∴ a + b = 0；
∵ c、d互为倒数，
∴ cd = 1；
∵ |m|=3且m＜0，
∴ m = -3。
先验证分母：2025 + m = 2025 - 3 = 2022 ≠ 0，分式有意义。
将上述值代入原式：
$\begin{aligned}(-cd)^{2025} + m^2 - \frac{3a+3b}{2025+m}&= (-1)^{2025} + (-3)^2 - \frac{3(a+b)}{2022}\\&=-1 + 9 - \frac{3×0}{2022}\\&=-1 + 9 - 0\\&=8\end{aligned}$
【答案】8
【知识点】相反数与倒数的定义，绝对值的性质，有理数混合运算
【点评】本题属于基础综合题，核心考查对相反数、倒数、绝对值等基础概念的掌握，解题时要注意负数奇数次幂的符号问题，代入数值前需确认分式分母不为0，避免运算错误。
【难度系数】0.7
【解析】
解：根据题意可得：
∵ a、b互为相反数，
∴ a + b = 0；
∵ c、d互为倒数，
∴ cd = 1；
∵ |m|=3且m＜0，
∴ m = -3。
先验证分母：2025 + m = 2025 - 3 = 2022 ≠ 0，分式有意义。
将上述值代入原式：
$\begin{aligned}(-cd)^{2025} + m^2 - \frac{3a+3b}{2025+m}&= (-1)^{2025} + (-3)^2 - \frac{3(a+b)}{2022}\\&=-1 + 9 - \frac{3×0}{2022}\\&=-1 + 9 - 0\\&=8\end{aligned}$
【答案】8
【知识点】相反数与倒数的定义，绝对值的性质，有理数混合运算
【点评】本题属于基础综合题，核心考查对相反数、倒数、绝对值等基础概念的掌握，解题时要注意负数奇数次幂的符号问题，代入数值前需确认分式分母不为0，避免运算错误。
【难度系数】0.7
三、解答题
9.已知正数a的两个平方根分别是2x－3和1－x，且$\sqrt[3]{1+2b}$与$\sqrt[3]{3b-5}$相等，求$a+2b$的算术平方根。
9.已知正数a的两个平方根分别是2x－3和1－x，且$\sqrt[3]{1+2b}$与$\sqrt[3]{3b-5}$相等，求$a+2b$的算术平方根。
答案
9.【解析】
∵正数a 的两个平方根分别是2x−3 和1−x，
∴2x−3+(1−x)=0，
∴x=2，
∴a=(1−x)²=(1−2)²=1.
∵$\sqrt[3]{1+2b}$与$\sqrt[3]{3b-5}$相等，
∴1+2b=3b−5，
∴b=6，
∴a+2b=1+2×6=13，
∴a+2b 的算术平方根是$\sqrt{13}$.
∵正数a 的两个平方根分别是2x−3 和1−x，
∴2x−3+(1−x)=0，
∴x=2，
∴a=(1−x)²=(1−2)²=1.
∵$\sqrt[3]{1+2b}$与$\sqrt[3]{3b-5}$相等，
∴1+2b=3b−5，
∴b=6，
∴a+2b=1+2×6=13，
∴a+2b 的算术平方根是$\sqrt{13}$.
解析
【分析】
解题时先从已知条件分步推导：第一，根据正数的两个平方根互为相反数的性质，两个平方根相加和为0，可列方程求出x的值，再代入平方根的表达式平方即可得到a的值；第二，根据立方根的性质，若两个数的立方根相等，则对应的被开方数相等，据此列方程求出b的值；最后计算a+2b的结果，再求其非负的算术平方根即可。
【解析】
∵正数a 的两个平方根分别是2x−3 和1−x，
∴2x−3+(1−x)=0，
解得x=2，
∴a=(1−x)²=(1−2)²=1.
∵$\sqrt[3]{1+2b}$与$\sqrt[3]{3b-5}$相等，
∴1+2b=3b−5，
解得b=6，
∴a+2b=1+2×6=13，
∴a+2b 的算术平方根是$\sqrt{13}$.
【答案】
$\sqrt{13}$
【知识点】
平方根的性质；立方根的性质；算术平方根的定义
【点评】
本题是实数部分的常规常考题，核心考查平方根、立方根的性质应用，解题关键是熟练掌握相关性质建立方程求解未知数，整体计算难度低，注意算术平方根的结果为非负数即可。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件分步推导：第一，根据正数的两个平方根互为相反数的性质，两个平方根相加和为0，可列方程求出x的值，再代入平方根的表达式平方即可得到a的值；第二，根据立方根的性质，若两个数的立方根相等，则对应的被开方数相等，据此列方程求出b的值；最后计算a+2b的结果，再求其非负的算术平方根即可。
【解析】
∵正数a 的两个平方根分别是2x−3 和1−x，
∴2x−3+(1−x)=0，
解得x=2，
∴a=(1−x)²=(1−2)²=1.
∵$\sqrt[3]{1+2b}$与$\sqrt[3]{3b-5}$相等，
∴1+2b=3b−5，
解得b=6，
∴a+2b=1+2×6=13，
∴a+2b 的算术平方根是$\sqrt{13}$.
【答案】
$\sqrt{13}$
【知识点】
平方根的性质；立方根的性质；算术平方根的定义
【点评】
本题是实数部分的常规常考题，核心考查平方根、立方根的性质应用，解题关键是熟练掌握相关性质建立方程求解未知数，整体计算难度低，注意算术平方根的结果为非负数即可。
【难度系数】
0.7
10. (1) 计算: $2\sqrt{3} - \sqrt{\frac{1}{16}} + |\sqrt{3} - 3| + \sqrt[3]{1 - \frac{63}{64}}$；
(2) 求$x$的值:
① $4x^2 - 81 = 0$；
② $2(x + 1)^3 = -16$。
(2) 求$x$的值:
① $4x^2 - 81 = 0$；
② $2(x + 1)^3 = -16$。
答案
10.【解析】(1)原式=$2\sqrt{3}-\frac{1}{4}+3-\sqrt{3}+\frac{1}{4}=\sqrt{3}+3$.
(2)①原方程整理得$x^2=\frac{81}{4}$，
则$x=\pm\frac{9}{2}$.
②原方程整理得$(x+1)^3=-8$，
则$x+1=-2$，
解得$x=-3$.
(2)①原方程整理得$x^2=\frac{81}{4}$，
则$x=\pm\frac{9}{2}$.
②原方程整理得$(x+1)^3=-8$，
则$x+1=-2$，
解得$x=-3$.
解析
【分析】
(1) 本题为实数混合运算题，解题思路是先分别化简每一项：先计算算术平方根、去绝对值、计算立方根，再合并同类项即可。去绝对值时需先判断绝对值内表达式的正负：因为√3≈1.732＜3，所以|√3-3|化简为3-√3。
(2) ①是利用平方根解方程的题型，先通过移项、系数化为1得到x²的取值，再对等式两边开平方，注意正数的平方根有2个，互为相反数，不能漏解；②是利用立方根解方程的题型，先将(x+1)³的系数化为1，再开立方求出x+1的值，进而计算x的取值即可，立方根仅有1个。
【解析】
(1) 先分别化简各项：
$\sqrt{\frac{1}{16}}=\frac{1}{4}$，$|\sqrt{3}-3|=3-\sqrt{3}$，$\sqrt[3]{1-\frac{63}{64}}=\sqrt[3]{\frac{1}{64}}=\frac{1}{4}$
原式=$2\sqrt{3}-\frac{1}{4}+3-\sqrt{3}+\frac{1}{4}=\sqrt{3}+3$
(2) ① $4x^2 - 81 = 0$
移项得：$4x^2=81$
系数化为1得：$x^2=\frac{81}{4}$
开平方得：$x=\pm\frac{9}{2}$
② $2(x + 1)^3 = -16$
系数化为1得：$(x+1)^3=-8$
开立方得：$x+1=-2$
解得：$x=-3$
【答案】
(1) $3+\sqrt{3}$；
(2) ① $x=\pm\frac{9}{2}$；② $x=-3$
【知识点】
实数的混合运算、平方根的性质、立方根的性质
【点评】
本题属于实数章节的基础题型，主要考查基础运算能力，易错点为绝对值化简时符号判断错误、开平方时遗漏负根，熟练掌握算术平方根、绝对值、立方根的相关性质即可准确作答。
【难度系数】
0.75
(1) 本题为实数混合运算题，解题思路是先分别化简每一项：先计算算术平方根、去绝对值、计算立方根，再合并同类项即可。去绝对值时需先判断绝对值内表达式的正负：因为√3≈1.732＜3，所以|√3-3|化简为3-√3。
(2) ①是利用平方根解方程的题型，先通过移项、系数化为1得到x²的取值，再对等式两边开平方，注意正数的平方根有2个，互为相反数，不能漏解；②是利用立方根解方程的题型，先将(x+1)³的系数化为1，再开立方求出x+1的值，进而计算x的取值即可，立方根仅有1个。
【解析】
(1) 先分别化简各项：
$\sqrt{\frac{1}{16}}=\frac{1}{4}$，$|\sqrt{3}-3|=3-\sqrt{3}$，$\sqrt[3]{1-\frac{63}{64}}=\sqrt[3]{\frac{1}{64}}=\frac{1}{4}$
原式=$2\sqrt{3}-\frac{1}{4}+3-\sqrt{3}+\frac{1}{4}=\sqrt{3}+3$
(2) ① $4x^2 - 81 = 0$
移项得：$4x^2=81$
系数化为1得：$x^2=\frac{81}{4}$
开平方得：$x=\pm\frac{9}{2}$
② $2(x + 1)^3 = -16$
系数化为1得：$(x+1)^3=-8$
开立方得：$x+1=-2$
解得：$x=-3$
【答案】
(1) $3+\sqrt{3}$；
(2) ① $x=\pm\frac{9}{2}$；② $x=-3$
【知识点】
实数的混合运算、平方根的性质、立方根的性质
【点评】
本题属于实数章节的基础题型，主要考查基础运算能力，易错点为绝对值化简时符号判断错误、开平方时遗漏负根，熟练掌握算术平方根、绝对值、立方根的相关性质即可准确作答。
【难度系数】
0.75
