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11.小明制作了一张面积为256 cm²的正方形贺卡想寄给朋友.现有一个长方形信封如图所示,长、宽之比为3:2,面积为420 cm².
(1)求长方形信封的长和宽；
(2)小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断.
(1)求长方形信封的长和宽；
(2)小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断.
答案
11.【解析】(1)设长方形信封的长为3x cm,宽为2x cm，
由题意得3x·2x=420，
∴$x=\sqrt{70}$，
∴$3x=3\sqrt{70},2x=2\sqrt{70}$，
∴长方形信封的长为$3\sqrt{70}$ cm,宽为$2\sqrt{70}$ cm.
(2)面积为256 cm²的正方形贺卡的边长是16 cm，
∵70＞64，
∴$\sqrt{70}＞8$，
∴$2\sqrt{70}＞16$,即信封的宽大于正方形贺卡的边长，
∴小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封.
由题意得3x·2x=420，
∴$x=\sqrt{70}$，
∴$3x=3\sqrt{70},2x=2\sqrt{70}$，
∴长方形信封的长为$3\sqrt{70}$ cm,宽为$2\sqrt{70}$ cm.
(2)面积为256 cm²的正方形贺卡的边长是16 cm，
∵70＞64，
∴$\sqrt{70}＞8$，
∴$2\sqrt{70}＞16$,即信封的宽大于正方形贺卡的边长，
∴小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封.
解析
【分析】
(1) 第一问已知长方形长宽比为3:2，可通过设参数的方法表示长和宽，再结合长方形面积公式列方程求解，长度为正数，因此x取正的算术平方根即可得到长宽的数值。
(2) 第二问先根据正方形面积公式求出贺卡的边长，要判断贺卡能否不折叠放入信封，仅需要比较信封的较短边（宽）和贺卡的边长，若信封的宽大于贺卡边长，即可放入，因此只需估算无理数的大小完成两者的比较即可。
【解析】
(1) 设长方形信封的长为$3x$ cm，宽为$2x$ cm，
由题意得：$3x· 2x=420$，
化简得$x^2=70$，因为长度为正数，因此$x=\sqrt{70}$，
所以$3x=3\sqrt{70}$，$2x=2\sqrt{70}$。
(2) 面积为$256\ \mathrm{cm}^2$的正方形贺卡的边长为$\sqrt{256}=16\ \mathrm{cm}$，
因为$70＞64$，所以$\sqrt{70}＞\sqrt{64}=8$，
因此$2\sqrt{70}＞2×8=16$，即信封的宽大于正方形贺卡的边长。
【答案】
(1) 长方形信封的长为$3\sqrt{70}$ cm，宽为$2\sqrt{70}$ cm；
(2) 小明能将贺卡不折叠就放入此信封。
【知识点】
算术平方根的应用，实数大小比较，列方程解应用题
【点评】
本题结合生活场景考查实数的实际应用，解题核心是通过面积公式建立方程求解未知量，同时掌握无理数的大小估算方法来解决实际判断问题。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问已知长方形长宽比为3:2，可通过设参数的方法表示长和宽，再结合长方形面积公式列方程求解，长度为正数，因此x取正的算术平方根即可得到长宽的数值。
(2) 第二问先根据正方形面积公式求出贺卡的边长，要判断贺卡能否不折叠放入信封，仅需要比较信封的较短边（宽）和贺卡的边长，若信封的宽大于贺卡边长，即可放入，因此只需估算无理数的大小完成两者的比较即可。
【解析】
(1) 设长方形信封的长为$3x$ cm，宽为$2x$ cm，
由题意得：$3x· 2x=420$，
化简得$x^2=70$，因为长度为正数，因此$x=\sqrt{70}$，
所以$3x=3\sqrt{70}$，$2x=2\sqrt{70}$。
(2) 面积为$256\ \mathrm{cm}^2$的正方形贺卡的边长为$\sqrt{256}=16\ \mathrm{cm}$，
因为$70＞64$，所以$\sqrt{70}＞\sqrt{64}=8$，
因此$2\sqrt{70}＞2×8=16$，即信封的宽大于正方形贺卡的边长。
【答案】
(1) 长方形信封的长为$3\sqrt{70}$ cm，宽为$2\sqrt{70}$ cm；
(2) 小明能将贺卡不折叠就放入此信封。
【知识点】
算术平方根的应用，实数大小比较，列方程解应用题
【点评】
本题结合生活场景考查实数的实际应用，解题核心是通过面积公式建立方程求解未知量，同时掌握无理数的大小估算方法来解决实际判断问题。
【难度系数】
0.7
12.“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远，如图，若观测点的高度为h(单位:km)，观测者能看到的最远距离为d(单位:km)，则$d≈\sqrt{2hR}$，其中R是地球半径，通常取6 400 km.
(1)小丽站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度h为20 m，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时d的值；
(2)判断下面说法是否正确，并说明理由：泰山海拔约为1 500 m，泰山到海边的最小距离约230 km，天气晴朗时站在泰山之巅可以看到大海.
(1)小丽站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度h为20 m，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时d的值；
(2)判断下面说法是否正确，并说明理由：泰山海拔约为1 500 m，泰山到海边的最小距离约230 km，天气晴朗时站在泰山之巅可以看到大海.
答案
12.【解析】(1)由R=6 400 km,h=0.02 km，
得$d=\sqrt{2×0.02×6 400}=\sqrt{256}=16(km)$，
∴此时d 的值为16 km.
(2)说法是错误的,理由如下:站在泰山之巅,人的身高忽略不计,此时,h=1.5 km,则$d^2=2×1.5×6 400=19 200$，
$230^2=52 900$.
∵19 200＜52 900,
∴d＜230,
∴天气晴朗时站在泰山之巅看不到大海.
得$d=\sqrt{2×0.02×6 400}=\sqrt{256}=16(km)$，
∴此时d 的值为16 km.
(2)说法是错误的,理由如下:站在泰山之巅,人的身高忽略不计,此时,h=1.5 km,则$d^2=2×1.5×6 400=19 200$，
$230^2=52 900$.
∵19 200＜52 900,
∴d＜230,
∴天气晴朗时站在泰山之巅看不到大海.
解析
【分析】
这道题属于给出公式的实际应用题，解题核心是正确代入公式计算，同时注意单位统一。
第(1)问的思考路径：首先明确公式中各个量的单位，R的单位是km，所以要先将h的单位从m换算为km，再把h和R的数值代入公式$d≈\sqrt{2hR}$，计算根号内的乘积后求算术平方根即可得到d的值。
第(2)问的思考路径：同样先统一单位，将泰山海拔的单位换算为km，代入公式算出能看到的最远距离d的平方，再计算230km的平方，根据“正数的平方越大，数本身越大”的规律比较两者大小，若d大于等于230km就能看到大海，反之则看不到。
【解析】
(1) 先统一单位：$h=20m=0.02km$，已知$R=6400km$，代入公式得：
$d=\sqrt{2×0.02×6400}=\sqrt{256}=16(km)$
(2) 该说法错误，理由如下：
先统一单位：泰山海拔$h=1500m=1.5km$，代入公式计算能看到的最远距离的平方：
$d^2=2×1.5×6400=19200$
而泰山到海边最小距离的平方为：$230^2=52900$
因为$19200＜52900$，所以$d＜230km$，即站在泰山之巅能看到的最远距离小于到海边的最小距离，所以天气晴朗时也看不到大海。
【答案】
(1) $16km$；(2) 说法错误，天气晴朗时站在泰山之巅看不到大海。
【知识点】
代数式求值，算术平方根运算，实数大小比较
【点评】
本题结合古诗文和生活场景考查实数的实际应用，趣味性较强，解题的易错点是忽略单位统一，通过比较平方的大小判断正数大小的技巧可以简化计算，能帮助学生感受数学的实用性。
【难度系数】
0.75
这道题属于给出公式的实际应用题，解题核心是正确代入公式计算，同时注意单位统一。
第(1)问的思考路径：首先明确公式中各个量的单位，R的单位是km，所以要先将h的单位从m换算为km，再把h和R的数值代入公式$d≈\sqrt{2hR}$，计算根号内的乘积后求算术平方根即可得到d的值。
第(2)问的思考路径：同样先统一单位，将泰山海拔的单位换算为km，代入公式算出能看到的最远距离d的平方，再计算230km的平方，根据“正数的平方越大，数本身越大”的规律比较两者大小，若d大于等于230km就能看到大海，反之则看不到。
【解析】
(1) 先统一单位：$h=20m=0.02km$，已知$R=6400km$，代入公式得：
$d=\sqrt{2×0.02×6400}=\sqrt{256}=16(km)$
(2) 该说法错误，理由如下：
先统一单位：泰山海拔$h=1500m=1.5km$，代入公式计算能看到的最远距离的平方：
$d^2=2×1.5×6400=19200$
而泰山到海边最小距离的平方为：$230^2=52900$
因为$19200＜52900$，所以$d＜230km$，即站在泰山之巅能看到的最远距离小于到海边的最小距离，所以天气晴朗时也看不到大海。
【答案】
(1) $16km$；(2) 说法错误，天气晴朗时站在泰山之巅看不到大海。
【知识点】
代数式求值，算术平方根运算，实数大小比较
【点评】
本题结合古诗文和生活场景考查实数的实际应用，趣味性较强，解题的易错点是忽略单位统一，通过比较平方的大小判断正数大小的技巧可以简化计算，能帮助学生感受数学的实用性。
【难度系数】
0.75
