8.【阅读思考】如图①，已知$AB// ED$，探究$∠ B$，$∠ E$，$∠ BCE$之间的关系.小明添加了一条辅助线解决了这道题，得到的结果是$∠ B+∠ E=∠ BCE$.
证明过程如下：
如图①，过点$C$作$CF// AB$，
$\therefore ∠ B=∠ 1$.
$\because AB// ED$，$AB// CF$，
$\therefore DE// CF$，
$\therefore ∠ E=∠ 2$，
$\therefore ∠ B+∠ E=∠ 1+∠ 2$，
即$∠ B+∠ E=∠ BCE$.

(1)【理解应用】如图②，已知$AB// DE$，求$∠ B+∠ BCD+∠ D$的度数；
(2)【拓展探索】如图③，已知$AB// CD$，点$C$在点$D$的右侧，$∠ ADC=50°$，$BE$平分$∠ ABC$，$DE$平分$∠ ADC$，$BE$，$DE$所在的直线交于点$E$，点$E$在直线$AB$与$CD$之间，点$B$在点$A$的右侧，且$AB＜CD$，$AD＜BC$，若$∠ ABC=n°$，则$∠ BED$的度数为多少？(用含$n$的代数式表示)

8.【解析】(1)如图②,过点C作$CF// AB$,

$\because AB// DE$,
$\therefore AB// CF// DE$,
$\therefore ∠ B+∠ BCF=180°,∠ FCD+∠ D=180°$,
$\therefore ∠ B+∠ BCD+∠ D=∠ B+∠ BCF+∠ FCD+∠ D=360°.$
(2)如图③,过点E作$EF// AB$,

$\because BE$平分$∠ ABC$,$DE$平分$∠ ADC$,$∠ ABC=n°$,$∠ ADC=50°$,
$\therefore ∠ ABE=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}n°$,$∠ CDE=\frac{1}{2}∠ ADC=25°.$
$\because AB// CD$,
$\therefore AB// CD// EF$,
$\therefore ∠ BEF=180°-∠ ABE=180°-\frac{1}{2}n°$,$∠ CDE=∠ DEF=25°$,
$\therefore ∠ BED=∠ BEF+∠ DEF=180°-\frac{1}{2}n°+25°=205°-\frac{1}{2}n°.$

【分析】
(1) 本题属于平行线中的“拐点”角度计算问题，已知$AB// DE$，点$C$是两条平行线间的拐点，可仿照示例过拐点$C$作平行于$AB$的辅助线，利用平行公理的推论得到辅助线也平行于$DE$，将$∠BCD$拆分为两个角，分别与$∠B$、$∠D$构成同旁内角，结合平行线同旁内角互补的性质即可求出三个角的和。
(2) 同样是平行线拐点问题，点$E$是$AB$和$CD$之间的拐点，过$E$作平行于$AB$的辅助线，可得辅助线同时平行于$AB$和$CD$。先根据角平分线的定义求出$∠ABE$和$∠CDE$的度数，再利用平行线的性质分别求出$∠BEF$和$∠DEF$的度数，两者相加即可得到$∠BED$的度数。
【解析】
(1) 如图②，过点$C$作$CF// AB$，

$\because AB// DE$，
$\therefore AB// CF// DE$，
$\therefore ∠B+∠BCF=180°,∠FCD+∠D=180°$，
$\therefore ∠B+∠BCD+∠D=∠B+∠BCF+∠FCD+∠D=180°+180°=360°$。
(2) 如图③，过点E作$EF// AB$，

$\because BE$平分$∠ABC$，$DE$平分$∠ADC$，$∠ABC=n°$，$∠ADC=50°$，
$\therefore ∠ABE=\frac{1}{2}∠ABC=\frac{1}{2}n°$，$∠CDE=\frac{1}{2}∠ADC=25°$。
$\because AB// CD$，
$\therefore AB// CD// EF$，
$\therefore ∠BEF=180°-∠ABE=180°-\frac{1}{2}n°$，$∠CDE=∠DEF=25°$，
$\therefore ∠BED=∠BEF+∠DEF=180°-\frac{1}{2}n°+25°=205°-\frac{1}{2}n°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{360°}$
(2) $\boldsymbol{(205-\dfrac{1}{2}n)°}$


【知识点】
1. 平行线的性质
2. 角平分线的定义
3. 平行公理的推论
【点评】
本题是平行线章节的典型“拐点”类题型，核心解题方法是过拐点作已知直线的平行线，将待求角度转化为平行线间的同位角、内错角或同旁内角，再结合其他性质求解，能有效考查学生的辅助线构造能力和对平行线性质的运用能力。
【难度系数】
0.7

9.定义:从∠α(90°＜α＜180°)的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将∠α分得的两个角中有一个角与∠α互为补角，则称该射线为∠α的“好线”.
如图，点O在直线AB上，OC，OD在直线AB上方，且OC⊥OD，射线OE是∠AOD的“好线”.
(1)若∠BOD=26°，且OE在∠COD内部，则∠COE=°；
(2)若OE恰好平分∠AOC，请求出∠BOD的度数；
(3)若OF是∠AOE的平分线，OG是∠BOC的平分线，请画出图形，探究∠EOF与∠DOG的数量关系，并说明理由.

9.【解析】(1)如图①,射线OE是$∠ AOD$的“好线”,
当$∠ DOE+∠ AOD=180°$时,
$\because ∠ AOD+∠ BOD=180°$,
$\therefore ∠ DOE=∠ BOD=26°.$
$\because OC⊥ OD$,
$\therefore ∠ COD=90°$,
$\therefore ∠ COE=90°-26°=64°.$

如图②,射线OE是$∠ AOD$的“好线”,
当$∠ AOE+∠ AOD=180°$时,
$\because ∠ AOD+∠ BOD=180°$,
$\therefore ∠ AOE=∠ BOD=26°.$
$\because ∠ AOC=180°-∠ BOD-∠ COD=180°-26°-90°=64°$,
$\therefore ∠ AOC＞∠ AOE$,$\therefore OE$不在$∠ COD$内部.
因此$∠ COE=∠ AOC-∠ AOE=64°-26°=38°.$
(2)射线OE是$∠ AOD$的“好线”,
若OE恰好平分$∠ AOC$,
$\therefore ∠ AOE=∠ COE=∠ BOD$,
$\therefore ∠ BOD=\frac{1}{3}×(180°-90°)=30°.$
(3)$∠ EOF=2∠ DOG$ 或 $∠ EOF+∠ DOG=45°$,理由如下:
如图③,射线OE是$∠ AOD$的“好线”,
当$∠ AOE+∠ AOD=180°$时,
$\because ∠ AOD+∠ BOD=180°$,
$\therefore ∠ AOE=∠ BOD.$
$\because OF$是$∠ AOE$的平分线,
$\therefore ∠ EOF=\frac{1}{2}∠ AOE=\frac{1}{2}∠ BOD.$
$\because OG$是$∠ BOC$的平分线,
$\therefore ∠ BOG=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×(90°+∠ BOD)=45°+\frac{1}{2}∠ BOD$,
$\therefore ∠ DOG=∠ BOG-∠ BOD=45°-\frac{1}{2}∠ BOD$,
$\therefore ∠ EOF+∠ DOG=45°.$

如图④,射线OE是$∠ AOD$的“好线”,
当$∠ DOE+∠ AOD=180°$时,
$\because ∠ AOD+∠ BOD=180°$,
$\therefore ∠ DOE=∠ BOD$,
$\therefore ∠ DOG=\frac{1}{2}∠ BOC-∠ BOD$
$=\frac{1}{2}(90°+∠ BOD)-∠ BOD$
$=45°-\frac{1}{2}∠ BOD$,
$∠ EOF=\frac{1}{2}∠ AOE=\frac{1}{2}×(180°-2∠ BOD)$
$=90°-∠ BOD$,
$\therefore ∠ EOF=2∠ DOG$,
综上所述,$∠ EOF=2∠ DOG$ 或 $∠ EOF+∠ DOG=45°.$

【分析】
解决本题首先要准确理解“好线”的定义：对于90°＜∠α＜180°，其内部的射线将它分成两个角，若其中一个角与∠α互补，则该射线是∠α的好线。
(1) 先根据平角定义得∠AOD+∠BOD=180°，因此∠AOD的补角就是∠BOD，所以射线OE分∠AOD得到的两个角中必有一个等于∠BOD=26°，分∠DOE=26°和∠AOE=26°两种情况讨论，结合“OE在∠COD内部”的条件筛选符合的情况，再利用OC⊥OD得到∠COD=90°，通过角的差计算∠COE。
(2) 由OE是∠AOD的好线可得OE分∠AOD得到的角等于∠BOD，再结合OE平分∠AOC，得到∠AOE=∠COE=∠BOD，结合∠AOC+∠COD+∠BOD=180°，∠COD=90°，代入即可求出∠BOD。
(3) 分两种情况讨论：①∠AOE与∠AOD互补；②∠DOE与∠AOD互补。分别结合OF平分∠AOE、OG平分∠BOC的性质，用角的和差关系推导∠EOF和∠DOG的数量关系，注意不要遗漏情况。
【解析】
(1) 射线OE是∠AOD的“好线”，
当∠DOE+∠AOD=180°时，
∵∠AOD+∠BOD=180°，
∴∠DOE=∠BOD=26°。
∵OC⊥OD，
∴∠COD=90°，
∴∠COE=90°-26°=64°。

当∠AOE+∠AOD=180°时，
∵∠AOD+∠BOD=180°，
∴∠AOE=∠BOD=26°。
∵∠AOC=180°-∠BOD-∠COD=180°-26°-90°=64°，
∴∠AOC＞∠AOE，此时OE不在∠COD内部，该情况舍去。
因此∠COE=64°。
(2) 射线OE是∠AOD的“好线”，且OE平分∠AOC，
∴∠AOE=∠COE=∠BOD，
∵∠AOC+∠COD+∠BOD=180°，∠COD=90°，
即2∠BOD+90°+∠BOD=180°，
∴∠BOD=1/3×(180°-90°)=30°。
(3) ∠EOF=2∠DOG 或 ∠EOF+∠DOG=45°，理由如下：

情况1：当∠AOE+∠AOD=180°时，
∵∠AOD+∠BOD=180°，
∴∠AOE=∠BOD。
∵OF是∠AOE的平分线，
∴∠EOF=1/2∠AOE=1/2∠BOD。
∵OG是∠BOC的平分线，
∴∠BOG=1/2∠BOC=1/2×(90°+∠BOD)=45°+1/2∠BOD，
∴∠DOG=∠BOG-∠BOD=45°-1/2∠BOD，
∴∠EOF+∠DOG=45°。
情况2：当∠DOE+∠AOD=180°时，
∵∠AOD+∠BOD=180°，
∴∠DOE=∠BOD，
∴∠DOG=1/2∠BOC-∠BOD
=1/2(90°+∠BOD)-∠BOD
=45°-1/2∠BOD，
∠EOF=1/2∠AOE=1/2×(180°-2∠BOD)
=90°-∠BOD，
∴∠EOF=2∠DOG。
综上所述，∠EOF=2∠DOG 或 ∠EOF+∠DOG=45°。
【答案】
(1) 64
(2) 30°
(3) ∠EOF=2∠DOG或∠EOF+∠DOG=45°，图形如下：

【知识点】
补角的定义；垂直的性质；角平分线的定义
【点评】
本题为新定义类几何题型，解题的关键是准确把握“好线”的定义，结合角的和差关系、角平分线的性质分析，解题时需注意对射线的不同位置进行分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6