【典例1】(1)已知集合$M=\{0,1,2,3,4,5,6\}$，$A=\{-2,-1,0,1,2\}$，$B=\{y∣ y=x^2,x\in A\}$，则$\complement_M B=$；
(2)已知集合$A=\{x∣ 2≤ x≤5\}$，$B=\{x∣ 3≤ x＜4\}$，则$\complement_A B=$。
解题指导 (1)根据条件计算求得集合$B$，然后根据补集定义求$\complement_M B$。
(2)在数轴上分别画出集合$A$和$B$，然后根据补集定义求$\complement_A B$。
解析 (1)因为$A=\{-2,-1,0,1,2\}$，$B=\{y∣ y=x^2,x\in A\}$，所以令$x$分别取$-2,-1,0,1,2$，代入$y=x^2$即可求得$B=\{0,1,4\}$，所以$\complement_M B=\{2,3,5,6\}$。
(2)根据题意画出数轴如图所示，所以$\complement_A B=\{x∣ 2≤ x＜3或4≤ x≤5\}$。

答案 (1)$\{2,3,5,6\}$ (2)$\{x∣ 2≤ x＜3或4≤ x≤5\}$

解：
(1) 将$x\in A=\{-2,-1,0,1,2\}$代入$y=x^2$计算：
$x=-2$时$y=4$，$x=-1$时$y=1$，$x=0$时$y=0$，$x=1$时$y=1$，$x=2$时$y=4$，
因此$B=\{0,1,4\}$。
根据补集定义，在全集$M=\{0,1,2,3,4,5,6\}$中去掉$B$的所有元素，得：
$\complement_M B=\{2,3,5,6\}$。
(2) 根据补集定义，在集合$A=\{x∣ 2≤ x≤5\}$中去掉属于$B=\{x∣ 3≤ x＜4\}$的所有元素，得：
$\complement_A B=\{x∣ 2≤ x＜3 \mathrm{ 或 } 4≤ x≤5\}$。

【变式1】(1)已知$\complement_{\mathbf{Z}}A=\{x\in\mathbf{Z}|x＜6\}$，$\complement_{\mathbf{Z}}B=\{x\in\mathbf{Z}|x≤2\}$，则（）
A.$A=B$
B.$A⊂neqq B$
C.$A∩ B=B$
D.$A\cup B=A$
(2)已知全集$U=\{(x,y)|y=x-1,x\in\mathbf{R}\}$，$P=\{(x,y)\left|\dfrac{y-2}{x-3}=1,x\in\mathbf{R} \}$，则$\complement_{U}P=\_\_\_\_\_\_$。

(1)B 由∁_Z A={x∈Z|x＜6},得A={x∈Z|x≥6}.由∁_Z B={x∈Z|x≤2},得B={x∈Z|x＞2},所以A⫋B,故A错误,B正确.A∩B=A,A∪B=B,故C,D错误.
(2){(3,2)} 由题意,得U={(x,y)|y=x-1,x∈R},P={(x,y)|y=x-1,x∈R且x≠3}.(U表示直线y=x-1上的所有点组成的集合,P表示直线y=x-1去掉点(3,2)后的点组成的集合)
当x=3时,y=2,故∁_U P={(3,2)}.

【典例2】(1)已知集合$U=\{1,2,3,4\},A=\{1,2\},B=\{2,3\}$,则$(A∩(\complement_{U}B))\cup((\complement_{U}A)∩ B)=$;
(2)已知全集$U=\{1,2,3,4,5,6\},A∩ B=\{2\},(\complement_{U}A)∩(\complement_{U}B)=\{1\},(\complement_{U}A)∩ B=\{4,6\}$,则$A∩(\complement_{U}B)=$.
解题指导 (1)先分别计算$\complement_{U}A$和$\complement_{U}B$,然后分别计算$A∩(\complement_{U}B)$和$(\complement_{U}A)∩ B$,最后计算$(A∩(\complement_{U}B))\cup((\complement_{U}A)∩ B)$.
(2)根据题意画出Venn图,将数字标在对应位置求解.
解析 (1)因为集合$U=\{1,2,3,4\},A=\{1,2\},B=\{2,3\}$,
所以$\complement_{U}B=\{1,4\},\complement_{U}A=\{3,4\}$,
所以$A∩(\complement_{U}B)=\{1\},(\complement_{U}A)∩ B=\{3\}$,
所以$(A∩(\complement_{U}B))\cup((\complement_{U}A)∩ B)=\{1,3\}$.
(2)由$A∩ B=\{2\}$,得$2\in A,2\in B$.
由$(\complement_{U}A)∩(\complement_{U}B)=\{1\}$,得$1∉ A,1∉ B$.
由$(\complement_{U}A)∩ B=\{4,6\}$,得$\{4,6\}⊆ B$,且$\{4,6\}\nsubseteq A$.
根据题意画出Venn图如图所示.

由图易得$A=\{2,3,5\},B=\{2,4,6\},\complement_{U}B=\{1,3,5\}$,所以$A∩(\complement_{U}B)=\{3,5\}$.
答案 (1)$\{1,3\}$ (2)$\{3,5\}$

(1)$\boldsymbol{\{1,3\}}$；(2)$\boldsymbol{\{3,5\}}$

解：
(1) 已知$U=\{1,2,3,4\},A=\{1,2\},B=\{2,3\}$
则$\complement_{U}B=\{1,4\}$，$\complement_{U}A=\{3,4\}$
计算得：
$A∩ (\complement_{U}B)=\{1,2\}∩\{1,4\}=\{1\}$
$(\complement_{U}A)∩ B=\{3,4\}∩\{2,3\}=\{3\}$
因此$(A∩ (\complement_{U}B))\cup((\complement_{U}A)∩ B)=\{1\}\cup\{3\}=\{1,3\}$
(2) 由$A∩ B=\{2\}$，得$2\in A$且$2\in B$；
由$(\complement_{U}A)∩ (\complement_{U}B)=\{1\}$，得$1∉ A$且$1∉ B$；
由$(\complement_{U}A)∩ B=\{4,6\}$，得$4,6\in B$且$4,6∉ A$。
全集$U=\{1,2,3,4,5,6\}$中剩余元素为3,5，因此$3,5\in A$且$3,5∉ B$，即$A=\{2,3,5\}$，$B=\{2,4,6\}$。
可得$\complement_{U}B=\{1,3,5\}$，因此$A∩ (\complement_{U}B)=\{2,3,5\}∩\{1,3,5\}=\{3,5\}$
最终