知识点2 补集 ★★★
1.补集的定义
| 定义 | 对于一个集合$A$，由全集$U$中不属于集合$A$的所有元素组成的集合称为集合$A$相对于全集$U$的补集，简称为集合$A$的补集，记作$\complement_U A$ |
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| 符号表示 | $\complement_U A = \{x | x \in U, 且 x ∉ A\}$
图1 |
| 图示 | |
| 示例 | 若集合$U = \{x \in \mathbb{N} | 4 ≤ x ≤ 8\}, A = \{4,6,8\}, 则 \complement_U A = \{5,7\}$ |
▶名师点拨
(1)补集是相对于全集而言的，若没有定义全集，则不存在补集的说法，且补集的元素不能超出全集的范围。
(2)符号$\complement_U A$的三层含义:①$A ⊆ U$;②$\complement_U A ⊆ U$;③$\complement_U A$是由$U$中不属于$A$的所有元素组成的集合。
2.补集的性质
| 性质 | 含义 |
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| $A \cup (\complement_U A) = U$ | 一个集合与其补集的并集是全集 |
| $A ∩ (\complement_U A) = ∅$ | 一个集合与其补集的交集是空集 |
| $\complement_U (\complement_U A) = A$ | 一个集合的补集的补集是其本身 |
| $\complement_U U = ∅$
图2 | 全集的补集是空集 |
| $\complement_U ∅ = U$ | 空集的补集是全集 |
| $A = B ⇔ \complement_U A = \complement_U B$ | 在同一全集中，相等集合的补集也相等 |
| $A ⊆ B ⇔ \complement_U B ⊆ \complement_U A$ | 在同一全集中，任何集合的补集是其子集的补集的子集 |
【学以致用】(1)已知全集$U$，集合$A = \{1,3,5,7,9\}, \complement_U A = \{2,4,6,8\}, \complement_U B = \{1,4,6,8,9\}$，求集合$B$；
(2)已知全集$U = \{x | -4 ＜ x ＜ 4\}, A = \{x | -3 ≤ x ＜ 2\}, 求 \complement_U A$。

解:(1)因为集合A={1,3,5,7,9}, ∁UA={2,4,6,8},
所以U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
又因为∁UB={1,4,6,8,9},所以B={2,3,5,7}.
(2)全集U={x|-4＜x＜4},A={x|-3≤x＜2},画出数轴,如图所示.
由图易得∁UA={x|-4＜x＜-3或2≤x＜4}.