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1.(北京卷)已知集合$M=\{x|x+2≥0\},N=\{x|x-1＜0\}$,则$M∩ N=$（
A.$\{x|-2≤ x＜1\}$
B.$\{x|-2＜ x≤1\}$
C.$\{x|x≥-2\}$
D.$\{x|x＜1\}$
A
）A.$\{x|-2≤ x＜1\}$
B.$\{x|-2＜ x≤1\}$
C.$\{x|x≥-2\}$
D.$\{x|x＜1\}$
答案
1.A 集合$M=\{x∣ x+2≥ 0\}=\{x∣ x≥ -2\},N=\{x∣ x-1＜0\}=\{x∣ x＜1\}$,则$M∩ N=\{x∣ -2≤ x＜1\}$.
2.设集合$A=\{x∣ -1＜x＜3\},B=\{x∣ 2≤ x≤ 4\}$,则$A\cup B=$（
A.$\{x∣ 2≤ x＜3\}$
B.$\{x∣ 2≤ x≤ 3\}$
C.$\{x∣ -1＜x＜4\}$
D.$\{x∣ -1＜x≤ 4\}$
D
）A.$\{x∣ 2≤ x＜3\}$
B.$\{x∣ 2≤ x≤ 3\}$
C.$\{x∣ -1＜x＜4\}$
D.$\{x∣ -1＜x≤ 4\}$
答案
2.D 因为集合$A=\{x∣ -1＜x＜3\},B=\{x∣ 2≤ x≤ 4\}$,所以$A\cup B=\{x∣ -1＜x≤ 4\}$.
3.(多选)集合$A=\{1,2,7,6,9,15\},B=\{-1,0,2,3,5,9,15\}$,则下列集合包含于$A∩B$的是（
A.$\{2,9,15\}$
B.$\{1,2,3,4,5,6\}$
C.$\{9\}$
D.$∅$
ACD
）A.$\{2,9,15\}$
B.$\{1,2,3,4,5,6\}$
C.$\{9\}$
D.$∅$
答案
3.ACD 因为集合$A=\{1,2,7,6,9,15\},B=\{-1,0,2,3,5,9,15\}$,
所以$A∩ B=\{2,9,15\}$,
所以包含于$A∩ B$的集合有$\{2,9,15\},\{9\},∅$.
所以$A∩ B=\{2,9,15\}$,
所以包含于$A∩ B$的集合有$\{2,9,15\},\{9\},∅$.
4.(教材改编题)设集合$A=\{a,b\},B=\{a+1,6\}$,且$A∩ B=\{1\}$,则$A\cup B$的子集个数为
8
答案
4.8 因为集合$A=\{a,b\},B=\{a+1,6\}$,且$A∩ B=\{1\}$,
所以$a+1=1$,解得$a=0$,所以集合$A$中的$b=1$,所以集合$A=\{0,1\},B=\{1,6\}$,所以$A\cup B=\{0,1,6\}$,有3个元素,所以$A\cup B$的子集个数为$2^3=8$.
所以$a+1=1$,解得$a=0$,所以集合$A$中的$b=1$,所以集合$A=\{0,1\},B=\{1,6\}$,所以$A\cup B=\{0,1,6\}$,有3个元素,所以$A\cup B$的子集个数为$2^3=8$.
5.已知集合$A=\{x|-1＜x＜3\}$，集合$B=\{x|2k＜x＜3+k\}$。
(1)当$k=-1$时，求$A∩ B$；
(2)若$A∩ B$是空集，求实数$k$的取值范围。
(1)当$k=-1$时，求$A∩ B$；
(2)若$A∩ B$是空集，求实数$k$的取值范围。
答案
5.解:(1)由题意,得当$k=-1$时,集合$B=\{x∣ -2＜x＜2\}$,
所以$A∩ B=\{x∣ -1＜x＜2\}$.
(2)当$A∩ B$是空集时,分两种情况讨论:
①当集合$B=∅$时,$2k≥ 3+k$,解得$k≥ 3$;
②当集合$B≠ ∅$时,$k＜3$,要使$A∩ B$是空集,则需满足$3+k≤ -1$或$2k≥ 3$,解得$k≤ -4$或$\dfrac{3}{2}≤ k＜3$.
综上,实数$k$的取值范围为$\{k∣ k≤ -4或k≥ \dfrac{3}{2}\}$.
所以$A∩ B=\{x∣ -1＜x＜2\}$.
(2)当$A∩ B$是空集时,分两种情况讨论:
①当集合$B=∅$时,$2k≥ 3+k$,解得$k≥ 3$;
②当集合$B≠ ∅$时,$k＜3$,要使$A∩ B$是空集,则需满足$3+k≤ -1$或$2k≥ 3$,解得$k≤ -4$或$\dfrac{3}{2}≤ k＜3$.
综上,实数$k$的取值范围为$\{k∣ k≤ -4或k≥ \dfrac{3}{2}\}$.
6.(多选)设集合$A=\{x|x^2-(a+2)x+2a=0\},B=\{x|x^2-5x+4=0\}$.若集合$A\cup B$中所有元素之和为7,则实数$a$的值为 (
A.0
B.1
C.2
D.3
ABC
)A.0
B.1
C.2
D.3
答案
6.ABC 由题意,得$B=\{x∣ x^2-5x+4=0\}=\{1,4\}$.由$x^2-(a+2)x+2a=0$,得$x=2$或$x=a$,所以集合$A\cup B$中必定含有1,2,4这3个元素.
又因为$A\cup B$中所有元素之和为7,
所以当$a$与1,2,4不重复时,由$1+2+4=7$,得$a=0$,
所以实数$a$的值为0或1或2或4.
又因为$A\cup B$中所有元素之和为7,
所以当$a$与1,2,4不重复时,由$1+2+4=7$,得$a=0$,
所以实数$a$的值为0或1或2或4.
7.已知集合$A=\{x ∣ x^2 + px - 2 = 0\}, B=\{x ∣ x^2 - 2x + q = 0\}$, 且$A\cup B=\{-1,0,2\}$, 则$p+q$的值为
-1
。答案
7.-1 由题意,知方程$x^2+px-2=0,x^2-2x+q=0$均有实数根.设方程$x^2+px-2=0$的根为$x_1,x_2$,方程$x^2-2x+q=0$的根为$x_3,x_4$,易得$x_1,x_2,x_3,x_4\in \{-1,0,2\}$,
且$\begin{cases}x_1+x_2=-p,\\x_1x_2=-2,\end{cases}\begin{cases}x_3+x_4=2,\\x_3x_4=q.\end{cases}$分析可知方程$x^2+px-2=0$的根为$-1,2$,方程$x^2-2x+q=0$的根为0,2,即$A=\{-1,2\},B=\{0,2\}$,满足$A\cup B=\{-1,0,2\}$,符合题意,所以$\begin{cases}x_1+x_2=-p=1,\\x_3x_4=q=0,\end{cases}$所以$p+q=-1$.
且$\begin{cases}x_1+x_2=-p,\\x_1x_2=-2,\end{cases}\begin{cases}x_3+x_4=2,\\x_3x_4=q.\end{cases}$分析可知方程$x^2+px-2=0$的根为$-1,2$,方程$x^2-2x+q=0$的根为0,2,即$A=\{-1,2\},B=\{0,2\}$,满足$A\cup B=\{-1,0,2\}$,符合题意,所以$\begin{cases}x_1+x_2=-p=1,\\x_3x_4=q=0,\end{cases}$所以$p+q=-1$.
8.已知集合$A=\{x\in\mathbf{Z}∣ x^2＜3\}, B=\{x∣ a＜x＜a+\dfrac{3}{2}\}$.若$A∩ B$中有两个元素,则实数$a$的取值范围是
$\{a∣ -\dfrac{3}{2}＜a＜-1或-\dfrac{1}{2}＜a＜0\}$
.答案
8.$\{a∣ -\dfrac{3}{2}＜a＜-1或-\dfrac{1}{2}＜a＜0\}$ $A=\{x\in \mathbf{Z}∣ x^2＜3\}=\{-1,0,1\},B=\{x∣ a＜x＜a+\dfrac{3}{2}\}$.
因为$A∩ B$中有两个元素,所以$\begin{cases}a＜-1,\\0＜a+\dfrac{3}{2}≤ 1\end{cases}$或$\begin{cases}-1≤ a＜0,\\a+\dfrac{3}{2}＞1,\end{cases}$解得$-\dfrac{3}{2}＜a＜-1$或$-\dfrac{1}{2}＜a＜0$,
所以实数$a$的取值范围是$\{a∣ -\dfrac{3}{2}＜a＜-1或-\dfrac{1}{2}＜a＜0\}$.
因为$A∩ B$中有两个元素,所以$\begin{cases}a＜-1,\\0＜a+\dfrac{3}{2}≤ 1\end{cases}$或$\begin{cases}-1≤ a＜0,\\a+\dfrac{3}{2}＞1,\end{cases}$解得$-\dfrac{3}{2}＜a＜-1$或$-\dfrac{1}{2}＜a＜0$,
所以实数$a$的取值范围是$\{a∣ -\dfrac{3}{2}＜a＜-1或-\dfrac{1}{2}＜a＜0\}$.
9.设集合$A=\{x ∣ x^2 -4=0\}, B=\{x ∣ x^2 +2(a+1)x +a^2 -5=0\}$。
(1)若$A∩ B=\{-2\}$，求实数$a$的值；
(2)若$A\cup B=A$，求实数$a$的取值范围。
(提示:(1)首先根据$A∩ B=\{-2\}$得到$-2\in B$，将$-2$代入$B$中的方程即可求得$a$的值，然后注意取舍，判断是否满足$A∩ B=\{-2\}$.(2)首先根据$A\cup B=A$得到$B⊆ A$，然后进行分类讨论:①$\Delta＜0$;②$\Delta=0$;③$\Delta＞0$.分别求得$a$的取值(范围)，并进行判断取舍)
答案 P05
(1)若$A∩ B=\{-2\}$，求实数$a$的值；
(2)若$A\cup B=A$，求实数$a$的取值范围。
(提示:(1)首先根据$A∩ B=\{-2\}$得到$-2\in B$，将$-2$代入$B$中的方程即可求得$a$的值，然后注意取舍，判断是否满足$A∩ B=\{-2\}$.(2)首先根据$A\cup B=A$得到$B⊆ A$，然后进行分类讨论:①$\Delta＜0$;②$\Delta=0$;③$\Delta＞0$.分别求得$a$的取值(范围)，并进行判断取舍)
答案 P05
答案
9.解:(1)由题意,得集合$A=\{-2,2\}$.
因为$A∩ B=\{-2\}$,
所以$-2\in B$,即$4-4(a+1)+a^2-5=0$,解得$a=-1$或$a=5$.
当$a=-1$时,$B=\{-2,2\},A∩ B=\{-2,2\}$,不符合题意,舍去,所以$a=5$,所以实数$a$的值为5.
(2)因为$A\cup B=A=\{-2,2\}$,所以$B⊆ A$.分以下三种情况讨论:
①当$\Delta=4(a+1)^2-4(a^2-5)＜0$,即$a＜-3$时,$B=∅$,符合题意;
②当$\Delta=0$,即$a=-3$时,$B=\{2\}$,符合题意;
③当$\Delta＞0$,即$a＞-3$时,易得$B=\{-2,2\}$,则$\begin{cases}-2(a+1)=0,\\a^2-5=-4,\end{cases}$解得$a=-1$.
综上,实数$a$的取值范围为$\{a∣ a≤ -3或a=-1\}$.
因为$A∩ B=\{-2\}$,
所以$-2\in B$,即$4-4(a+1)+a^2-5=0$,解得$a=-1$或$a=5$.
当$a=-1$时,$B=\{-2,2\},A∩ B=\{-2,2\}$,不符合题意,舍去,所以$a=5$,所以实数$a$的值为5.
(2)因为$A\cup B=A=\{-2,2\}$,所以$B⊆ A$.分以下三种情况讨论:
①当$\Delta=4(a+1)^2-4(a^2-5)＜0$,即$a＜-3$时,$B=∅$,符合题意;
②当$\Delta=0$,即$a=-3$时,$B=\{2\}$,符合题意;
③当$\Delta＞0$,即$a＞-3$时,易得$B=\{-2,2\}$,则$\begin{cases}-2(a+1)=0,\\a^2-5=-4,\end{cases}$解得$a=-1$.
综上,实数$a$的取值范围为$\{a∣ a≤ -3或a=-1\}$.
