1. (2024·柳州期末)如图,直线$ l $与$ x $轴、$ y $轴分别相交于$ A、B $两点,已知$ B(0,\sqrt{3}) $,$ ∠ BAO = 30° $,圆心$ P $的坐标为$ (1,0) $.$ \odot P $与$ y $轴相切于点$ O $,若将$ \odot P $沿$ x $轴向左移动,当$ \odot P $与该直线相交时,横坐标为整数的点$ P $的个数是 ( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5

B

2. (2024·枣庄模拟)如图,点 P 在函数 $y=\frac{4\sqrt{3}}{x}$ $(x＞0)$ 的图像上运动,O 为坐标原点,点 A 为 PO 的中点,以点 P 为圆心,PA 为半径作$\odot P$,则当$\odot P$与坐标轴相切时,点 P 的坐标为$\underline{\hspace{3cm}}$.

$(2\sqrt{3},2)$或$(2,2\sqrt{3})$

3. 如图,在平面直角坐标系中,直线$y=x-4$与$x$轴、$y$轴分别交于点$B$、$C$,半径为$2$的$\odot P$的圆心$P$从点$A(8,m)$(点$A$在直线$y=x-4$上)出发,以每秒$\sqrt{2}$个单位长度的速度沿射线$AC$运动,设点$P$运动的时间为$t$秒,则当$t=\_\_\_\_\_\_$时,$\odot P$与坐标轴相切.

2或6或10

4. 如图,已知以$(0,4)$为圆心的$\odot M$与直线$l$:
$y=-\sqrt{3}x$相切,从相切处开始,$\odot M$以每秒
1个单位的速度沿$y$轴某一方向匀速运动.
(1)求$\odot M$的半径;
(2)若$\odot M$在运动过程中截直线$l$所得的弦长
为$\dfrac{12}{5}$,求$\odot M$的运动时间;
(3)若直线$l$同时以每秒$\sqrt{3}$个单位的速度沿
$x$轴正方向运动,求$\odot M$与直线$l$再次相切时
圆心的坐标.

; 解：​$(1)$​设​$\odot M$​与直线​$y = -\sqrt {3}x$​相切于点​$C，$​设​$C(m，-\sqrt {3}m)，$​连接​$MC，$​作​$CH\perp y$​轴于点​$H。$​​$ $​因为​$CH\perp y$​轴于点​$H，$​所以​$OC=-2m = 2CH，$​则​$∠COH = 30°。$​​$ $​在​$Rt\triangle COM$​中，​$∠MCO = 90°，$​​$OM = 4，$​所以​$CM=\frac {1}{2}OM = 2，$​即​$\odot M$​的半径为​$2。$​​$ (2)$​设​$\odot M$​与直线​$y = -\sqrt {3}x$​交于点​$A、$​​$B，$​作​$MC\perp AB$​于点​$C，$​连接​$BM。$​​$ $​因为​$MC\perp AB，$​所以​$AC = CB=\frac {6}{5}。$​​$ $​在​$Rt\triangle BCM$​中，​$CM=\sqrt {BM^2-BC^2}=\frac {8}{5}。$​​$ $​在​$Rt\triangle COM$​中，因为​$∠COM = 30°，$​所以​$OM = 2CM=\frac {16}{5}。$​​$ $​点​$M$​的运动距离为​$4-\frac {16}{5}=\frac {4}{5}，$​所以​$t=\frac {4}{5}。$​ 根据对称性，当​$M'(0，-\frac {16}{5})$​时，也满足条件，点​$M$​的运动距离为​$4 + \frac {16}{5}=\frac {36}{5}，$​所以​$t=\frac {36}{5}。$​ 综上所述，若​$\odot M$​在运动过程中截直线​$l$​所得的弦长为​$\frac {12}{5}，$​则​$\odot M$​的运动时间为​$\frac {4}{5}\ \mathrm {s}_{或}\frac {36}{5}\ \mathrm {s}。$​​$ (3)$​当​$\odot M$​向下平移时，​$\odot M$​与直线​$l$​的切点为​$C，$​作​$ME//$​直线​$l$​交​$x$​轴于点​$E，$​作​$ED\perp _{直线}l$​于点​$D，$​则四边形​$MCDE$​是矩形，易知​$CM = ED = 2。$​​$ $​在​$Rt\triangle ADE$​中，​$∠DAE = 60°，$​​$DE = 2，$​所以​$AE=\frac {4\sqrt {3}}{3}。$​​$ $​在​$Rt\triangle OME$​中，​$OM = 4 - t(t $​为运动时间​$)，$​​$OE=\frac {\sqrt {3}}{3}(4 - t)。$​​$ $​因为​$OA=\sqrt {3}t，$​所以​$\sqrt {3}t=\frac {\sqrt {3}}{3}(4 - t)+\frac {4\sqrt {3}}{3}，$​解得​$t = 2，$​所以​$M(0，2)。$​​$ $​当​$\odot M$​向上平移时，同理可得​$\sqrt {3}t=\frac {\sqrt {3}}{3}(4 + t)+\frac {4\sqrt {3}}{3}，$​解得​$t = 4，$​所以​$M(0，8)。$​ 综上所述，满足条件的点​$M$​的坐标为​$(0，2)$​或​$(0，8)。$​

5. (2025·秦皇岛校级月考)如图,$\odot O_{1}$的半径为1,正方形$ABCD$的边长为6,点$O_{2}$为正方形$ABCD$的中心,$O_{1}O_{2}$垂直$AB$于点$P$,$O_{1}O_{2}=8$.若将$\odot O_{1}$绕点$P$按顺时针方向旋转$360°$,在旋转过程中,$\odot O_{1}$与正方形$ABCD$的边只有一个公共点的情况一共出现 ( )

A. 3次
B. 5次
C. 6次
D. 7次

B