11. (2025·无锡校级月考)
问题提出:(1)如图①,已知线段AB,请以AB为斜边,在图中画出一个直角三角形.
(2)如图②,已知点A是直线l外一点,点B、C均在直线l上,AD⊥l且AD=4,∠BAC=60°,则△ABC面积的最小值为________.
问题解决:(3)如图③,某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草,在四边形ABCD中,∠A=45°,∠B=∠D=90°,CB=CD=6√2 m,点E、F分别为AB、AD上的点,若保持CE⊥CF,那么四边形AECF的面积是否存在最大值?若存在,请求出面积的最大值;若不存在,请说明理由.

$\frac{16\sqrt{3}}{3}$ ;
; 解​$：(1)$​如图​$①，Rt△ACB$​即为所求​$.$​​$(3)$​连接​$ A C ，$​​$ $​延长​$ B C $​交​$ A D $​的延长线于​$G .$​​$ $​将​$ \triangle C D F $​顺时针旋转得到​$ \triangle C B H . $​作​$ \triangle C E H $​的外接圆​$\odot {O}$​∵​$∠A D C=∠A B C=90°，$​​$ A C=A C，$​​$ C D=C B，$​ ∴​$R t \triangle A C D \cong R t \triangle A C B(H L) $​∴​$S_{\triangle A C D}=S_{\triangle A C B}，$​ ∵​$∠D A C=45°，$​ ∴​$∠D C B=135°，$​ ∴​$∠D C G=45°，$​ ∵​$∠C D G=90°，$​ ∴​$C D=D G=6 \sqrt {2}，$​ ∴​$C G=\sqrt {2} C D=12 $​∴​$A B=G B=12+6 \sqrt {2}，$​由​$(2)$​可知​$， $​当​$ \triangle C E H $​的外接圆的圆心​$ O $​在线段​$ B C $​上时，​$ \triangle E C H $​的面积最小​$， $​此时四边形​$AFCE$​的面积最大​$，$​设​$ {OC}={OE}={r} ，$​​$ $​易知​$ {OB}={EB}=\frac {\sqrt {2}}{2} r ，$​∴​$r+\frac {\sqrt {2}}{2} r=6 \sqrt {2}，$​ ∴​$r=6 \sqrt {2}(2-\sqrt {2})，$​ ∴​$E H=\sqrt {2} r=12(2-\sqrt {2})，$​ ∴​$ $​四边形​$AFCE$​的面积的最大值​$ $​​$ =2 ×\frac {1}{2} ×(12+6 \sqrt {2}) ×6 \sqrt {2}$​​$-\frac {1}{2} ×12(2-\sqrt {2}) ×6 \sqrt {2}=144$​

12. 问题探究:(1)如图①,在矩形$ABCD$中,$AB=2AD$,$P$为$CD$边上的中点,试比较$∠APB$和$∠ADB$的大小关系,并说明理由.
(2)如图②,在正方形$ABCD$中,$P$为$CD$上任意一点,试问当$P$点位于何处时$∠APB$最大?并说明理由.
问题解决:(3)某儿童游乐场的平面图如图③所示,场所工作人员想在$OD$边上点$P$处安装监控装置,用来监控$OC$边上的$AB$段,为了让监控效果最佳,必须要求$∠APB$最大.已知:$∠DOC=60°,OA=400\ \mathrm{m},AB=200\sqrt{3}\ \mathrm{m}$,问在$OD$边上是否存在一点$P$,使得$∠APB$最大?若存在,请求出此时$OP$的长和$∠APB$的度数;若不存在,请说明理由.

解​$：(1)∠APB＞∠ADB.$​理由如下​$：$​如图​$①，$​作​$PH⊥AB$​于点​$H；$
​∵四边形​$ ABCD$​是矩形​$，PH⊥AB，$​∴​$∠ADP=∠DAH=∠AHP=90°，$​∴四边形​$ADPH$​是矩形​$.$​∵​$AB=CD=2AD，DP=PC，$​∴​$DA=DP，$​∴四边形​$ADPH$​是正方形，∴​$∠APH=45°，$​同理可证​$∠BPH=45°，$​∴​$∠APB=90°.$​∵​$∠ADB＜90°.$​∴​$∠APB＞∠ADB.$​​$(2)$​当点​$P $​位于​$CD$​的中点时​$，∠APB_{最大}，$​理由如下:假设​$P $​为​$ CD$​的中点​$，$​如图​$②，$​作​$△APB$​的外接圆​$⊙O，$
​则此时​$CD$​切​$⊙O$​于点​$P，$​在​$CD$​上取任意异于​$P $​点的点​$E，$​连接​$AE，$​与​$⊙O$​交于点​$F，$​连接​$BE、$​​$BF，$​∵​$∠AFB$​是​$△EFB$​的外角​$，$​∴​$∠AFB＞∠AEB.$​∵​$∠AFB=∠APB，$​∴​$∠APB＞∠AEB，$​故点​$P $​位于​$CD$​的中点时​$，∠APB$​最大​$(3)$​存在​$.$​如图​$③，$​当经过点​$A、$​​$B$​的​$⊙T$​与​$OD$​相切于点​$P $​时​$， ∠APB$​的度数最大​$，$​作​$TH⊥OC$​于点​$H，$​交​$OD$​于点​$Q，$​连接​$TA、$​​$TB、$​​$OT.$​设​$TP=TA=TB=r，$​∵​$TA=TB，TH⊥AB，$​∴​$AH=HB=100\sqrt {3}m.$​∵​$∠OHQ=90°，∠DOC=60°，$​​$OH=OA+AH=(400+100\sqrt {3})m，$​∴​$QH=\sqrt {3}OH=(400\sqrt {3}+300)m，$​​$∠OQH=30°，$​∴​$TQ=2PT=2r.$​∵​$TH=\sqrt {AT²−AH²}= \sqrt {r²−(100\sqrt {3})²}，$​∴​$2r+\sqrt {r²−(100\sqrt {3})²}=400\sqrt {3}+300，$​整理得​$3r²−(1600\sqrt {3}+1200)r+600000$​​$+240000\sqrt {3}=0， $​∴​$(r−200\sqrt {3})(3r−1000\sqrt {3}−1200)=0，$​∴​$r=200\sqrt {3}$​或​$r=\frac {1000\sqrt {3}}{3}+400($​舍去​$)，$​∴​$AT=200\sqrt {3}m，$​∴​$AT=2AH，$​∴​$∠ATH=30°，∠ATB=2∠ATH=60°，$​∴​$∠APB=\frac {1}{2}∠ATB=30°，$​∴​$OQ=2OH=(800+200\sqrt {3})m$​​$PQ=\sqrt {3}PT=\sqrt {3}×200\sqrt {3}=600(\mathrm {m})，$​∴​$OP=OQ−PQ=800+200\sqrt {3}−600$​​$=(200+20\sqrt {3})m.$​