8. (威海中考)如图,$△ ABC$为等边三角形,$AB=2$.若点$P$为$△ ABC$内一动点,且满足$∠ PAB=∠ ACP$,则线段$PB$长度的最小值为______.

(第8题)

(第9题)

$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

9. (呼伦贝尔中考)如图,在等腰直角三角形$ABC$中,$AC=BC=1$,点$P$在以斜边$AB$为直径的半圆上,$M$为$PC$的中点,当点$P$沿半圆从点$A$运动至点$B$时,点$M$运动的路径长是______.

$\frac{\sqrt{2}}{4}\pi$

10. (广西中考)已知$∠MON=α$,点A、B分别在射线OM、ON上运动,$AB=6$.
(1)如图①,若$α=90°$,取AB的中点D,点A、B运动时,点D也随之运动,点A、B、D的对应点分别为$A'$、$B'$、$D'$,连接OD、$OD'$.判断OD与$OD'$有什么数量关系?证明你的结论.
(2)如图②,若$α=60°$,以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC,求点O与点C的最大距离.
(3)如图③,若$α=45°$,当点A、B运动到什么位置时,$△AOB$的面积最大?请说明理由,并求出$△AOB$面积的最大值.

解：​$(1) O D=O D' ，$​ 证明如下：∵​$∠A O B=α= 90°，$​​$ A B $​中点为​$ D$​∴​$O D=\frac {1}{2}\ \mathrm {A} B$​∵​$D' $​为​$ A' B' $​的中点，且​$ ∠A' O B'=α=90°$​∴​$O D'= \frac {1}{2}\ \mathrm {A}' B'$​∴​$A B=A' B'$​∴​$O D=O D'$​​$(2) $​作​$ \triangle A O B $​的外接圆​$ I ，$​​$ $​连接​$ C I $​并延长，分别交​$ \odot I $​于​$ $​点​$ D$​和​$O' ，$​
当​$ O $​运动到​$ O' $​时，​$ O C_{最大}，$​此时​$ \triangle A O B $​是等边三角形∴​$B O'=A B=6，$​​$O C_{\text {最大 }}=C O'=C D+D O'=3+ 3 \sqrt{3}$​​$(3) $​作​$ \triangle A O B $​的外接圆​$ I_{2} ，$​ 连接​$ A I_{2} 、$​​$ B I_{2}$​
当​$ O $​运动到​$ O' $​时，​$ O' I_{2} $​的延长线​$ $​与​$ A B $​垂直​$O $​到​$AB $​的距离最大，​$ \triangle AOB $​的面积最大设此时​$ O' I_{2} $​的延长线与​$ A B $​交于点​$ H$​∵​$∠A I_{2} B=2 ∠M O N=90°，$​​$ A B= 6$​由勾股定理可得半径​$ A I_{2}=3 \sqrt {2}$​由垂径​$ $​定理可得​$ A H=B H$​又 ∵​$∠A I_{2} B=90°$​∴​$I_{2} H=\frac {1}{2}\ \mathrm {A} B=3$​∴​$O' H=3 \sqrt {2}+3$​∴​$\triangle A O B $​面积的最大值为​$ \frac {1}{2}\ \mathrm {A} B ·O' H=9 \sqrt {2}+9$​

类型四 定角定高模型(探照灯模型)
如图,直线 BC 外一点 A,A到直线 BC 的距离 h 为定值(定高),∠BAC 为定角,则由 A、B、C 三点可作出一个圆.
结论:即当点 A、O、H 共线时,圆的半径 OA 取最小值,BC 取最小值.
图1