6. (南通中考)如图,一张半径为r的圆形纸片在边长为$a(a≥2\sqrt{3}r)$的等边三角形内任意运动,则在该等边三角形内,这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（ ）
A. $\frac{π}{3}r^2$
B. $\frac{(3\sqrt{3}-π)}{3}r^2$
C. $(3\sqrt{3}-π)r^2$
D. $π r^2$

C

7. (泰州中考)如图①,矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方,线段AB与点E、F都在直线l上,且AB=7,EF=10,BC＞5. 点B以1个单位/秒的速度从点E处出发,沿射线EF方向运动,矩形ABCD随之运动,运动时间为t秒.
(1)如图②,当t=2.5时,求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度;
(2)在点B运动的过程中,当AD、BC都与半圆O相交时,设这两个交点为G、H,连接OG、OH.若∠GOH为直角,求此时t的值.

; 解：​$(1)$​设​$BC$​与半圆​$O$​交于点​$M，$​当​$t = 2.5$​时，​$BE = 2.5，$​因为​$EF = 10，$​所以​$OE=\frac {1}{2}EF = 5，$​则​$OB = 2.5，$​所以​$EB = OB。$​​$ $​在矩形​$ABCD$​中，​$∠EBM=∠OBM = 90°，$
​​$MB = MB，$​所以​$\triangle MBE\cong \triangle MBO(\mathrm {SAS})，$​所以​$ME = MO，$​又​$ME = EO = MO，$​所以​$\triangle MOE$​是等边三角形，所以​$∠EOM = 60°，$​则​$\overset {\frown }{ME}$​的长度​$l_{\overset {\frown }{ME}}=\frac {60×\pi ×5}{180}=\frac {5\pi }{3}。$​​$ (2)$​因为​$∠GOH = 90°，$​所以​$∠AOG+∠BOH = 90°。$​​$ $​因为​$∠AOG+∠AGO = 90°，$​所以​$∠AGO=∠BOH。$​​$ $​在​$\triangle AGO$​和​$\triangle BOH$​中，​$\begin {cases}∠AGO=∠BOH\\∠GAO=∠OBH = 90°\\OG = HO\end {cases}，$​所以​$\triangle AGO\cong \triangle BOH(\mathrm {AAS})，$​所以​$AG = OB = BE - EO=t - 5。$​​$ $​因为​$AB = 7，$​所以​$AE = BE - AB=t - 7，$​所以​$AO = EO - AE=5-(t - 7)=12 - t。$​​$ $​在​$Rt\triangle AGO$​中，​$AG^2+AO^2=OG^2，$​所以​$(t - 5)^2+(12 - t)^2=5^2，$​​$ $​展开得​$t^2-10t + 25+144-24t+t^2=25，$​​$ $​合并同类项得​$2t^2-34t + 144 = 0，$​即​$t^2-17t + 72 = 0，$​​$ $​因式分解得​$(t - 8)(t - 9)=0，$​解得​$t_{1}=8，$​​$t_{2}=9，$​即​$t $​的值为​$8$​或​$9。$​

8. (2025·宿迁期中)在矩形ABCD中，AB = 6 cm，BC = 8 cm，点P从点A出发沿AB边以1 cm/s的速度向点B移动(点P可以与点A重合)，同时，点Q从点B出发沿BC以2 cm/s的速度向点C移动(点Q可以与点B重合)，其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒.
(1)如图①，几秒时，△BPQ的面积等于8 cm²？
(2)如图②，在运动过程中，若以点P为圆心、PA为半径的$\odot P$与BD相切，求t的值.
(3)若以Q为圆心，PQ为半径作$\odot Q$.如图③，若$\odot Q$与四边形CDPQ的边有三个公共点，则t的取值范围是________.(直接写出结果，不需说理)

$0\lt t\lt - 10 + 2\sqrt{41}$ ; 解​$：(1)$​由题意知​$AP=t\mathrm {cm}，$​​$BQ=2t\mathrm {cm}，$​则​$BP=(6−t)\mathrm {cm}，$​由​$S_{△BPQ}= \frac {1}{2}.BP.BQ=8，$​可得​$\frac {1}{2}(6−t).2t=8，$​解得​$t=2$​或​$t=4，$​故当运动时间为​$2$​秒或​$4$​秒时，​$△BPQ$​的面积为​$8\ \mathrm {cm}².$​​$(2)$​设​$⊙P $​与​$BD$​相切于点​$E，$​连接​$PE；$​∵​$AD⊥AP，$​∴​$OP $​与​$AD$​相切， ∴​$OP_{分别与}AD、$​​$BD$​相切，∴​$AD=DE=8\ \mathrm {cm}.$​∵​$OP $​与​$BD$​相切​$，$​∴​$PE⊥BD.$​在​$Rt△ABD$​中​$，$​依据勾股定理可得​$BD=10\ \mathrm {cm}，$​∴​$BE=BD−DE=2\ \mathrm {cm}$​∵​$AP=PE，$​∴​$PE=t\mathrm {cm}，PB=(6−t)\mathrm {cm}.$​在​$Rt△PEB$​中​$，$​依据勾股定理​$，$​得​$(6−t)²=t²+22，$​解得​$t=\frac {8}{3}$​