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【问题背景】小吊瓜又叫礼品瓜，采用“吊挂”“嫁接”等技术，瓜蔓向上生长，结出的瓜都吊在空中，因其玲珑的外观、甜美的口感成为水果市场新宠. 某研学小组的同学走进某种植基地，对同时上市的A，B两个品种的小吊瓜的前15天的销售情况进行调查.
【数据收集】信息1:A品种小吊瓜第x天的销售利润y(单位:元)与x的函数关系可近似地用如图所示的抛物线刻画，该抛物线经过点(4,2000)，且顶点坐标为(12,2640)，其中1≤x≤15且x为整数.
信息2:B品种小吊瓜每千克的销售成本为2元.
信息3:B品种小吊瓜的销售单价及销售量与上市时间的关系如下表(其中1≤x≤15且x为整数):
|上市时间|第1天|第2天|第3天|第4天|第5天|…|第x天|
|----|----|----|----|----|----|----|----|
|销售单价/(元·kg⁻¹)|30|28|
|24|22|…|$32-2x$|
|销售量/kg|70|80|90|100|110|…|$10x+60$|
【建立模型】
(1)A品种小吊瓜第x天的销售利润y(单位:元)与x之间的函数表达式为
(2)B品种小吊瓜第x天的销售利润z(单位:元)与x之间的函数表达式为
【问题解决】
(3)①上市第几天时，A，B两种小吊瓜当天的总销售利润最大？最大利润是多少？
②当A，B两种小吊瓜的日销售利润都随天数x的增大而增大时，求相应的上市时间(第x天)的取值范围.
【数据收集】信息1:A品种小吊瓜第x天的销售利润y(单位:元)与x的函数关系可近似地用如图所示的抛物线刻画，该抛物线经过点(4,2000)，且顶点坐标为(12,2640)，其中1≤x≤15且x为整数.
信息2:B品种小吊瓜每千克的销售成本为2元.
信息3:B品种小吊瓜的销售单价及销售量与上市时间的关系如下表(其中1≤x≤15且x为整数):
|上市时间|第1天|第2天|第3天|第4天|第5天|…|第x天|
|----|----|----|----|----|----|----|----|
|销售单价/(元·kg⁻¹)|30|28|
|24|22|…|$32-2x$||销售量/kg|70|80|90|100|110|…|$10x+60$|
【建立模型】
(1)A品种小吊瓜第x天的销售利润y(单位:元)与x之间的函数表达式为
$y=-10x^2+240x+1200(或y=-10(x-12)^2+2\ 640)$
;(2)B品种小吊瓜第x天的销售利润z(单位:元)与x之间的函数表达式为
$z=-20x^2+180x+1\ 800$
.【问题解决】
(3)①上市第几天时，A，B两种小吊瓜当天的总销售利润最大？最大利润是多少？
②当A，B两种小吊瓜的日销售利润都随天数x的增大而增大时，求相应的上市时间(第x天)的取值范围.
答案
(3)①设 A,B 两种小吊瓜第 x 天的总销售利润为 w 元.
由题意,得 $w=y+z=(-10x^2+240x+1\ 200)+(-20x^2+180x+1\ 800)=-30x^2+420x+3\ 000=-30(x-7)^2+4470$,
由此可知,w 是 x 的二次函数,
$\because -30＜0,1≤ x≤15$ 且 x 为整数,
$\therefore$ 当 $x=7$ 时,$w_{最大}=4\ 470$ 元.
答:上市第 7 天时,两种小吊瓜当天的总销售利润最大,最大利润是 4 470 元.
②$1≤ x≤4$ 且 x 为整数.
由题意,得 $w=y+z=(-10x^2+240x+1\ 200)+(-20x^2+180x+1\ 800)=-30x^2+420x+3\ 000=-30(x-7)^2+4470$,
由此可知,w 是 x 的二次函数,
$\because -30＜0,1≤ x≤15$ 且 x 为整数,
$\therefore$ 当 $x=7$ 时,$w_{最大}=4\ 470$ 元.
答:上市第 7 天时,两种小吊瓜当天的总销售利润最大,最大利润是 4 470 元.
②$1≤ x≤4$ 且 x 为整数.
解析
【分析】
(1)已知A品种的销售利润函数为抛物线且给出顶点坐标，优先设顶点式，代入已知点求出参数后化简即可得到函数表达式；
(2)B品种的日销售利润=（每千克销售单价-每千克成本）×日销售量，代入题中给出的单价、销售量表达式计算化简即可；
(3)①总销售利润为A、B两品种当日利润之和，将两函数相加得到总利润w关于x的二次函数，结合二次函数的开口方向、对称轴及x的取值范围，即可求出最大值对应的x和最大利润；
②分别求出A、B两品种利润随x增大而增大的x的取值范围，取两个范围的交集，结合x为正整数即可得到结果。
【解析】
(1)设A品种销售利润的函数表达式为$y=a(x-12)^2+2640$，将点$(4,2000)$代入得：
$2000=a(4-12)^2+2640$，解得$a=-10$，
展开得$y=-10(x^2-24x+144)+2640=-10x^2+240x+1200$（$1≤x≤15$且x为整数）。
(2)B品种每千克利润为$(32-2x)-2=30-2x$元，销售量为$(10x+60)$kg，
故$z=(30-2x)(10x+60)=-20x^2+180x+1800$（$1≤x≤15$且x为整数）。
(3)①设A、B两种小吊瓜第x天的总销售利润为w元，
由题意得$w=y+z=(-10x^2+240x+1200)+(-20x^2+180x+1800)=-30x^2+420x+3000$，
配方得$w=-30(x-7)^2+4470$，
$\because -30＜0,1≤ x≤15$ 且 x 为整数，
$\therefore$ 当 $x=7$ 时,$w$取得最大值，最大值为4470元。
②对于A品种的利润函数$y=-10x^2+240x+1200$，开口向下，对称轴为$x=12$，故$1≤x≤12$且x为整数时，y随x增大而增大；
对于B品种的利润函数$z=-20x^2+180x+1800$，开口向下，对称轴为$x=4.5$，故$1≤x≤4$且x为整数时，z随x增大而增大；
取两个范围的交集，得取值范围为$1≤ x≤4$ 且 x 为整数。
【答案】
(1)$y=-10x^2+240x+1200$（$1≤x≤15$且x为整数）
(2)$z=-20x^2+180x+1800$（$1≤x≤15$且x为整数）
(3)①上市第7天时，两种小吊瓜当天的总销售利润最大，最大利润是4470元；②$1≤ x≤4$ 且 x 为整数
【知识点】
二次函数的实际应用，二次函数的图象与性质，二次函数的最值
【点评】
本题结合销售场景考查二次函数的应用，需要熟练掌握二次函数解析式的求法、增减性及最值的判断方法，解题时要注意x为整数的隐含条件，避免出现取值范围错误。
【难度系数】
0.65
(1)已知A品种的销售利润函数为抛物线且给出顶点坐标，优先设顶点式，代入已知点求出参数后化简即可得到函数表达式；
(2)B品种的日销售利润=（每千克销售单价-每千克成本）×日销售量，代入题中给出的单价、销售量表达式计算化简即可；
(3)①总销售利润为A、B两品种当日利润之和，将两函数相加得到总利润w关于x的二次函数，结合二次函数的开口方向、对称轴及x的取值范围，即可求出最大值对应的x和最大利润；
②分别求出A、B两品种利润随x增大而增大的x的取值范围，取两个范围的交集，结合x为正整数即可得到结果。
【解析】
(1)设A品种销售利润的函数表达式为$y=a(x-12)^2+2640$，将点$(4,2000)$代入得：
$2000=a(4-12)^2+2640$，解得$a=-10$，
展开得$y=-10(x^2-24x+144)+2640=-10x^2+240x+1200$（$1≤x≤15$且x为整数）。
(2)B品种每千克利润为$(32-2x)-2=30-2x$元，销售量为$(10x+60)$kg，
故$z=(30-2x)(10x+60)=-20x^2+180x+1800$（$1≤x≤15$且x为整数）。
(3)①设A、B两种小吊瓜第x天的总销售利润为w元，
由题意得$w=y+z=(-10x^2+240x+1200)+(-20x^2+180x+1800)=-30x^2+420x+3000$，
配方得$w=-30(x-7)^2+4470$，
$\because -30＜0,1≤ x≤15$ 且 x 为整数，
$\therefore$ 当 $x=7$ 时,$w$取得最大值，最大值为4470元。
②对于A品种的利润函数$y=-10x^2+240x+1200$，开口向下，对称轴为$x=12$，故$1≤x≤12$且x为整数时，y随x增大而增大；
对于B品种的利润函数$z=-20x^2+180x+1800$，开口向下，对称轴为$x=4.5$，故$1≤x≤4$且x为整数时，z随x增大而增大；
取两个范围的交集，得取值范围为$1≤ x≤4$ 且 x 为整数。
【答案】
(1)$y=-10x^2+240x+1200$（$1≤x≤15$且x为整数）
(2)$z=-20x^2+180x+1800$（$1≤x≤15$且x为整数）
(3)①上市第7天时，两种小吊瓜当天的总销售利润最大，最大利润是4470元；②$1≤ x≤4$ 且 x 为整数
【知识点】
二次函数的实际应用，二次函数的图象与性质，二次函数的最值
【点评】
本题结合销售场景考查二次函数的应用，需要熟练掌握二次函数解析式的求法、增减性及最值的判断方法，解题时要注意x为整数的隐含条件，避免出现取值范围错误。
【难度系数】
0.65
