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1. [2024·安徽第7题]如图,在$Rt△ ABC$中, $AC=BC=2$,点D在AB的延长线上,且$CD=AB$,则BD的长是 (
A.$\sqrt{10}-\sqrt{2}$
B.$\sqrt{6}-\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{2}-2$
D.$2\sqrt{2}-\sqrt{6}$
B
)A.$\sqrt{10}-\sqrt{2}$
B.$\sqrt{6}-\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{2}-2$
D.$2\sqrt{2}-\sqrt{6}$
答案
1.B
解析
【分析】
本题已知△ABC是等腰直角三角形，要求BD的长度，可按以下思路解题：首先利用勾股定理先算出AB的长度，即可得到CD的长度；接下来过点C作AD的垂线构造直角三角形，借助等腰直角三角形的性质求出垂线长度以及BE的长度；最后在新构造的直角三角形中用勾股定理求出DE的长度，用DE减去BE就可得到BD的长度。
【解析】
解：过点C作$CE⊥ AD$，垂足为E。
$\because$ 在$Rt△ ABC$中，$AC=BC=2$，$∠ ACB=90°$，
$\therefore AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
$\because CD=AB$，$\therefore CD=2\sqrt{2}$。
$\because △ ABC$是等腰直角三角形，$CE⊥ AD$，
$\therefore CE$是$Rt△ ABC$斜边AB上的中线，
$\therefore CE=AE=BE=\frac{1}{2}AB=\sqrt{2}$。
在$Rt△ CDE$中，$∠ CED=90°$，由勾股定理可得：
$DE=\sqrt{CD^2-CE^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2-(\sqrt{2})^2}=\sqrt{8-2}=\sqrt{6}$，
$\therefore BD=DE-BE=\sqrt{6}-\sqrt{2}$。
【答案】
B
【知识点】
等腰直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于几何常规计算题，核心解题技巧是作高线构造直角三角形，结合等腰直角三角形的性质和勾股定理即可求解，考查学生对基础几何性质的应用能力。
【难度系数】
0.6
本题已知△ABC是等腰直角三角形，要求BD的长度，可按以下思路解题：首先利用勾股定理先算出AB的长度，即可得到CD的长度；接下来过点C作AD的垂线构造直角三角形，借助等腰直角三角形的性质求出垂线长度以及BE的长度；最后在新构造的直角三角形中用勾股定理求出DE的长度，用DE减去BE就可得到BD的长度。
【解析】
解：过点C作$CE⊥ AD$，垂足为E。
$\because$ 在$Rt△ ABC$中，$AC=BC=2$，$∠ ACB=90°$，
$\therefore AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
$\because CD=AB$，$\therefore CD=2\sqrt{2}$。
$\because △ ABC$是等腰直角三角形，$CE⊥ AD$，
$\therefore CE$是$Rt△ ABC$斜边AB上的中线，
$\therefore CE=AE=BE=\frac{1}{2}AB=\sqrt{2}$。
在$Rt△ CDE$中，$∠ CED=90°$，由勾股定理可得：
$DE=\sqrt{CD^2-CE^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2-(\sqrt{2})^2}=\sqrt{8-2}=\sqrt{6}$，
$\therefore BD=DE-BE=\sqrt{6}-\sqrt{2}$。
【答案】
B
【知识点】
等腰直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于几何常规计算题，核心解题技巧是作高线构造直角三角形，结合等腰直角三角形的性质和勾股定理即可求解，考查学生对基础几何性质的应用能力。
【难度系数】
0.6
2. [2025·安徽第17题]某公司为庆祝新产品上市，在甲楼与乙楼的楼顶之间悬挂彩带营造喜庆气氛.如图所示，甲楼和乙楼分别用与水平地面垂直的线段AB和CD表示，彩带用线段AD表示.工作人员在点A处测得点C的俯角为23.8°，测得点D的仰角为36.9°.已知AB=13.20 m，求AD的长.（结果精确到0.1 m，参考数据：$\sin 23.8° \approx 0.40$，$\cos 23.8° \approx 0.91$，$\tan 23.8° \approx 0.44$，$\sin 36.9° \approx 0.60$，$\cos 36.9° \approx 0.80$，$\tan 36.9° \approx 0.75$）
答案
2. AD 的长约为 37.5 m。
解析
【分析】
首先通过作辅助线构造直角三角形和矩形：过点A作AE⊥CD于点E，可得四边形ABCE是矩形，利用矩形对边相等得到CE=AB。先在Rt△AEC中，根据23.8°俯角的正切值求出水平线段AE的长度；再在Rt△AED中，根据36.9°仰角的余弦值，结合已求出的AE长度，即可计算出AD的长。
【解析】
解：过点A作AE⊥CD，垂足为E，
∵AB⊥BC，CD⊥BC，AE⊥CD，
∴四边形ABCE是矩形，
∴CE=AB=13.20 m。
在Rt△AEC中，∠EAC=23.8°，
由$\tan∠EAC=\frac{CE}{AE}$，得：
$AE=\frac{CE}{\tan23.8°}\approx\frac{13.20}{0.44}=30$ m。
在Rt△AED中，∠DAE=36.9°，
由$\cos∠DAE=\frac{AE}{AD}$，得：
$AD=\frac{AE}{\cos36.9°}\approx\frac{30}{0.80}=37.5$ m。
【答案】
AD的长约为 37.5 m。
【知识点】
仰角俯角问题，矩形的性质，锐角三角函数
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用类问题，解题关键是通过作垂线将不规则图形转化为熟悉的矩形和直角三角形，结合锐角三角函数的定义列式计算即可，侧重考查数形结合思想和基本运算能力。
【难度系数】
0.7
首先通过作辅助线构造直角三角形和矩形：过点A作AE⊥CD于点E，可得四边形ABCE是矩形，利用矩形对边相等得到CE=AB。先在Rt△AEC中，根据23.8°俯角的正切值求出水平线段AE的长度；再在Rt△AED中，根据36.9°仰角的余弦值，结合已求出的AE长度，即可计算出AD的长。
【解析】
解：过点A作AE⊥CD，垂足为E，
∵AB⊥BC，CD⊥BC，AE⊥CD，
∴四边形ABCE是矩形，
∴CE=AB=13.20 m。
在Rt△AEC中，∠EAC=23.8°，
由$\tan∠EAC=\frac{CE}{AE}$，得：
$AE=\frac{CE}{\tan23.8°}\approx\frac{13.20}{0.44}=30$ m。
在Rt△AED中，∠DAE=36.9°，
由$\cos∠DAE=\frac{AE}{AD}$，得：
$AD=\frac{AE}{\cos36.9°}\approx\frac{30}{0.80}=37.5$ m。
【答案】
AD的长约为 37.5 m。
【知识点】
仰角俯角问题，矩形的性质，锐角三角函数
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用类问题，解题关键是通过作垂线将不规则图形转化为熟悉的矩形和直角三角形，结合锐角三角函数的定义列式计算即可，侧重考查数形结合思想和基本运算能力。
【难度系数】
0.7
3. [新课标—跨学科题][2024·安徽第19题]科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验.如图,光线自点B处发出,经水面点E折射到池底点A处.已知BE与水平线的夹角$α=36.9°$,点B到水面的距离$BC=1.20\ \mathrm{m}$,点A处水深为$1.20\ \mathrm{m}$,到池壁的水平距离$AD=2.50\ \mathrm{m}$.点B,C,D在同一条竖直线上,所有点都在同一竖直平面内.记入射角为$β$,折射角为$\gamma$,求$\frac{\sinβ}{\sin\gamma}$的值.(结果精确到0.1,参考数据:$\sin 36.9°\approx0.60$,$\cos 36.9°\approx0.80$,$\tan 36.9°\approx0.75$)
答案
3. 如题图,过点 E 作$EH⊥AD$,垂足为点 H.
由题意可知$∠CEB=α=36.9°$,$EH=1.20\ \mathrm{m}$,$CE=\frac{BC}{\tan 36.9°}\approx\frac{1.20}{0.75}=1.60(\mathrm{m})$,
$AH=AD-CE=2.50-1.60=0.90(\mathrm{m})$,
故$AE=\sqrt{AH^2+EH^2}=\sqrt{0.90^2+1.20^2}=1.50(\mathrm{m})$,
于是$\sin \gamma=\frac{AH}{AE}=\frac{0.90}{1.50}=0.60$.
又$\sin β=\sin ∠CBE=\frac{CE}{BE}=\cos ∠CEB=\cos α\approx0.80$,故$\frac{\sin β}{\sin \gamma}=\frac{0.80}{0.60}\approx1.3$.
由题意可知$∠CEB=α=36.9°$,$EH=1.20\ \mathrm{m}$,$CE=\frac{BC}{\tan 36.9°}\approx\frac{1.20}{0.75}=1.60(\mathrm{m})$,
$AH=AD-CE=2.50-1.60=0.90(\mathrm{m})$,
故$AE=\sqrt{AH^2+EH^2}=\sqrt{0.90^2+1.20^2}=1.50(\mathrm{m})$,
于是$\sin \gamma=\frac{AH}{AE}=\frac{0.90}{1.50}=0.60$.
又$\sin β=\sin ∠CBE=\frac{CE}{BE}=\cos ∠CEB=\cos α\approx0.80$,故$\frac{\sin β}{\sin \gamma}=\frac{0.80}{0.60}\approx1.3$.
解析
【分析】
要计算$\frac{\sinβ}{\sin\gamma}$的值，需先分别求出$\sinβ$和$\sin\gamma$：首先，入射光线BE、竖直法线、水面构成直角三角形，已知点B到水面的距离BC和α的度数，可利用正切先求出CE的长度；其次，折射角γ是折射光线与法线的夹角，过E作AD的垂线得到直角三角形AEH，结合已知的水深、AD长度，用勾股定理求出AE的长度，即可得到$\sin\gamma$；最后由β与α互余，可得$\sinβ=\cosα$，将两个正弦值作比即可得到结果。
【解析】
过点$E$作$EH⊥AD$，垂足为点$H$。
由题意可知$BC⊥$水面，$∠CEB=α=36.9°$，$BC=1.20\ \mathrm{m}$，$EH=1.20\ \mathrm{m}$，$AD=2.50\ \mathrm{m}$：
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，$CE=\frac{BC}{\tan 36.9°}\approx\frac{1.20}{0.75}=1.60(\mathrm{m})$，
$AH=AD-CE=2.50-1.60=0.90(\mathrm{m})$，
在$\mathrm{Rt}△ AEH$中，由勾股定理得$AE=\sqrt{AH^2+EH^2}=\sqrt{0.90^2+1.20^2}=1.50(\mathrm{m})$，
故$\sin \gamma=\frac{AH}{AE}=\frac{0.90}{1.50}=0.60$。
又法线垂直水面，因此$β+α=90°$，$\sin β=\cos α\approx0.80$，
故$\frac{\sinβ}{\sin\gamma}=\frac{0.80}{0.60}\approx1.3$。
【答案】
$1.3$
【知识点】
锐角三角函数的应用，勾股定理，解直角三角形
【点评】
本题结合物理光的折射情境考查数学知识的应用，解题关键是准确识别图中的直角三角形，理清各角、各边的数量关系，再代入对应公式计算，同时注意按照要求保留计算精度。
【难度系数】
0.7
要计算$\frac{\sinβ}{\sin\gamma}$的值，需先分别求出$\sinβ$和$\sin\gamma$：首先，入射光线BE、竖直法线、水面构成直角三角形，已知点B到水面的距离BC和α的度数，可利用正切先求出CE的长度；其次，折射角γ是折射光线与法线的夹角，过E作AD的垂线得到直角三角形AEH，结合已知的水深、AD长度，用勾股定理求出AE的长度，即可得到$\sin\gamma$；最后由β与α互余，可得$\sinβ=\cosα$，将两个正弦值作比即可得到结果。
【解析】
过点$E$作$EH⊥AD$，垂足为点$H$。
由题意可知$BC⊥$水面，$∠CEB=α=36.9°$，$BC=1.20\ \mathrm{m}$，$EH=1.20\ \mathrm{m}$，$AD=2.50\ \mathrm{m}$：
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，$CE=\frac{BC}{\tan 36.9°}\approx\frac{1.20}{0.75}=1.60(\mathrm{m})$，
$AH=AD-CE=2.50-1.60=0.90(\mathrm{m})$，
在$\mathrm{Rt}△ AEH$中，由勾股定理得$AE=\sqrt{AH^2+EH^2}=\sqrt{0.90^2+1.20^2}=1.50(\mathrm{m})$，
故$\sin \gamma=\frac{AH}{AE}=\frac{0.90}{1.50}=0.60$。
又法线垂直水面，因此$β+α=90°$，$\sin β=\cos α\approx0.80$，
故$\frac{\sinβ}{\sin\gamma}=\frac{0.80}{0.60}\approx1.3$。
【答案】
$1.3$
【知识点】
锐角三角函数的应用，勾股定理，解直角三角形
【点评】
本题结合物理光的折射情境考查数学知识的应用，解题关键是准确识别图中的直角三角形，理清各角、各边的数量关系，再代入对应公式计算，同时注意按照要求保留计算精度。
【难度系数】
0.7
1. [2026·绥化中考]如图，有一小型科学探测器在空中A处探测到地平面目标B，此时从探测器上看目标B的俯角$α=30°$，探测器飞行的高度$AC=60\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，则探测器到目标B的距离AB约为(其中$\sqrt{3}\approx1.732$，计算结果精确到0.1) (
A.207.8 m
B.207.9 m
C.208.8 m
D.208.9 m
A
)A.207.8 m
B.207.9 m
C.208.8 m
D.208.9 m
答案
1.A
解析
【分析】
首先明确俯角的定义：从观测点的水平线向下观测目标时的夹角，结合图中A点的水平线与BC平行，根据平行线内错角相等，可得俯角α等于Rt△ABC中的锐角∠B。已知Rt△ABC中直角边AC是∠B的对边，要求斜边AB，可利用正弦函数的定义建立等量关系，代入数值计算即可得到结果，最后注意按要求精确到0.1。
【解析】
由题意得，A点处的水平线与地面BC平行，根据平行线内错角相等，可得$∠ B=α=30°$。
在Rt△ABC中，$∠ C=90°$，根据正弦函数的定义：
$\sin B = \frac{AC}{AB}$
变形得：$AB = \frac{AC}{\sin B}$
将$AC=60\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，$\sin30°=\frac{1}{2}$代入得：
$AB = \frac{60\sqrt{3}}{\frac{1}{2}} = 120\sqrt{3}$
代入$\sqrt{3}\approx1.732$计算：
$120×1.732=207.84\approx207.8\ \mathrm{m}$
【答案】
A
【知识点】
俯角的概念；解直角三角形；锐角三角函数的定义
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用类题目，解题的核心是将实际中的俯角转化为直角三角形的内角，再结合锐角三角函数的关系求解，计算时要注意精度要求。
【难度系数】
0.7
首先明确俯角的定义：从观测点的水平线向下观测目标时的夹角，结合图中A点的水平线与BC平行，根据平行线内错角相等，可得俯角α等于Rt△ABC中的锐角∠B。已知Rt△ABC中直角边AC是∠B的对边，要求斜边AB，可利用正弦函数的定义建立等量关系，代入数值计算即可得到结果，最后注意按要求精确到0.1。
【解析】
由题意得，A点处的水平线与地面BC平行，根据平行线内错角相等，可得$∠ B=α=30°$。
在Rt△ABC中，$∠ C=90°$，根据正弦函数的定义：
$\sin B = \frac{AC}{AB}$
变形得：$AB = \frac{AC}{\sin B}$
将$AC=60\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，$\sin30°=\frac{1}{2}$代入得：
$AB = \frac{60\sqrt{3}}{\frac{1}{2}} = 120\sqrt{3}$
代入$\sqrt{3}\approx1.732$计算：
$120×1.732=207.84\approx207.8\ \mathrm{m}$
【答案】
A
【知识点】
俯角的概念；解直角三角形；锐角三角函数的定义
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用类题目，解题的核心是将实际中的俯角转化为直角三角形的内角，再结合锐角三角函数的关系求解，计算时要注意精度要求。
【难度系数】
0.7
2. [2026·湖南中考]门与两面墙的平面示意图如图所示，墙AC与AB垂直，门CD可绕C旋转，F是门CD与门吸EF的接触点（门吸指门页打开后吸住定位的装置），EF⊥AB于点E。已知AC=a，EF=b，∠ACD=α，且a＞b，则门吸EF离墙AC的距离AE为（
A.$ a · \tanα $
B.$ (a - b)\sinα $
C.$ (a - b)\cosα $
D.$ (a - b)\tanα $
D
）A.$ a · \tanα $
B.$ (a - b)\sinα $
C.$ (a - b)\cosα $
D.$ (a - b)\tanα $
答案
2.D
解析
【分析】
要求门吸EF离墙AC的距离AE的长度，可通过作辅助线构造矩形和直角三角形，将已知条件和未知线段关联起来。首先过点F作FG⊥AC于G，易得四边形AEFG是矩形，因此AE=FG、AG=EF=b，可求出CG=a-b；再在Rt△CGF中，利用锐角三角函数的正切值即可求出FG的长度，也就是AE的长度。
【解析】
过点F作FG⊥AC于点G，
∵AC⊥AB，EF⊥AB，FG⊥AC，
∴四边形AEFG是矩形，
∴AE=FG，AG=EF=b，
∴CG=AC - AG = a - b，
在Rt△CGF中，∠ACD=α，根据正切的定义：
$\tanα=\frac{FG}{CG}$，
∴$FG=CG·\tanα=(a-b)\tanα$，
∵AE=FG，
∴$AE=(a-b)\tanα$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
矩形的判定与性质，锐角三角函数的定义，解直角三角形的应用
【点评】
本题结合生活实际考查解直角三角形的应用，解题的关键是通过添加辅助线构造矩形和直角三角形，将未知线段转化到直角三角形中利用三角函数求解，渗透了转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
要求门吸EF离墙AC的距离AE的长度，可通过作辅助线构造矩形和直角三角形，将已知条件和未知线段关联起来。首先过点F作FG⊥AC于G，易得四边形AEFG是矩形，因此AE=FG、AG=EF=b，可求出CG=a-b；再在Rt△CGF中，利用锐角三角函数的正切值即可求出FG的长度，也就是AE的长度。
【解析】
过点F作FG⊥AC于点G，
∵AC⊥AB，EF⊥AB，FG⊥AC，
∴四边形AEFG是矩形，
∴AE=FG，AG=EF=b，
∴CG=AC - AG = a - b，
在Rt△CGF中，∠ACD=α，根据正切的定义：
$\tanα=\frac{FG}{CG}$，
∴$FG=CG·\tanα=(a-b)\tanα$，
∵AE=FG，
∴$AE=(a-b)\tanα$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
矩形的判定与性质，锐角三角函数的定义，解直角三角形的应用
【点评】
本题结合生活实际考查解直角三角形的应用，解题的关键是通过添加辅助线构造矩形和直角三角形，将未知线段转化到直角三角形中利用三角函数求解，渗透了转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
