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10. [2024·亳州一模]如图,在$△ ABC$中,$AB=3\sqrt{5}$,$\tan ∠ ABC=\frac{1}{2}$,$∠ ACB=45°$,则$BC$的长为（
A.9
B.12
C.$6\sqrt{5}$
D.$9\sqrt{5}$
A
）A.9
B.12
C.$6\sqrt{5}$
D.$9\sqrt{5}$
答案
10.A
解析
【分析】
遇到含有特殊角和三角函数值的斜三角形问题，通常通过作高将其转化为直角三角形求解。本题可过点A作AD⊥BC于D，将△ABC分为Rt△ABD和Rt△ACD两个直角三角形：首先在Rt△ABD中，利用tan∠ABC的值得出AD和BD的数量关系，再结合AB的长度用勾股定理求出AD、BD的长；接着在Rt△ACD中，利用∠ACB=45°的等腰直角三角形性质求出CD的长；最后BC的长为BD与CD的和。
【解析】
过点A作AD⊥BC于点D，
∴∠ADB=∠ADC=90°。
在Rt△ABD中，$\tan∠ ABC=\frac{AD}{BD}=\frac{1}{2}$，设$AD=x$，则$BD=2x$。
由勾股定理得：$AD^2+BD^2=AB^2$，代入$AB=3\sqrt{5}$，得：
$x^2+(2x)^2=(3\sqrt{5})^2$
$5x^2=45$
解得$x=3$（边长为正，舍去负值），
∴$AD=3$，$BD=2×3=6$。
在Rt△ACD中，$∠ ACB=45°$，
∴$∠ CAD=90°-45°=45°=∠ ACB$，
∴$CD=AD=3$，
∴$BC=BD+CD=6+3=9$。
【答案】
A
【知识点】
解直角三角形、勾股定理、等腰直角三角形的性质
【点评】
本题解题核心是作高将斜三角形转化为直角三角形，结合三角函数、勾股定理和特殊直角三角形的性质即可求出线段长度，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
遇到含有特殊角和三角函数值的斜三角形问题，通常通过作高将其转化为直角三角形求解。本题可过点A作AD⊥BC于D，将△ABC分为Rt△ABD和Rt△ACD两个直角三角形：首先在Rt△ABD中，利用tan∠ABC的值得出AD和BD的数量关系，再结合AB的长度用勾股定理求出AD、BD的长；接着在Rt△ACD中，利用∠ACB=45°的等腰直角三角形性质求出CD的长；最后BC的长为BD与CD的和。
【解析】
过点A作AD⊥BC于点D，
∴∠ADB=∠ADC=90°。
在Rt△ABD中，$\tan∠ ABC=\frac{AD}{BD}=\frac{1}{2}$，设$AD=x$，则$BD=2x$。
由勾股定理得：$AD^2+BD^2=AB^2$，代入$AB=3\sqrt{5}$，得：
$x^2+(2x)^2=(3\sqrt{5})^2$
$5x^2=45$
解得$x=3$（边长为正，舍去负值），
∴$AD=3$，$BD=2×3=6$。
在Rt△ACD中，$∠ ACB=45°$，
∴$∠ CAD=90°-45°=45°=∠ ACB$，
∴$CD=AD=3$，
∴$BC=BD+CD=6+3=9$。
【答案】
A
【知识点】
解直角三角形、勾股定理、等腰直角三角形的性质
【点评】
本题解题核心是作高将斜三角形转化为直角三角形，结合三角函数、勾股定理和特殊直角三角形的性质即可求出线段长度，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
11. 如图，正在执行巡航任务的海监船以60 n mile/h的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东$60°$方向上，海监船继续向东航行1 h到达B处，此时测得灯塔P在北偏东$30°$方向上。若灯塔P的周围$40\sqrt{3}$ n mile内有暗礁，则海监船继续向正东方向航行
不安全
。（填“安全”或“不安全”）答案
11.不安全
解析
【分析】
要判断海监船继续向东航行是否安全，本质是求灯塔P到正东航线AB的垂直距离，再将该距离与暗礁范围$40\sqrt{3}\ \mathrm{n mile}$比较：若距离小于等于$40\sqrt{3}\ \mathrm{n mile}$则不安全，反之安全。首先根据航行速度和时间求出AB的长度，再结合方位角推导△ABP的角度关系得到边的等量关系，最后构造直角三角形用三角函数求出P到航线的垂直距离即可。
【解析】
过点P作$PE⊥ AB$，交AB的延长线于点E。
1. 求AB的长度：海监船速度为$60\ \mathrm{n mile/h}$，向东航行1h到达B处，因此$AB=60×1=60\ \mathrm{n mile}$。
2. 推导角度和边的关系：
由A处测得P在北偏东$60°$，得$∠ PAB=90°-60°=30°$；
由B处测得P在北偏东$30°$，得$∠ PBE=90°-30°=60°$。
根据三角形外角性质，$∠ APB=∠ PBE-∠ PAB=60°-30°=30°$，因此$∠ PAB=∠ APB$，可得$AB=BP=60\ \mathrm{n mile}$。
3. 求P到航线的垂直距离PE：
在$\mathrm{Rt}△ PBE$中，$∠ PEB=90°$，$∠ PBE=60°$，
因此$PE=BP·\sin60°=60×\frac{\sqrt{3}}{2}=30\sqrt{3}\ \mathrm{n mile}$。
4. 比较判断：
因为$30\sqrt{3}＜40\sqrt{3}$，说明灯塔P到航线的距离在暗礁范围内，因此海监船继续向东航行不安全。
【答案】
不安全
【知识点】
方位角问题，等腰三角形判定，解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形在实际航行问题中的应用，解题的核心是通过作垂线构造直角三角形，结合方位角的含义和三角形的角度、边的关系求出关键的垂线段长度，再和给定范围对比得出结论，贴近生活实际，侧重考查知识的应用能力。
【难度系数】
0.7
要判断海监船继续向东航行是否安全，本质是求灯塔P到正东航线AB的垂直距离，再将该距离与暗礁范围$40\sqrt{3}\ \mathrm{n mile}$比较：若距离小于等于$40\sqrt{3}\ \mathrm{n mile}$则不安全，反之安全。首先根据航行速度和时间求出AB的长度，再结合方位角推导△ABP的角度关系得到边的等量关系，最后构造直角三角形用三角函数求出P到航线的垂直距离即可。
【解析】
过点P作$PE⊥ AB$，交AB的延长线于点E。
1. 求AB的长度：海监船速度为$60\ \mathrm{n mile/h}$，向东航行1h到达B处，因此$AB=60×1=60\ \mathrm{n mile}$。
2. 推导角度和边的关系：
由A处测得P在北偏东$60°$，得$∠ PAB=90°-60°=30°$；
由B处测得P在北偏东$30°$，得$∠ PBE=90°-30°=60°$。
根据三角形外角性质，$∠ APB=∠ PBE-∠ PAB=60°-30°=30°$，因此$∠ PAB=∠ APB$，可得$AB=BP=60\ \mathrm{n mile}$。
3. 求P到航线的垂直距离PE：
在$\mathrm{Rt}△ PBE$中，$∠ PEB=90°$，$∠ PBE=60°$，
因此$PE=BP·\sin60°=60×\frac{\sqrt{3}}{2}=30\sqrt{3}\ \mathrm{n mile}$。
4. 比较判断：
因为$30\sqrt{3}＜40\sqrt{3}$，说明灯塔P到航线的距离在暗礁范围内，因此海监船继续向东航行不安全。
【答案】
不安全
【知识点】
方位角问题，等腰三角形判定，解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形在实际航行问题中的应用，解题的核心是通过作垂线构造直角三角形，结合方位角的含义和三角形的角度、边的关系求出关键的垂线段长度，再和给定范围对比得出结论，贴近生活实际，侧重考查知识的应用能力。
【难度系数】
0.7
12. [新课标—数学文化题][2024·湖南中考]
图1为《天工开物》记载的用于舂(chōng)捣谷物的工具——“碓(duì)”的结构简图，图2为其平面示意图.已知$AB⊥CD$于点B，AB与水平线$l$相交于点O，$OE⊥l$.若$BC=4\ \mathrm{dm}$，$OB=12\ \mathrm{dm}$，$∠ BOE=60°$，则点C到水平线$l$的距离$CF$为
图1为《天工开物》记载的用于舂(chōng)捣谷物的工具——“碓(duì)”的结构简图，图2为其平面示意图.已知$AB⊥CD$于点B，AB与水平线$l$相交于点O，$OE⊥l$.若$BC=4\ \mathrm{dm}$，$OB=12\ \mathrm{dm}$，$∠ BOE=60°$，则点C到水平线$l$的距离$CF$为
$(6-2\sqrt{3})$
$\mathrm{dm}$.(结果用含根号的式子表示)答案
12.$(6-2\sqrt{3})$
解析
【分析】
要计算点C到水平线l的距离CF，我们可以通过作辅助线构造直角三角形和矩形，将所求距离转化为已知边长的和差关系：第一步，先根据OE⊥l和∠BOE=60°，求出AB与l的夹角；第二步，利用直角三角形性质计算点B到l的距离；第三步，结合AB⊥CD的条件，求出BC在竖直方向的投影长度；第四步，用点B到l的距离减去该投影长度，即可得到CF的长度。
【解析】
过点B作$BG⊥ l$于点G，过点C作$CH⊥ BG$，交BG的延长线于点H。
1. 求$∠ BOG$的度数：
$\because OE⊥ l$，$\therefore ∠ EOG=90°$，
又$\because ∠ BOE=60°$，$\therefore ∠ BOG=90°-∠ BOE=30°$。
2. 计算点B到l的距离BG：
在$Rt△ BOG$中，$OB=12\ \mathrm{dm}$，$∠ BOG=30°$，
$\therefore BG=OB·\sin30°=12×\frac{1}{2}=6\ \mathrm{dm}$。
3. 计算BH的长度：
$\because AB⊥ CD$，$\therefore ∠ ABC=90°$，即$∠ CBH+∠ ABG=90°$，
在$Rt△ BOG$中，$∠ ABG+∠ BOG=90°$，$\therefore ∠ CBH=∠ BOG=30°$。
在$Rt△ BCH$中，$BC=4\ \mathrm{dm}$，$∠ CBH=30°$，
$\therefore BH=BC·\cos30°=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\ \mathrm{dm}$。
4. 计算CF：
$\because CF⊥ l$，$BG⊥ l$，$CH⊥ BG$，$\therefore$四边形CHGF是矩形，
$\therefore CF=HG=BG-BH=6-2\sqrt{3}\ \mathrm{dm}$。
【答案】
$(6-2\sqrt{3})$
【知识点】
解直角三角形的应用，垂线的性质，矩形的判定与性质
【点评】
本题结合古代科技文化背景考查解直角三角形的实际应用，解题核心是通过辅助线构造几何模型，将实际距离问题转化为直角三角形边长计算问题，能有效考查学生的模型转化能力。
【难度系数】
0.6
要计算点C到水平线l的距离CF，我们可以通过作辅助线构造直角三角形和矩形，将所求距离转化为已知边长的和差关系：第一步，先根据OE⊥l和∠BOE=60°，求出AB与l的夹角；第二步，利用直角三角形性质计算点B到l的距离；第三步，结合AB⊥CD的条件，求出BC在竖直方向的投影长度；第四步，用点B到l的距离减去该投影长度，即可得到CF的长度。
【解析】
过点B作$BG⊥ l$于点G，过点C作$CH⊥ BG$，交BG的延长线于点H。
1. 求$∠ BOG$的度数：
$\because OE⊥ l$，$\therefore ∠ EOG=90°$，
又$\because ∠ BOE=60°$，$\therefore ∠ BOG=90°-∠ BOE=30°$。
2. 计算点B到l的距离BG：
在$Rt△ BOG$中，$OB=12\ \mathrm{dm}$，$∠ BOG=30°$，
$\therefore BG=OB·\sin30°=12×\frac{1}{2}=6\ \mathrm{dm}$。
3. 计算BH的长度：
$\because AB⊥ CD$，$\therefore ∠ ABC=90°$，即$∠ CBH+∠ ABG=90°$，
在$Rt△ BOG$中，$∠ ABG+∠ BOG=90°$，$\therefore ∠ CBH=∠ BOG=30°$。
在$Rt△ BCH$中，$BC=4\ \mathrm{dm}$，$∠ CBH=30°$，
$\therefore BH=BC·\cos30°=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\ \mathrm{dm}$。
4. 计算CF：
$\because CF⊥ l$，$BG⊥ l$，$CH⊥ BG$，$\therefore$四边形CHGF是矩形，
$\therefore CF=HG=BG-BH=6-2\sqrt{3}\ \mathrm{dm}$。
【答案】
$(6-2\sqrt{3})$
【知识点】
解直角三角形的应用，垂线的性质，矩形的判定与性质
【点评】
本题结合古代科技文化背景考查解直角三角形的实际应用，解题核心是通过辅助线构造几何模型，将实际距离问题转化为直角三角形边长计算问题，能有效考查学生的模型转化能力。
【难度系数】
0.6
13. [2025·合肥包河区三模]如图，航航和朋友们计划在商场A集合后，先去位于西南方向的咖啡厅B，然后沿南偏西$37°$方向去书店C，最后前往电影院D。已知电影院D位于书店C的正东方向，且在商场A的正南方向。若从咖啡厅B到书店C的距离为400 m，从书店C到电影院D的距离为700 m，求商场A到电影院D的距离。(参考数据：$\sin 37° \approx 0.60,\cos 37° \approx 0.80,\tan 37° \approx 0.75$)
答案
13. 商场 A 到电影院 D 的距离约为 780 m。
解析
【分析】
要求商场A到电影院D的距离AD，可通过作辅助线构造直角三角形和矩形，将未知线段拆分转化为可求解的线段。首先过点B作BE⊥CD于E、BF⊥AD于F，可得四边形BEDF是矩形；先在Rt△BCE中利用37°的三角函数值求出BE、CE的长度，再结合CD的长度求出ED，即BF的长度；由∠A=45°可知△ABF是等腰直角三角形，得AF=BF，最后AD=AF+FD，其中FD=BE，代入数值计算即可。
【解析】
解：过点B作$BE⊥ CD$于点E，$BF⊥ AD$于点F。
$\because CD⊥ AD$，$\therefore$四边形BEDF是矩形，$\therefore FD=BE$，$BF=ED$。
在$Rt△ BCE$中，$∠ C=37°$，$BC=400\mathrm{m}$，
$\therefore BE=BC·\sin37°\approx400×0.60=240\mathrm{m}$，
$CE=BC·\cos37°\approx400×0.80=320\mathrm{m}$。
$\because CD=700\mathrm{m}$，$\therefore ED=CD-CE=700-320=380\mathrm{m}$，则$BF=ED=380\mathrm{m}$。
在$Rt△ ABF$中，$∠ A=45°$，$\therefore△ ABF$是等腰直角三角形，$\therefore AF=BF=380\mathrm{m}$。
又$\because FD=BE=240\mathrm{m}$，
$\therefore AD=AF+FD=380+240=780\mathrm{m}$。
【答案】
商场A到电影院D的距离约为780 m。
【知识点】
解直角三角形的应用；矩形的性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题结合生活场景考查解直角三角形的实际应用，解题核心是合理构造辅助线，把不规则图形中的未知线段转化为直角三角形和矩形中的可求线段，是方向角类应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
要求商场A到电影院D的距离AD，可通过作辅助线构造直角三角形和矩形，将未知线段拆分转化为可求解的线段。首先过点B作BE⊥CD于E、BF⊥AD于F，可得四边形BEDF是矩形；先在Rt△BCE中利用37°的三角函数值求出BE、CE的长度，再结合CD的长度求出ED，即BF的长度；由∠A=45°可知△ABF是等腰直角三角形，得AF=BF，最后AD=AF+FD，其中FD=BE，代入数值计算即可。
【解析】
解：过点B作$BE⊥ CD$于点E，$BF⊥ AD$于点F。
$\because CD⊥ AD$，$\therefore$四边形BEDF是矩形，$\therefore FD=BE$，$BF=ED$。
在$Rt△ BCE$中，$∠ C=37°$，$BC=400\mathrm{m}$，
$\therefore BE=BC·\sin37°\approx400×0.60=240\mathrm{m}$，
$CE=BC·\cos37°\approx400×0.80=320\mathrm{m}$。
$\because CD=700\mathrm{m}$，$\therefore ED=CD-CE=700-320=380\mathrm{m}$，则$BF=ED=380\mathrm{m}$。
在$Rt△ ABF$中，$∠ A=45°$，$\therefore△ ABF$是等腰直角三角形，$\therefore AF=BF=380\mathrm{m}$。
又$\because FD=BE=240\mathrm{m}$，
$\therefore AD=AF+FD=380+240=780\mathrm{m}$。
【答案】
商场A到电影院D的距离约为780 m。
【知识点】
解直角三角形的应用；矩形的性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题结合生活场景考查解直角三角形的实际应用，解题核心是合理构造辅助线，把不规则图形中的未知线段转化为直角三角形和矩形中的可求线段，是方向角类应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
14. 莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的景区之一，里面的秋千深受孩子们喜爱. 如图所示，秋千链子的长度为3 m，当摆角∠BOC恰为26°时，座板离地面的高度BM为0.9 m，当摆动至最高位置时，摆角∠AOC为50°，求座板离地面的最大高度.（结果精确到0.1 m，参考数据：$\sin 26° \approx 0.44$，$\cos 26° \approx 0.90$，$\tan 26° \approx 0.49$，$\sin 50° \approx 0.77$，$\cos 50° \approx 0.64$，$\tan 50° \approx 1.19$）
答案
14. 座板离地面的最大高度约为 1.7 m。
解析
【分析】
本题是解直角三角形的实际应用题，秋千链子长度固定，故OA=OB=3m。解题思路如下：第一步先求悬挂点O到地面的高度：过B向竖直的ON作垂线构造直角三角形，利用26°角的余弦值求出O到B的竖直高度，再加上已知的BM高度，即可得到O到地面的总高度ON；第二步求最大高度：当摆角为50°时，同样构造直角三角形，利用50°角的余弦值求出O到A的竖直高度，用ON减去该高度，就得到座板在A点时离地面的最大高度。
【解析】
解：过点B作BD⊥ON于点D，过点A作AE⊥ON于点E，
∵BM⊥MN，ON⊥MN，BD⊥ON，
∴四边形BMND是矩形，
∴DN=BM=0.9 m，
由题意知秋千链子长度不变，故OB=OA=3 m，
在Rt△OBD中，∠BOD=26°，
∵$\cos∠ BOD = \frac{OD}{OB}$，
∴$OD = OB·\cos26° \approx 3×0.90 = 2.7$ m，
∴O点到地面的高度$ON = OD + DN = 2.7 + 0.9 = 3.6$ m，
在Rt△OAE中，∠AOE=50°，
∵$\cos∠ AOE = \frac{OE}{OA}$，
∴$OE = OA·\cos50° \approx 3×0.64 = 1.92$ m，
∴座板在A点时离地面的高度为：$ON - OE = 3.6 - 1.92 = 1.68 \approx 1.7$ m。
【答案】
座板离地面的最大高度约为1.7 m。
【知识点】
解直角三角形的应用，余弦的定义，矩形的性质
【点评】
本题结合生活中的秋千场景考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形，结合锐角三角函数和线段和差关系求解，能很好地考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.6
本题是解直角三角形的实际应用题，秋千链子长度固定，故OA=OB=3m。解题思路如下：第一步先求悬挂点O到地面的高度：过B向竖直的ON作垂线构造直角三角形，利用26°角的余弦值求出O到B的竖直高度，再加上已知的BM高度，即可得到O到地面的总高度ON；第二步求最大高度：当摆角为50°时，同样构造直角三角形，利用50°角的余弦值求出O到A的竖直高度，用ON减去该高度，就得到座板在A点时离地面的最大高度。
【解析】
解：过点B作BD⊥ON于点D，过点A作AE⊥ON于点E，
∵BM⊥MN，ON⊥MN，BD⊥ON，
∴四边形BMND是矩形，
∴DN=BM=0.9 m，
由题意知秋千链子长度不变，故OB=OA=3 m，
在Rt△OBD中，∠BOD=26°，
∵$\cos∠ BOD = \frac{OD}{OB}$，
∴$OD = OB·\cos26° \approx 3×0.90 = 2.7$ m，
∴O点到地面的高度$ON = OD + DN = 2.7 + 0.9 = 3.6$ m，
在Rt△OAE中，∠AOE=50°，
∵$\cos∠ AOE = \frac{OE}{OA}$，
∴$OE = OA·\cos50° \approx 3×0.64 = 1.92$ m，
∴座板在A点时离地面的高度为：$ON - OE = 3.6 - 1.92 = 1.68 \approx 1.7$ m。
【答案】
座板离地面的最大高度约为1.7 m。
【知识点】
解直角三角形的应用，余弦的定义，矩形的性质
【点评】
本题结合生活中的秋千场景考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形，结合锐角三角函数和线段和差关系求解，能很好地考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.6
