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1. 下列说法正确的是 （
A.垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧
B.平分弦的直径垂直于弦
C.垂直于直径的直线平分这条直径
D.弦的垂直平分线经过圆心
D
）A.垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧
B.平分弦的直径垂直于弦
C.垂直于直径的直线平分这条直径
D.弦的垂直平分线经过圆心
答案
1.D
解析
【分析】
本题考查垂径定理及其推论的概念辨析，解题时需逐一将选项与垂径定理及推论的完整表述对比，重点关注定理成立的限制条件，排除不符合要求的选项即可得出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：根据垂径定理，只有垂直于弦的直径（过圆心的直线）才平分弦所对的两条弧，若直线不过圆心，仅垂直于弦无法平分对应弧，故A错误；
B选项：垂径定理推论明确，平分非直径的弦的直径垂直于弦，若被平分的弦本身是直径，两条直径互相平分但不一定垂直，选项遗漏了“弦不是直径”的前提，故B错误；
C选项：只有过圆心（即直径中点）且垂直于直径的直线才会平分直径，任意垂直于直径的直线不一定过直径中点，无法平分直径，故C错误；
D选项：圆的半径都相等，因此圆心到弦的两个端点距离相等，根据垂直平分线的性质，圆心在弦的垂直平分线上，即弦的垂直平分线经过圆心，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理；垂径定理推论；垂直平分线性质
【点评】
本题属于基础概念题，易错点在于忽略垂径定理及推论的限制条件，如B选项遗漏“弦不是直径”的前提、A选项忽略“直线过圆心”的要求，学习时要准确记忆定理的完整表述，区分易混淆的概念。
【难度系数】
0.7
本题考查垂径定理及其推论的概念辨析，解题时需逐一将选项与垂径定理及推论的完整表述对比，重点关注定理成立的限制条件，排除不符合要求的选项即可得出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：根据垂径定理，只有垂直于弦的直径（过圆心的直线）才平分弦所对的两条弧，若直线不过圆心，仅垂直于弦无法平分对应弧，故A错误；
B选项：垂径定理推论明确，平分非直径的弦的直径垂直于弦，若被平分的弦本身是直径，两条直径互相平分但不一定垂直，选项遗漏了“弦不是直径”的前提，故B错误；
C选项：只有过圆心（即直径中点）且垂直于直径的直线才会平分直径，任意垂直于直径的直线不一定过直径中点，无法平分直径，故C错误；
D选项：圆的半径都相等，因此圆心到弦的两个端点距离相等，根据垂直平分线的性质，圆心在弦的垂直平分线上，即弦的垂直平分线经过圆心，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理；垂径定理推论；垂直平分线性质
【点评】
本题属于基础概念题，易错点在于忽略垂径定理及推论的限制条件，如B选项遗漏“弦不是直径”的前提、A选项忽略“直线过圆心”的要求，学习时要准确记忆定理的完整表述，区分易混淆的概念。
【难度系数】
0.7
2.如图，$\odot O$的弦$AB=8$，$M$是$AB$的中点，且$CM=2$，则$\odot O$的直径等于
10
.答案
2.10
解析
【分析】
遇到过圆心的线段与弦中点的条件，首先联想到垂径定理，可得到线段垂直关系和半弦长；要求圆的直径，需先求半径，因此连接半径构造直角三角形，设半径为未知数，利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
连接$OA$，设$\odot O$的半径为$r$，则$OA=OC=r$。
∵ $M$是弦$AB$的中点，且$OC$过圆心$O$，
根据垂径定理可得：$OC⊥ AB$，$AM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$。
∵ $CM=2$，
∴ $OM=OC - CM = r - 2$。
在$\mathrm{Rt}△ OAM$中，由勾股定理得：
$OA^2=OM^2 + AM^2$，
代入得$r^2=(r-2)^2 + 4^2$，
展开得$r^2=r^2 - 4r + 4 + 16$，
化简得$4r=20$，解得$r=5$。
因此$\odot O$的直径为$2r=2×5=10$。
【答案】
10
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是垂径定理应用的典型题型，核心解题思路是通过连接半径构造直角三角形，结合勾股定理列方程求解线段长度，该方法是圆中线段计算的常用技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
遇到过圆心的线段与弦中点的条件，首先联想到垂径定理，可得到线段垂直关系和半弦长；要求圆的直径，需先求半径，因此连接半径构造直角三角形，设半径为未知数，利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
连接$OA$，设$\odot O$的半径为$r$，则$OA=OC=r$。
∵ $M$是弦$AB$的中点，且$OC$过圆心$O$，
根据垂径定理可得：$OC⊥ AB$，$AM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$。
∵ $CM=2$，
∴ $OM=OC - CM = r - 2$。
在$\mathrm{Rt}△ OAM$中，由勾股定理得：
$OA^2=OM^2 + AM^2$，
代入得$r^2=(r-2)^2 + 4^2$，
展开得$r^2=r^2 - 4r + 4 + 16$，
化简得$4r=20$，解得$r=5$。
因此$\odot O$的直径为$2r=2×5=10$。
【答案】
10
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是垂径定理应用的典型题型，核心解题思路是通过连接半径构造直角三角形，结合勾股定理列方程求解线段长度，该方法是圆中线段计算的常用技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
3. [2025·合肥蜀山区校级月考]如图,圆形拱门的形状是以点O为圆心的圆的一部分,如果D是⊙O中弦AB的中点,连接DO并延长交⊙O于点C,并且AB=1 m,CD=2.5 m,求⊙O的半径.
答案
3.1.3 m
解析
【分析】
首先根据已知条件，D是弦AB的中点，CD过圆心O，由垂径定理可推出CD⊥AB，且AD为AB长度的一半；要求圆的半径，我们可以设半径为r，将线段OD用含r的代数式表示，此时△OAD为直角三角形，利用勾股定理列方程即可求解半径长度。
【解析】
连接OA，设⊙O的半径为$ r \, \mathrm{m} $，则$ OA = OC = r \, \mathrm{m} $。
因为$ CD = 2.5 \, \mathrm{m} $，所以$ OD = CD - OC = (2.5 - r) \, \mathrm{m} $。
因为D是弦AB的中点，且CD过圆心O，根据垂径定理得：$ CD ⊥ AB $，$ AD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 1 = 0.5 \, \mathrm{m} $。
在$ \mathrm{Rt}△ OAD $中，由勾股定理得：
$ OA^2 = AD^2 + OD^2 $
代入数值：
$ r^2 = 0.5^2 + (2.5 - r)^2 $
展开并整理方程：
$ r^2 = 0.25 + 6.25 - 5r + r^2 $
两边消去$ r^2 $得：
$ 5r = 6.5 $
解得：$ r = 1.3 $
【答案】
1.3 m
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是垂径定理实际应用的典型题型，解题的关键是结合垂径定理构造直角三角形，再通过勾股定理列方程求解，这是圆中计算线段长度的常用方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
首先根据已知条件，D是弦AB的中点，CD过圆心O，由垂径定理可推出CD⊥AB，且AD为AB长度的一半；要求圆的半径，我们可以设半径为r，将线段OD用含r的代数式表示，此时△OAD为直角三角形，利用勾股定理列方程即可求解半径长度。
【解析】
连接OA，设⊙O的半径为$ r \, \mathrm{m} $，则$ OA = OC = r \, \mathrm{m} $。
因为$ CD = 2.5 \, \mathrm{m} $，所以$ OD = CD - OC = (2.5 - r) \, \mathrm{m} $。
因为D是弦AB的中点，且CD过圆心O，根据垂径定理得：$ CD ⊥ AB $，$ AD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 1 = 0.5 \, \mathrm{m} $。
在$ \mathrm{Rt}△ OAD $中，由勾股定理得：
$ OA^2 = AD^2 + OD^2 $
代入数值：
$ r^2 = 0.5^2 + (2.5 - r)^2 $
展开并整理方程：
$ r^2 = 0.25 + 6.25 - 5r + r^2 $
两边消去$ r^2 $得：
$ 5r = 6.5 $
解得：$ r = 1.3 $
【答案】
1.3 m
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是垂径定理实际应用的典型题型，解题的关键是结合垂径定理构造直角三角形，再通过勾股定理列方程求解，这是圆中计算线段长度的常用方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
4.为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示(单位:cm)，则该铁球的直径为（
A.12 cm
B.10 cm
C.8 cm
D.6 cm
B
）A.12 cm
B.10 cm
C.8 cm
D.6 cm
答案
4.B
解析
【分析】
解决本题的核心是将实际问题转化为圆的几何计算问题：把铁球的截面看作圆，工件槽凹口内与球接触的两点连线是圆的一条弦，弦长为8cm，该弦到圆最低点的距离为2cm。我们可以利用垂径定理得到弦长的一半，再设半径为未知数，用半径表示出圆心到弦的距离，最后结合勾股定理列方程求出半径，即可得到直径。
【解析】
设铁球截面圆的半径为$ r $ cm，圆心为$ O $，记长度为8cm的弦为$ AB $，过$ O $作$ OC ⊥ AB $于点$ C $。
根据垂径定理可得：$ AC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 8 = 4 $ cm。
由题意可知，圆心到弦$ AB $的距离$ OC = (r - 2) $ cm。
在$ \mathrm{Rt}△ OAC $中，根据勾股定理：$ OA^2 = AC^2 + OC^2 $，代入得：
$ r^2 = 4^2 + (r - 2)^2 $
展开计算：
$ r^2 = 16 + r^2 - 4r + 4 $
移项化简得：$ 4r = 20 $，解得$ r = 5 $。
因此铁球的直径为$ 2r = 2 × 5 = 10 $ cm。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理的应用，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题结合生活实际考查圆的相关计算，解题关键是从实物图中抽象出圆、弦等几何元素，通过构造直角三角形将垂径定理和勾股定理结合求解，也考查了方程思想在几何计算中的运用。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是将实际问题转化为圆的几何计算问题：把铁球的截面看作圆，工件槽凹口内与球接触的两点连线是圆的一条弦，弦长为8cm，该弦到圆最低点的距离为2cm。我们可以利用垂径定理得到弦长的一半，再设半径为未知数，用半径表示出圆心到弦的距离，最后结合勾股定理列方程求出半径，即可得到直径。
【解析】
设铁球截面圆的半径为$ r $ cm，圆心为$ O $，记长度为8cm的弦为$ AB $，过$ O $作$ OC ⊥ AB $于点$ C $。
根据垂径定理可得：$ AC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 8 = 4 $ cm。
由题意可知，圆心到弦$ AB $的距离$ OC = (r - 2) $ cm。
在$ \mathrm{Rt}△ OAC $中，根据勾股定理：$ OA^2 = AC^2 + OC^2 $，代入得：
$ r^2 = 4^2 + (r - 2)^2 $
展开计算：
$ r^2 = 16 + r^2 - 4r + 4 $
移项化简得：$ 4r = 20 $，解得$ r = 5 $。
因此铁球的直径为$ 2r = 2 × 5 = 10 $ cm。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理的应用，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题结合生活实际考查圆的相关计算，解题关键是从实物图中抽象出圆、弦等几何元素，通过构造直角三角形将垂径定理和勾股定理结合求解，也考查了方程思想在几何计算中的运用。
【难度系数】
0.7
5.[新课标—跨学科题]化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它的底部可以看成一个球体，这个球体最大纵截面如图所示，其半径为6 cm，瓶内液体最大深度为4 cm，则液面宽AB=（
A.2 cm
B.$4\sqrt{2}$ cm
C.8 cm
D.$8\sqrt{2}$ cm
D
）A.2 cm
B.$4\sqrt{2}$ cm
C.8 cm
D.$8\sqrt{2}$ cm
答案
5.D
解析
【分析】
本题是结合化学实验装置的几何应用题，求解液面宽AB本质是求圆中弦长的问题，解题思路如下：① 利用垂径定理，过圆心作AB的垂线，可将AB分成相等的两段，将问题转化为求直角三角形的边长；② 结合已知的球体半径、液体深度，算出圆心到AB的距离（弦心距）；③ 在直角三角形中用勾股定理求出半段弦长，乘2即可得到AB的长度。
【解析】
过圆心O作$OC⊥ AB$于点C，连接OA。
根据垂径定理可得：$AC = BC = \frac{1}{2}AB$。
已知球体的半径$OA = 6\mathrm{cm}$，瓶内液体最大深度为$4\mathrm{cm}$，则圆心O到弦AB的距离：
$OC = 6 - 4 = 2\mathrm{cm}$
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，由勾股定理得：
$AC = \sqrt{OA^2 - OC^2} = \sqrt{6^2 - 2^2} = \sqrt{36 - 4} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\mathrm{cm}$
因此$AB = 2AC = 2×4\sqrt{2} = 8\sqrt{2}\mathrm{cm}$。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理、勾股定理
【点评】
本题是跨学科融合题，将数学几何知识和化学实验场景结合，考查学生将实际问题转化为几何模型的能力，解题的关键是熟练运用垂径定理构造直角三角形，结合勾股定理计算弦长。
【难度系数】
0.7
本题是结合化学实验装置的几何应用题，求解液面宽AB本质是求圆中弦长的问题，解题思路如下：① 利用垂径定理，过圆心作AB的垂线，可将AB分成相等的两段，将问题转化为求直角三角形的边长；② 结合已知的球体半径、液体深度，算出圆心到AB的距离（弦心距）；③ 在直角三角形中用勾股定理求出半段弦长，乘2即可得到AB的长度。
【解析】
过圆心O作$OC⊥ AB$于点C，连接OA。
根据垂径定理可得：$AC = BC = \frac{1}{2}AB$。
已知球体的半径$OA = 6\mathrm{cm}$，瓶内液体最大深度为$4\mathrm{cm}$，则圆心O到弦AB的距离：
$OC = 6 - 4 = 2\mathrm{cm}$
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，由勾股定理得：
$AC = \sqrt{OA^2 - OC^2} = \sqrt{6^2 - 2^2} = \sqrt{36 - 4} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\mathrm{cm}$
因此$AB = 2AC = 2×4\sqrt{2} = 8\sqrt{2}\mathrm{cm}$。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理、勾股定理
【点评】
本题是跨学科融合题，将数学几何知识和化学实验场景结合，考查学生将实际问题转化为几何模型的能力，解题的关键是熟练运用垂径定理构造直角三角形，结合勾股定理计算弦长。
【难度系数】
0.7
6. 图1是小明帮妈妈做的一个锅盖架，图2是它的截面示意图，垂直放置的锅盖与架子左右两竖杆的交点为A，B，AB=20 cm，锅盖直径为52 cm，则锅盖最低点C到AB的距离是
2
cm.答案
6.2
解析
【分析】
本题是垂径定理的实际应用类问题，解题思路如下：首先将锅盖抽象为圆形，明确锅盖直径即为圆的直径，先求出圆的半径。随后过圆心作弦AB的垂线，根据垂径定理，垂足为AB的中点，可得半弦长。再连接圆心与点A构造直角三角形，用勾股定理算出圆心到AB的距离，最后用半径减去该距离，即可得到最低点C到AB的距离。
【解析】
设圆的圆心为O，连接OA，过点O作OD⊥AB于点D：
1. 根据垂径定理，可得 $ AD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 20 = 10\ \mathrm{cm} $；
2. 已知锅盖直径为52cm，因此圆的半径 $ OA = OC = \frac{52}{2} = 26\ \mathrm{cm} $；
3. 在 $ \mathrm{Rt}△ OAD $ 中，由勾股定理得：
$ OD = \sqrt{OA^2 - AD^2} = \sqrt{26^2 - 10^2} = \sqrt{676 - 100} = \sqrt{576} = 24\ \mathrm{cm} $；
4. 由于O、D、C三点共线，因此最低点C到AB的距离 $ CD = OC - OD = 26 - 24 = 2\ \mathrm{cm} $。
【答案】
2
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题结合生活场景考查几何定理的应用，解题关键是将实际问题转化为圆的几何模型，熟练运用垂径定理和勾股定理计算相关线段长度。
【难度系数】
0.7
本题是垂径定理的实际应用类问题，解题思路如下：首先将锅盖抽象为圆形，明确锅盖直径即为圆的直径，先求出圆的半径。随后过圆心作弦AB的垂线，根据垂径定理，垂足为AB的中点，可得半弦长。再连接圆心与点A构造直角三角形，用勾股定理算出圆心到AB的距离，最后用半径减去该距离，即可得到最低点C到AB的距离。
【解析】
设圆的圆心为O，连接OA，过点O作OD⊥AB于点D：
1. 根据垂径定理，可得 $ AD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 20 = 10\ \mathrm{cm} $；
2. 已知锅盖直径为52cm，因此圆的半径 $ OA = OC = \frac{52}{2} = 26\ \mathrm{cm} $；
3. 在 $ \mathrm{Rt}△ OAD $ 中，由勾股定理得：
$ OD = \sqrt{OA^2 - AD^2} = \sqrt{26^2 - 10^2} = \sqrt{676 - 100} = \sqrt{576} = 24\ \mathrm{cm} $；
4. 由于O、D、C三点共线，因此最低点C到AB的距离 $ CD = OC - OD = 26 - 24 = 2\ \mathrm{cm} $。
【答案】
2
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题结合生活场景考查几何定理的应用，解题关键是将实际问题转化为圆的几何模型，熟练运用垂径定理和勾股定理计算相关线段长度。
【难度系数】
0.7
