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1.将一张圆形纸片沿着它的一条直径翻折，直径两侧的部分相互重合，这说明（
A.圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心
B.圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴
C.圆的直径相互平分
D.直径是圆中最长的弦
B
）A.圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心
B.圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴
C.圆的直径相互平分
D.直径是圆中最长的弦
答案
1.B
解析
【分析】
首先，翻折后图形两侧重合是轴对称图形的典型特征，因此我们先对应轴对称的相关概念分析题干：操作是沿直径翻折，重合说明这条折痕就是对称轴。再逐一排查选项：A选项中心对称对应旋转180°重合，和翻折操作无关；C、D选项描述的直径性质均没有在本次翻折操作中体现，只有B选项符合轴对称的判定逻辑。
【解析】
根据轴对称图形的定义：平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
题干中圆形纸片沿直径翻折后两侧部分重合，说明圆是轴对称图形，翻折时的折痕是直径所在的直线，即直径所在的直线是圆的对称轴。
逐一排除错误选项：
A. 中心对称图形的判定是绕对称中心旋转180°后与自身重合，和翻折操作无关，不符合题意；
C. 题干操作没有体现直径相互平分的性质，不符合题意；
D. 题干操作没有体现直径是圆中最长弦的性质，不符合题意。
因此选B。
【答案】
B
【知识点】
轴对称图形的定义，圆的轴对称性
【点评】
本题考查圆的对称性相关基础概念，解题关键是区分轴对称和中心对称的不同判定依据，同时要注意对称轴是直线，不能误认为直径（线段）是圆的对称轴。
【难度系数】
0.8
首先，翻折后图形两侧重合是轴对称图形的典型特征，因此我们先对应轴对称的相关概念分析题干：操作是沿直径翻折，重合说明这条折痕就是对称轴。再逐一排查选项：A选项中心对称对应旋转180°重合，和翻折操作无关；C、D选项描述的直径性质均没有在本次翻折操作中体现，只有B选项符合轴对称的判定逻辑。
【解析】
根据轴对称图形的定义：平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
题干中圆形纸片沿直径翻折后两侧部分重合，说明圆是轴对称图形，翻折时的折痕是直径所在的直线，即直径所在的直线是圆的对称轴。
逐一排除错误选项：
A. 中心对称图形的判定是绕对称中心旋转180°后与自身重合，和翻折操作无关，不符合题意；
C. 题干操作没有体现直径相互平分的性质，不符合题意；
D. 题干操作没有体现直径是圆中最长弦的性质，不符合题意。
因此选B。
【答案】
B
【知识点】
轴对称图形的定义，圆的轴对称性
【点评】
本题考查圆的对称性相关基础概念，解题关键是区分轴对称和中心对称的不同判定依据，同时要注意对称轴是直线，不能误认为直径（线段）是圆的对称轴。
【难度系数】
0.8
2. 如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论不一定正确的是 （
A.$CE=DE$
B.$AE=OE$
C.$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$
D.$△ OCE ≌ △ ODE$
B
）A.$CE=DE$
B.$AE=OE$
C.$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$
D.$△ OCE ≌ △ ODE$
答案
2.B
解析
【分析】
解题时先根据已知条件定位考查知识点为垂径定理及全等三角形判定：第一步，回忆垂径定理内容，垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧，可直接判断选项A、C是否正确；第二步，结合圆的半径相等及直角三角形全等判定定理判断选项D是否正确；第三步，分析选项B，看是否有已知条件支撑AE=OE，若无则该结论不一定成立，最终选出符合题意的选项。
【解析】
已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E：
1. 根据垂径定理可得：$CE=DE$，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，因此A、C选项结论一定正确，不符合题意；
2. 分析D选项：在$\mathrm{Rt}△ OCE$和$\mathrm{Rt}△ ODE$中，$\begin{cases} OC=OD（圆的半径相等） \\ OE=OE（公共边） \end{cases}$，根据HL定理可证$△ OCE ≌ △ ODE$，因此D选项结论一定正确，不符合题意；
3. 分析B选项：题干未给出E是OA中点的相关条件，仅在特殊情况下$AE=OE$成立，因此该结论不一定正确，符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；全等三角形判定；圆的基本性质
【点评】
本题考查基础几何定理的应用，需熟练掌握垂径定理的内容，审题时注意题干要求选择“不一定正确”的选项，避免因审题粗心选错答案。
【难度系数】
0.8
解题时先根据已知条件定位考查知识点为垂径定理及全等三角形判定：第一步，回忆垂径定理内容，垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧，可直接判断选项A、C是否正确；第二步，结合圆的半径相等及直角三角形全等判定定理判断选项D是否正确；第三步，分析选项B，看是否有已知条件支撑AE=OE，若无则该结论不一定成立，最终选出符合题意的选项。
【解析】
已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E：
1. 根据垂径定理可得：$CE=DE$，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，因此A、C选项结论一定正确，不符合题意；
2. 分析D选项：在$\mathrm{Rt}△ OCE$和$\mathrm{Rt}△ ODE$中，$\begin{cases} OC=OD（圆的半径相等） \\ OE=OE（公共边） \end{cases}$，根据HL定理可证$△ OCE ≌ △ ODE$，因此D选项结论一定正确，不符合题意；
3. 分析B选项：题干未给出E是OA中点的相关条件，仅在特殊情况下$AE=OE$成立，因此该结论不一定正确，符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；全等三角形判定；圆的基本性质
【点评】
本题考查基础几何定理的应用，需熟练掌握垂径定理的内容，审题时注意题干要求选择“不一定正确”的选项，避免因审题粗心选错答案。
【难度系数】
0.8
3.如图，AB为$\odot O$的直径，弦$CD⊥ AB$于点E.若$AE=CD=8$，则$\odot O$的半径为（
A.3
B.4
C.$\frac{9}{2}$
D.5
D
）A.3
B.4
C.$\frac{9}{2}$
D.5
答案
3.D
解析
【分析】
遇到直径垂直于弦的问题，首先考虑垂径定理，可得到弦被交点平分，先求出半弦CE的长度；要求圆的半径，我们可以设半径为r，将直角三角形OCE的三条边用含r的代数式表示，再利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
设$\odot O$的半径为$r$，则$OC=OA=r$。
$\because AE=8$，$\therefore OE=AE-OA=8-r$。
$\because AB$为$\odot O$的直径，$CD⊥ AB$，$CD=8$，根据垂径定理可得：
$CE=\frac{1}{2}CD=4$。
在$\mathrm{Rt}△ OCE$中，由勾股定理得：
$OC^2=CE^2+OE^2$，
即$r^2=4^2+(8-r)^2$，
展开得$r^2=16+64-16r+r^2$，
移项化简得$16r=80$，
解得$r=5$。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是垂径定理的典型应用题型，解题核心是借助垂径定理得到直角三角形的边长，再结合勾股定理构造方程求解半径，是圆中线段长度计算的常见考法。
【难度系数】
0.7
遇到直径垂直于弦的问题，首先考虑垂径定理，可得到弦被交点平分，先求出半弦CE的长度；要求圆的半径，我们可以设半径为r，将直角三角形OCE的三条边用含r的代数式表示，再利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
设$\odot O$的半径为$r$，则$OC=OA=r$。
$\because AE=8$，$\therefore OE=AE-OA=8-r$。
$\because AB$为$\odot O$的直径，$CD⊥ AB$，$CD=8$，根据垂径定理可得：
$CE=\frac{1}{2}CD=4$。
在$\mathrm{Rt}△ OCE$中，由勾股定理得：
$OC^2=CE^2+OE^2$，
即$r^2=4^2+(8-r)^2$，
展开得$r^2=16+64-16r+r^2$，
移项化简得$16r=80$，
解得$r=5$。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是垂径定理的典型应用题型，解题核心是借助垂径定理得到直角三角形的边长，再结合勾股定理构造方程求解半径，是圆中线段长度计算的常见考法。
【难度系数】
0.7
(1)如图
，$\odot O$的弦$AB=24$，$P$是$AB$上一个动点。若$\odot O$的直径是26，则$OP$的最小值为
(2)如图
，$AB$是$\odot O$的直径，弦$CD$交$AB$于点$E$。若$BE=1$，$AE=5$，$∠ AEC=30°$，则$CD$的长为
，$\odot O$的弦$AB=24$，$P$是$AB$上一个动点。若$\odot O$的直径是26，则$OP$的最小值为5
。(2)如图
，$AB$是$\odot O$的直径，弦$CD$交$AB$于点$E$。若$BE=1$，$AE=5$，$∠ AEC=30°$，则$CD$的长为$4\sqrt{2}$
。答案
(1)5 (2)$4\sqrt{2}$
解析
【分析】
(1) 求OP的最小值时，依据“垂线段最短”可知当OP⊥AB时，OP长度最小。此时可结合垂径定理得到半弦长，再连接半径OA，在直角三角形中利用勾股定理即可算出OP的长度。
(2) 求CD的长度时，根据垂径定理，过圆心作CD的垂线可将CD平分，只需算出半弦长再乘2即可。先由AE、BE的长度算出圆的半径和OE的长度，再结合∠AEC=30°的条件，在直角三角形中算出圆心到CD的距离，最后用勾股定理求出半弦长，即可得到CD的总长度。
【解析】
(1) 当OP⊥AB时，OP取得最小值。
连接OA，
∵OP⊥AB，AB=24，由垂径定理得：$AP=\frac{1}{2}AB=12$。
∵⊙O的直径为26，
∴半径$OA=13$。
在Rt△OPA中，由勾股定理得：
$OP=\sqrt{OA^2-AP^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{25}=5$。
(2) 过点O作OF⊥CD于点F，连接OC。
∵AE=5，BE=1，
∴直径$AB=AE+BE=6$，则半径$OC=OB=3$。
∴$OE=OB-BE=3-1=2$。
在Rt△OEF中，∠AEC=30°，
∴$OF=\frac{1}{2}OE=1$。
∵OF⊥CD，由垂径定理得：$CF=FD=\frac{1}{2}CD$。
在Rt△OCF中，由勾股定理得：
$CF=\sqrt{OC^2-OF^2}=\sqrt{3^2-1^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，
∴$CD=2CF=4\sqrt{2}$。
【答案】
(1)5；(2)$4\sqrt{2}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；含30°角的直角三角形性质
【点评】
这两道题是垂径定理的基础应用题型，解题核心是过圆心作弦的垂线构造直角三角形，结合勾股定理计算线段长度，是圆中线段计算的常用思路。
【难度系数】
0.7
(1) 求OP的最小值时，依据“垂线段最短”可知当OP⊥AB时，OP长度最小。此时可结合垂径定理得到半弦长，再连接半径OA，在直角三角形中利用勾股定理即可算出OP的长度。
(2) 求CD的长度时，根据垂径定理，过圆心作CD的垂线可将CD平分，只需算出半弦长再乘2即可。先由AE、BE的长度算出圆的半径和OE的长度，再结合∠AEC=30°的条件，在直角三角形中算出圆心到CD的距离，最后用勾股定理求出半弦长，即可得到CD的总长度。
【解析】
(1) 当OP⊥AB时，OP取得最小值。
连接OA，
∵OP⊥AB，AB=24，由垂径定理得：$AP=\frac{1}{2}AB=12$。
∵⊙O的直径为26，
∴半径$OA=13$。
在Rt△OPA中，由勾股定理得：
$OP=\sqrt{OA^2-AP^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{25}=5$。
(2) 过点O作OF⊥CD于点F，连接OC。
∵AE=5，BE=1，
∴直径$AB=AE+BE=6$，则半径$OC=OB=3$。
∴$OE=OB-BE=3-1=2$。
在Rt△OEF中，∠AEC=30°，
∴$OF=\frac{1}{2}OE=1$。
∵OF⊥CD，由垂径定理得：$CF=FD=\frac{1}{2}CD$。
在Rt△OCF中，由勾股定理得：
$CF=\sqrt{OC^2-OF^2}=\sqrt{3^2-1^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，
∴$CD=2CF=4\sqrt{2}$。
【答案】
(1)5；(2)$4\sqrt{2}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；含30°角的直角三角形性质
【点评】
这两道题是垂径定理的基础应用题型，解题核心是过圆心作弦的垂线构造直角三角形，结合勾股定理计算线段长度，是圆中线段计算的常用思路。
【难度系数】
0.7
4. 如图，在$\odot O$中，弦$AB=12$，半径$OC⊥ AB$于点$P$，且$P$为$OC$的中点，则$AC$的长是（
A.$4\sqrt{2}$
B.$6$
C.$8$
D.$4\sqrt{3}$
D
）A.$4\sqrt{2}$
B.$6$
C.$8$
D.$4\sqrt{3}$
答案
4.D
解析
【分析】
解题可按以下思路开展：1. 首先看到半径OC垂直于弦AB，符合垂径定理的应用条件，可先通过垂径定理求出弦AB的一半AP的长度；2. 已知P是OC的中点，设圆的半径为r，即可用r表示OP的长度，在Rt△OPA中，OA为半径r，OP、AP长度均已知，可借助勾股定理列方程求出半径r；3. 最后在Rt△APC中，已知AP和PC的长度，再次使用勾股定理就能求出AC的长度，也可利用垂直平分线性质直接得AC=OA简化计算。
【解析】
解：
∵OC是⊙O的半径，且OC⊥AB，AB是⊙O的弦
∴根据垂径定理可得：$AP=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×12=6$
设⊙O的半径为$r$，则$OA=OC=r$
∵P为OC的中点
∴$OP=PC=\frac{1}{2}r$
在$Rt△ OPA$中，由勾股定理得：
$OA^2=OP^2+AP^2$
代入数值：$r^2=(\frac{1}{2}r)^2+6^2$
化简得：$r^2=\frac{1}{4}r^2+36$
整理得：$\frac{3}{4}r^2=36$，解得$r^2=48$，即$r=4\sqrt{3}$（半径为正，舍去负根）
在$Rt△ APC$中，$AP=6$，$PC=\frac{1}{2}r=2\sqrt{3}$
由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AP^2+PC^2}=\sqrt{6^2+(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{36+12}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$
【答案】
D
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题属于圆中线段计算的常见基础题，解题核心是通过垂径定理把已知弦长转化为直角三角形的边长，再设半径借助勾股定理建立方程求解，熟练掌握垂径定理和勾股定理的组合应用就能快速解决这类问题。
【难度系数】
0.7
解题可按以下思路开展：1. 首先看到半径OC垂直于弦AB，符合垂径定理的应用条件，可先通过垂径定理求出弦AB的一半AP的长度；2. 已知P是OC的中点，设圆的半径为r，即可用r表示OP的长度，在Rt△OPA中，OA为半径r，OP、AP长度均已知，可借助勾股定理列方程求出半径r；3. 最后在Rt△APC中，已知AP和PC的长度，再次使用勾股定理就能求出AC的长度，也可利用垂直平分线性质直接得AC=OA简化计算。
【解析】
解：
∵OC是⊙O的半径，且OC⊥AB，AB是⊙O的弦
∴根据垂径定理可得：$AP=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×12=6$
设⊙O的半径为$r$，则$OA=OC=r$
∵P为OC的中点
∴$OP=PC=\frac{1}{2}r$
在$Rt△ OPA$中，由勾股定理得：
$OA^2=OP^2+AP^2$
代入数值：$r^2=(\frac{1}{2}r)^2+6^2$
化简得：$r^2=\frac{1}{4}r^2+36$
整理得：$\frac{3}{4}r^2=36$，解得$r^2=48$，即$r=4\sqrt{3}$（半径为正，舍去负根）
在$Rt△ APC$中，$AP=6$，$PC=\frac{1}{2}r=2\sqrt{3}$
由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AP^2+PC^2}=\sqrt{6^2+(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{36+12}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$
【答案】
D
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题属于圆中线段计算的常见基础题，解题核心是通过垂径定理把已知弦长转化为直角三角形的边长，再设半径借助勾股定理建立方程求解，熟练掌握垂径定理和勾股定理的组合应用就能快速解决这类问题。
【难度系数】
0.7
5.如图，AB是$\odot O$的弦，点P在弦AB上，$PA=4$，$PB=2$，$OP=\sqrt{17}$，则$\odot O$的半径为（
A.5
B.$3\sqrt{2}$
C.4
D.$\sqrt{17}$
A
）A.5
B.$3\sqrt{2}$
C.4
D.$\sqrt{17}$
答案
5.A
解析
【分析】
求解圆的半径相关问题时，遇到弦通常优先考虑作弦心距，利用垂径定理构造直角三角形解题。首先过圆心O作AB的垂线，得到AB的中点，求出半弦长，再计算出OP在AB方向上的线段长度，先后在两个直角三角形中用勾股定理即可求出半径长度。
【解析】
解：过点O作$OC⊥ AB$于点C，连接OA。
根据垂径定理可得：$AC=BC=\frac{1}{2}AB$
$\because PA=4，PB=2$
$\therefore AB=PA+PB=6$，则$AC=BC=3$
$\therefore PC=PA-AC=4-3=1$
在$Rt△ OPC$中，由勾股定理得：
$OC^2+PC^2=OP^2$
代入$OP=\sqrt{17}，PC=1$，得：
$OC^2+1^2=(\sqrt{17})^2$，解得$OC^2=16$
在$Rt△ OAC$中，由勾股定理得：
$OA^2=OC^2+AC^2=16+3^2=25$
$\because OA$是圆的半径，为正数，$\therefore OA=5$
即$\odot O$的半径为5，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的弦长计算
【点评】
本题是圆中基础计算类的常考题，解题核心是通过作弦心距构造直角三角形，将已知条件转化到直角三角形中，结合垂径定理和勾股定理求解，解题思路具有普遍性，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
求解圆的半径相关问题时，遇到弦通常优先考虑作弦心距，利用垂径定理构造直角三角形解题。首先过圆心O作AB的垂线，得到AB的中点，求出半弦长，再计算出OP在AB方向上的线段长度，先后在两个直角三角形中用勾股定理即可求出半径长度。
【解析】
解：过点O作$OC⊥ AB$于点C，连接OA。
根据垂径定理可得：$AC=BC=\frac{1}{2}AB$
$\because PA=4，PB=2$
$\therefore AB=PA+PB=6$，则$AC=BC=3$
$\therefore PC=PA-AC=4-3=1$
在$Rt△ OPC$中，由勾股定理得：
$OC^2+PC^2=OP^2$
代入$OP=\sqrt{17}，PC=1$，得：
$OC^2+1^2=(\sqrt{17})^2$，解得$OC^2=16$
在$Rt△ OAC$中，由勾股定理得：
$OA^2=OC^2+AC^2=16+3^2=25$
$\because OA$是圆的半径，为正数，$\therefore OA=5$
即$\odot O$的半径为5，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的弦长计算
【点评】
本题是圆中基础计算类的常考题，解题核心是通过作弦心距构造直角三角形，将已知条件转化到直角三角形中，结合垂径定理和勾股定理求解，解题思路具有普遍性，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
6.在直径为50的圆中，有两条弦AB和CD，AB//CD，且弦AB的长为40，弦CD的长为48，则AB与CD之间的距离为
8或22
。答案
6. 8或22
解析
【分析】
首先根据圆的直径求出半径，再考虑两条平行弦的位置存在两种情况：①两条弦在圆心的同侧；②两条弦在圆心的异侧。接下来过圆心作两条弦的垂线，利用垂径定理得到半弦长，再结合勾股定理分别求出两条弦的弦心距，最后根据两种位置关系对弦心距作差或求和，即可得到两条弦之间的距离。
【解析】
已知圆的直径为50，因此圆的半径$r=25$。
过圆心$O$作$OE⊥ AB$于点$E$，延长$OE$交$CD$于点$F$，
$\because AB// CD$，$\therefore OF⊥ CD$。
根据垂径定理：
$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×40=20$，$CF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×48=24$。
在$\mathrm{Rt}△ AOE$中，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{25^2-20^2}=\sqrt{225}=15$；
在$\mathrm{Rt}△ COF$中，由勾股定理得：
$OF=\sqrt{OC^2-CF^2}=\sqrt{25^2-24^2}=\sqrt{49}=7$。
分两种情况讨论：
1. 当$AB$、$CD$在圆心$O$的同侧时，$AB$与$CD$的距离为$OE-OF=15-7=8$；
2. 当$AB$、$CD$在圆心$O$的异侧时，$AB$与$CD$的距离为$OE+OF=15+7=22$。
综上，$AB$与$CD$之间的距离为8或22。
【答案】
8或22
【知识点】
垂径定理，勾股定理，分类讨论
【点评】
本题的易错点是遗漏平行弦在圆心异侧的情况，解题时要结合圆的对称性全面考虑弦的位置，避免漏解，同时要掌握垂径定理的应用，将弦长问题转化为直角三角形的边长计算问题。
【难度系数】
0.6
首先根据圆的直径求出半径，再考虑两条平行弦的位置存在两种情况：①两条弦在圆心的同侧；②两条弦在圆心的异侧。接下来过圆心作两条弦的垂线，利用垂径定理得到半弦长，再结合勾股定理分别求出两条弦的弦心距，最后根据两种位置关系对弦心距作差或求和，即可得到两条弦之间的距离。
【解析】
已知圆的直径为50，因此圆的半径$r=25$。
过圆心$O$作$OE⊥ AB$于点$E$，延长$OE$交$CD$于点$F$，
$\because AB// CD$，$\therefore OF⊥ CD$。
根据垂径定理：
$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×40=20$，$CF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×48=24$。
在$\mathrm{Rt}△ AOE$中，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{25^2-20^2}=\sqrt{225}=15$；
在$\mathrm{Rt}△ COF$中，由勾股定理得：
$OF=\sqrt{OC^2-CF^2}=\sqrt{25^2-24^2}=\sqrt{49}=7$。
分两种情况讨论：
1. 当$AB$、$CD$在圆心$O$的同侧时，$AB$与$CD$的距离为$OE-OF=15-7=8$；
2. 当$AB$、$CD$在圆心$O$的异侧时，$AB$与$CD$的距离为$OE+OF=15+7=22$。
综上，$AB$与$CD$之间的距离为8或22。
【答案】
8或22
【知识点】
垂径定理，勾股定理，分类讨论
【点评】
本题的易错点是遗漏平行弦在圆心异侧的情况，解题时要结合圆的对称性全面考虑弦的位置，避免漏解，同时要掌握垂径定理的应用，将弦长问题转化为直角三角形的边长计算问题。
【难度系数】
0.6
7. [2025·六安全安区月考]如图，AB是$\odot O$的弦，半径$OD⊥ AB$，垂足为点$H$，$BC⊥ AB$，交$AD$的延长线于点$C$.
(1)求证:点$D$是$AC$的中点;
(2)若$AB=6$，$AC=2\sqrt{13}$，求$\odot O$的半径.
(1)求证:点$D$是$AC$的中点;
(2)若$AB=6$，$AC=2\sqrt{13}$，求$\odot O$的半径.
答案
7.(1)证明略.
(2)连接OA.
$\because OD⊥AB$,垂足为点$H$,$AB=6$,$\therefore AH=\frac{1}{2}AB=3$.
$\because D$是$AC$的中点,$AC=2 \sqrt{13}$,$\therefore AD=\sqrt{13}$,
$\therefore DH=\sqrt{AD^2-AH^2}=2$.
设$OD=OA=r$,则$OH=r-2$,
在$\mathrm{Rt}△ OAH$中,$OH^2+AH^2=OA^2$,
$\therefore (r-2)^2+3^2=r^2$,解得$r=\frac{13}{4}$,
即$\odot O$的半径为$\frac{13}{4}$.
(2)连接OA.
$\because OD⊥AB$,垂足为点$H$,$AB=6$,$\therefore AH=\frac{1}{2}AB=3$.
$\because D$是$AC$的中点,$AC=2 \sqrt{13}$,$\therefore AD=\sqrt{13}$,
$\therefore DH=\sqrt{AD^2-AH^2}=2$.
设$OD=OA=r$,则$OH=r-2$,
在$\mathrm{Rt}△ OAH$中,$OH^2+AH^2=OA^2$,
$\therefore (r-2)^2+3^2=r^2$,解得$r=\frac{13}{4}$,
即$\odot O$的半径为$\frac{13}{4}$.
解析
【分析】
(1) 要证点D是AC中点，先证明垂直于AB的OD和BC互相平行，再结合垂径定理得到H是AB中点，可推出DH是△ABC的中位线，即可得到D为AC中点；
(2) 求圆的半径，可连接OA构造直角三角形，先利用垂径定理求出AH的长度，再结合D是AC中点求出AD的长，用勾股定理算出DH的长度，最后设半径为r，用含r的式子表示OH，在Rt△OAH中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ $OD⊥AB$，$BC⊥AB$
∴ $∠ AHD = ∠ ABC = 90°$
∴ $OD// BC$
又
∵ OD是$\odot O$的半径，$OD⊥AB$
∴ 根据垂径定理，H为AB的中点
∴ DH是$△ ABC$的中位线
∴ 点D是AC的中点
(2) 解：连接OA
∵ $OD⊥AB$，$AB=6$
∴ $AH=\frac{1}{2}AB=3$
∵ 点D是AC的中点，$AC=2\sqrt{13}$
∴ $AD=\frac{1}{2}AC=\sqrt{13}$
在$\mathrm{Rt}△ AHD$中，由勾股定理得：
$DH=\sqrt{AD^2-AH^2}=\sqrt{(\sqrt{13})^2-3^2}=\sqrt{13-9}=2$
设$\odot O$的半径为$r$，则$OA=OD=r$，$OH=OD-DH=r-2$
在$\mathrm{Rt}△ OAH$中，由勾股定理得：
$OH^2+AH^2=OA^2$
即 $(r-2)^2+3^2=r^2$
展开化简得：$-4r+13=0$
解得 $r=\frac{13}{4}$
【答案】
(1) 点D是AC的中点，证明成立；
(2) $\odot O$的半径为$\frac{13}{4}$
【知识点】
垂径定理、勾股定理、三角形中位线定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，第一问通过平行线结合垂径定理推导线段中点，第二问运用方程思想，结合垂径定理构造直角三角形求解半径，解题关键是熟练掌握垂径定理的应用，学会设未知数列方程求解线段长度。
【难度系数】
0.7
(1) 要证点D是AC中点，先证明垂直于AB的OD和BC互相平行，再结合垂径定理得到H是AB中点，可推出DH是△ABC的中位线，即可得到D为AC中点；
(2) 求圆的半径，可连接OA构造直角三角形，先利用垂径定理求出AH的长度，再结合D是AC中点求出AD的长，用勾股定理算出DH的长度，最后设半径为r，用含r的式子表示OH，在Rt△OAH中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ $OD⊥AB$，$BC⊥AB$
∴ $∠ AHD = ∠ ABC = 90°$
∴ $OD// BC$
又
∵ OD是$\odot O$的半径，$OD⊥AB$
∴ 根据垂径定理，H为AB的中点
∴ DH是$△ ABC$的中位线
∴ 点D是AC的中点
(2) 解：连接OA
∵ $OD⊥AB$，$AB=6$
∴ $AH=\frac{1}{2}AB=3$
∵ 点D是AC的中点，$AC=2\sqrt{13}$
∴ $AD=\frac{1}{2}AC=\sqrt{13}$
在$\mathrm{Rt}△ AHD$中，由勾股定理得：
$DH=\sqrt{AD^2-AH^2}=\sqrt{(\sqrt{13})^2-3^2}=\sqrt{13-9}=2$
设$\odot O$的半径为$r$，则$OA=OD=r$，$OH=OD-DH=r-2$
在$\mathrm{Rt}△ OAH$中，由勾股定理得：
$OH^2+AH^2=OA^2$
即 $(r-2)^2+3^2=r^2$
展开化简得：$-4r+13=0$
解得 $r=\frac{13}{4}$
【答案】
(1) 点D是AC的中点，证明成立；
(2) $\odot O$的半径为$\frac{13}{4}$
【知识点】
垂径定理、勾股定理、三角形中位线定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，第一问通过平行线结合垂径定理推导线段中点，第二问运用方程思想，结合垂径定理构造直角三角形求解半径，解题关键是熟练掌握垂径定理的应用，学会设未知数列方程求解线段长度。
【难度系数】
0.7
