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1.一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和为26.若设个位上的数字为x，则根据题意可列方程.
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答案
解：
设个位上的数字为x，则十位上的数字为$x+4$，
根据两个数字的平方和为26，可列方程：
$x^2 + (x+4)^2 = 26$
设个位上的数字为x，则十位上的数字为$x+4$，
根据两个数字的平方和为26，可列方程：
$x^2 + (x+4)^2 = 26$
2.若两个连续偶数的积为48，则这两个连续偶数为。
答案
解：设较小的连续偶数为x，则较大的连续偶数为x+2。
根据题意列方程，得
$x(x+2)=48$
整理得：
$x^2 + 2x - 48 = 0$
因式分解得：
$(x-6)(x+8)=0$
解得：$x_1=6$，$x_2=-8$
当$x=6$时，$x+2=8$；
当$x=-8$时，$x+2=-6$。
答：这两个连续偶数为6和8或-8和-6。
根据题意列方程，得
$x(x+2)=48$
整理得：
$x^2 + 2x - 48 = 0$
因式分解得：
$(x-6)(x+8)=0$
解得：$x_1=6$，$x_2=-8$
当$x=6$时，$x+2=8$；
当$x=-8$时，$x+2=-6$。
答：这两个连续偶数为6和8或-8和-6。
3.有一长20 m的篱笆，若用它围成一个面积为$24 m^2$的矩形，则矩形的长为 m.
答案
解：
设矩形的长为$ x \, \mathrm{m} $，
由篱笆总长为20m，可知矩形的周长为20m，因此矩形的宽为$ \frac{20}{2} - x = (10 - x) \, \mathrm{m} $。
根据矩形面积为$ 24 \, \mathrm{m}^2 $，列方程得：
$x(10 - x) = 24$
整理得：
$x^2 - 10x + 24 = 0$
因式分解得：
$(x - 6)(x - 4) = 0$
解得：$ x_1 = 6 $，$ x_2 = 4 $。
因为矩形的长大于宽，即$ x ＞ 10 - x $，得$ x ＞ 5 $，因此$ x=4 $不符合题意，舍去。
答：矩形的长为6 m。
设矩形的长为$ x \, \mathrm{m} $，
由篱笆总长为20m，可知矩形的周长为20m，因此矩形的宽为$ \frac{20}{2} - x = (10 - x) \, \mathrm{m} $。
根据矩形面积为$ 24 \, \mathrm{m}^2 $，列方程得：
$x(10 - x) = 24$
整理得：
$x^2 - 10x + 24 = 0$
因式分解得：
$(x - 6)(x - 4) = 0$
解得：$ x_1 = 6 $，$ x_2 = 4 $。
因为矩形的长大于宽，即$ x ＞ 10 - x $，得$ x ＞ 5 $，因此$ x=4 $不符合题意，舍去。
答：矩形的长为6 m。
4.把长20 m的篱笆分成两段，并把每段篱笆围成一个正方形.若要使这两个正方形的面积和等于13 m²，则较小的正方形的边长为 m.
答案
解：设其中一个正方形的边长为$ x \, \mathrm{m} $，则其周长为$ 4x \, \mathrm{m} $，另一段篱笆的长度为$ (20-4x) \, \mathrm{m} $，因此另一个正方形的边长为$ \frac{20-4x}{4}=(5-x) \, \mathrm{m} $。
根据两个正方形面积和等于$ 13 \, \mathrm{m}^2 $，列方程得：
$x^2 + (5-x)^2 = 13$
整理得：
$2x^2 -10x +12 = 0$
化简为：
$x^2 -5x +6 = 0$
因式分解得：
$(x-2)(x-3)=0$
解得：$ x_1=2 $，$ x_2=3 $。
两个正方形的边长分别为2 m和3 m，因此较小的正方形的边长为2 m。
答：较小的正方形的边长为$\boldsymbol{2}$ m。
根据两个正方形面积和等于$ 13 \, \mathrm{m}^2 $，列方程得：
$x^2 + (5-x)^2 = 13$
整理得：
$2x^2 -10x +12 = 0$
化简为：
$x^2 -5x +6 = 0$
因式分解得：
$(x-2)(x-3)=0$
解得：$ x_1=2 $，$ x_2=3 $。
两个正方形的边长分别为2 m和3 m，因此较小的正方形的边长为2 m。
答：较小的正方形的边长为$\boldsymbol{2}$ m。
5. 如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ B=90°, BC=6\ \mathrm{cm}, AC=10\ \mathrm{cm}$,动点 $P,Q$ 分别从点 $A,B$ 同时开始运动(运动方向如图所示),点 $P$ 的速度为 $1\ \mathrm{cm/s}$,点 $Q$ 的速度为 $2\ \mathrm{cm/s}$,点 $Q$ 运动到点 $C$ 后停止,点 $P$ 也随之停止运动.若使 $△ PBQ$ 的面积为 $7\ \mathrm{cm}^2$,则点 $P$ 运动的时间是 $\mathrm{s}$.
答案
解：
在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8\ \mathrm{cm}$
设点$P$运动的时间为$t\ \mathrm{s}$，
点$Q$从点$B$运动到点$C$的总时长为$6÷2=3\ \mathrm{s}$，因此$t$的取值范围是$0≤ t≤3$。
此时$AP=t\ \mathrm{cm}$，$BQ=2t\ \mathrm{cm}$，$PB=AB-AP=(8-t)\ \mathrm{cm}$。
由$△ PBQ$的面积为$7\ \mathrm{cm}^2$，得：
$\frac{1}{2}· PB· BQ=7$
代入得：
$\frac{1}{2}(8-t)· 2t=7$
整理得：
$t^2-8t+7=0$
解得：
$t_1=1,\quad t_2=7$
$\because 0≤ t≤3$，$\therefore t=7$不符合题意，舍去。
$\therefore t=1$。
答：点$P$运动的时间是$\boldsymbol{1}$ s。
在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8\ \mathrm{cm}$
设点$P$运动的时间为$t\ \mathrm{s}$，
点$Q$从点$B$运动到点$C$的总时长为$6÷2=3\ \mathrm{s}$，因此$t$的取值范围是$0≤ t≤3$。
此时$AP=t\ \mathrm{cm}$，$BQ=2t\ \mathrm{cm}$，$PB=AB-AP=(8-t)\ \mathrm{cm}$。
由$△ PBQ$的面积为$7\ \mathrm{cm}^2$，得：
$\frac{1}{2}· PB· BQ=7$
代入得：
$\frac{1}{2}(8-t)· 2t=7$
整理得：
$t^2-8t+7=0$
解得：
$t_1=1,\quad t_2=7$
$\because 0≤ t≤3$，$\therefore t=7$不符合题意，舍去。
$\therefore t=1$。
答：点$P$运动的时间是$\boldsymbol{1}$ s。
6. 提升题 某校计划利用一片空地建一个自行车车棚.车棚为矩形,其中一面靠墙,这堵墙的长度为12 m,另三面用现有的木板材料围成,总长为26 m,且计划建造车棚的面积为80 m².
(1)如图①,为了方便学生出行,学校决定在与墙平行的一面开一个2 m宽的门,那么这个车棚与墙垂直及与墙平行的面各有多长?
(2)如图②,为了方便学生取车,施工单位又决定在车棚内修建三条等宽的小路(小路垂直或平行于墙),使得停放自行车的面积为54 m²,那么小路的宽是多少?
(1)如图①,为了方便学生出行,学校决定在与墙平行的一面开一个2 m宽的门,那么这个车棚与墙垂直及与墙平行的面各有多长?
(2)如图②,为了方便学生取车,施工单位又决定在车棚内修建三条等宽的小路(小路垂直或平行于墙),使得停放自行车的面积为54 m²,那么小路的宽是多少?
答案
解：(1) 设这个车棚与墙垂直的边长为$ x \, \mathrm{m} $，则与墙平行的边长为$ 26 + 2 - 2x = (28 - 2x) \, \mathrm{m} $。
根据题意列方程：
$x(28 - 2x) = 80$
整理得：
$x^2 - 14x + 40 = 0$
解得：
$x_1 = 4,\quad x_2 = 10$
当$ x=4 $时，$ 28-2x=20＞12 $，超过墙的长度，不符合题意，舍去；
当$ x=10 $时，$ 28-2x=8＜12 $，符合题意。
(2) 设小路的宽为$ a \, \mathrm{m} $，根据题意列方程：
$(8 - 2a)(10 - a) = 54$
整理得：
$a^2 - 14a + 13 = 0$
解得：
$a_1 = 1,\quad a_2 = 13$
当$ a=13 $时，$ 13＞10 $，不符合实际情况，舍去。
答：(1) 这个车棚与墙垂直的边长为10 m，与墙平行的边长为8 m；(2) 小路的宽是1 m。
根据题意列方程：
$x(28 - 2x) = 80$
整理得：
$x^2 - 14x + 40 = 0$
解得：
$x_1 = 4,\quad x_2 = 10$
当$ x=4 $时，$ 28-2x=20＞12 $，超过墙的长度，不符合题意，舍去；
当$ x=10 $时，$ 28-2x=8＜12 $，符合题意。
(2) 设小路的宽为$ a \, \mathrm{m} $，根据题意列方程：
$(8 - 2a)(10 - a) = 54$
整理得：
$a^2 - 14a + 13 = 0$
解得：
$a_1 = 1,\quad a_2 = 13$
当$ a=13 $时，$ 13＞10 $，不符合实际情况，舍去。
答：(1) 这个车棚与墙垂直的边长为10 m，与墙平行的边长为8 m；(2) 小路的宽是1 m。
