1.俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半。”其大意是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘。假设每天“遗忘”的百分比为$ x $，根据“两天不练丢一半”，可列方程为。

解：设学习后初始掌握的知识和技艺总量为单位1，
一天后剩余的未遗忘内容量为$1×(1-x)$，
两天后剩余的未遗忘内容量为$(1-x)·(1-x)=(1-x)^2$，
根据“两天不练丢一半”，即两天后剩余内容为初始总量的$\frac{1}{2}$，
可列方程为：$\boldsymbol{(1-x)^2=\frac{1}{2}}$。

2.为了推广江西马拉松赛事，某志愿者用网络转发的形式对推广活动进行宣传.他将活动方案发表在自己的公众号上，再邀请n个好友转发，每个好友转发后，又邀请互不相同的n个好友转发.以此类推，经过两轮转发推广后，共有421人参与了推广活动，则n的值为.

解：
根据题意，得
$1 + n + n^2 = 421$
整理得：
$n^2 + n - 420 = 0$
这里$a=1$，$b=1$，$c=-420$
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4×1×(-420) = 1681 = 41^2$
$n = \frac{-1 \pm 41}{2}$
解得$n_1=20$，$n_2=-21$
因为$n$表示邀请的好友数量，为正整数，故舍去$n=-21$。
答：$n$的值为$\boldsymbol{20}$。

3.在国家的积极研发和生产调配下，某种型号的医疗器械连续两年降价，第一年下降20%，第二年下降80%。该医疗器械这两年的平均降价率是。

解：设该医疗器械的原价为a元，这两年的平均降价率为x，根据题意得：
$a(1-x)^2 = a(1-20\%)(1-80\%)$
∵$a≠0$，方程两边同时除以a，得：
$(1-x)^2 = 0.8×0.2$
$(1-x)^2 = 0.16$
解得：$x_1=0.6=60\%$，$x_2=1.4$（不符合降价率的实际意义，舍去）
答：该医疗器械这两年的平均降价率是60%。

4. 提升题▶甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病毒.在“甲流”初期,若一人患上甲型流感,经过两轮传染后,共有81人患上甲型流感.
(1)在每轮传染中平均一个人传染了多少人?
(2)若2人患上甲型流感,如果按照(1)这样的传染速度,经过三轮后共有多少人患上甲型流感?

解：
(1) 设在每轮传染中平均一个人传染了$x$人。
根据题意列方程：
$1 + x + x(1 + x) = 81$
整理得：
$(1+x)^2 = 81$
解得：
$x_1 = 8,\quad x_2 = -10$
因为传染人数不能为负数，$x=-10$不符合实际意义，舍去。
(2) 按照(1)的传染速度，初始有2人患病，经过三轮后患病总人数为：
$2×(1+8)^3 = 2×729 = 1458$
答：(1)在每轮传染中平均一个人传染了8人；(2)经过三轮后共有1458人患上甲型流感。

5. 提升题▶随着旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人.
(1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率.
(2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率.已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.25万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？

解：(1)设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为$ x $。
根据题意，得
$1.6(1+x)^2 = 2.5$
解得：
$(1+x)^2 = \frac{25}{16}$
$1+x = \pm\frac{5}{4}$
$x_1 = 0.25 = 25\%$，$x_2 = -2.25$（增长率为负不符合实际，舍去）。
(2)设5月份后10天日均接待游客人数为$ y $万人。
根据题意，5月份游客总人数不超过$ 2.5×(1+25\%) $万人，得
$2.25 + 10y ≤ 2.5×(1+25\%)$
化简得：
$2.25 + 10y ≤ 3.125$
解得：
$y ≤ 0.0875$
答：(1)这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%；(2)5月份后10天日均接待游客人数最多是0.0875万人。