1.若一条直线上有$ n $个点，共形成了45条线段，则可列方程为。

解：直线上的$n$个点中，任意两个不同的点可确定一条线段，若不考虑重复计数，共可连出$n(n-1)$条线段，而每条线段都被重复计算了1次，因此实际总线段数为$\frac{n(n-1)}{2}$。
已知总线段数为45，可列方程：
$\frac{1}{2}n(n-1)=45$

2. 2025年江西省城市足球超级联赛(简称“赣超”)初赛分南北区进行，采用双循环赛制.若南区赛事共进行了30场，则南区共有支队伍参加比赛.

解：设南区共有x支队伍参加比赛。
根据双循环赛制的场次规则，总比赛场数可列方程：
$x(x-1)=30$
整理得：
$x^2 - x - 30 = 0$
因式分解得：
$(x-6)(x+5)=0$
解得：
$x_1=6,\quad x_2=-5$
因为队伍数量为正整数，$x=-5$不符合实际意义，舍去。
答：南区共有6支队伍参加比赛。

3.某次同学聚会上，每人都向其他人赠送了一份礼品，同学小丁因事未能到场，无法送给同学礼品，但所有同学都给小丁送出了礼品，最后共送出121份礼品，则到现场参加聚会的同学有名.

解：设到现场参加聚会的同学有x名。
根据题意，到场的每名同学向其余(x-1)名到场同学各赠送1份礼品，同时向小丁赠送1份礼品，总礼品数可列方程：
$x(x-1) + x = 121$
整理得：
$x^2 = 121$
解得：$x_1=11$，$x_2=-11$，
因为人数不能为负数，所以舍去$x_2=-11$。
答：到现场参加聚会的同学有11名。

4. 提升题 春节期间，九(1)班全体同学通过打电话的方式互相拜年.该班共有48名同学，如果每两名同学之间仅通过一次电话，那么全班同学共通过多少次电话？我们可以用下面的模型来解决问题.
用点$A_1,A_2,A_3,\dots,A_{48}$分别表示第1名同学、第2名同学、第3名同学……第48名同学，把该班级人数$x$与通电话次数$y$之间的关系用图示模型表示：

(1)第4个图中$y$的值为，第5个图中$y$的值为.
(2)通过探索发现，通电话次数$y$与该班级人数$x$之间的关系式为.当$x=48$时，对应的$y=$.
(3)若九(1)班全体女生相互之间共通话190次，则该班共有多少名女生？

解：
(1) 第4个图对应x=5，$y=\frac{5×4}{2}=10$；第5个图对应x=6，$y=\frac{6×5}{2}=15$。
答案依次为：$\boldsymbol{10}$，$\boldsymbol{15}$。
(2) 通电话次数$y$与班级人数$x$的关系式为$\boldsymbol{y=\frac{x(x-1)}{2}}$；
当$x=48$时，$y=\frac{1}{2}×48×47=1128$。
答案依次为：$\boldsymbol{y=\frac{x(x-1)}{2}}$，$\boldsymbol{1128}$。
(3) 设该班共有$x$名女生，
根据题意列方程：
$\frac{x(x-1)}{2}=190$
整理得：
$x^2 - x - 380 = 0$
解得：$x_1=20$，$x_2=-19$。
因为人数不能为负数，所以$x=-19$不符合题意，舍去。
答：该班共有20名女生。