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1. 一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个根$x_1,x_2$和系数$a,b,c$的关系为。
答案
解：由一元二次方程的求根公式可知，当$\Delta=b^2-4ac≥0$时，
方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个根为
$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，
则$x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac} -b -\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=-\frac{b}{a}$，
$x_1x_2=\frac{(-b+\sqrt{b^2-4ac})(-b-\sqrt{b^2-4ac})}{(2a)^2}=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=\frac{c}{a}$，
即根与系数的关系为$\boldsymbol{x_1+x_2=-\frac{b}{a},\ x_1x_2=\frac{c}{a}}$。
方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个根为
$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，
则$x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac} -b -\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=-\frac{b}{a}$，
$x_1x_2=\frac{(-b+\sqrt{b^2-4ac})(-b-\sqrt{b^2-4ac})}{(2a)^2}=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=\frac{c}{a}$，
即根与系数的关系为$\boldsymbol{x_1+x_2=-\frac{b}{a},\ x_1x_2=\frac{c}{a}}$。
2.若方程$x^2 - 2x - a = 0$的一个根是$-1$，则$a=$，另一个根是。
答案
$a=\boldsymbol{3}$，另一个根是$\boldsymbol{3}$。
解析
解：
把$x=-1$代入方程$x^2 - 2x - a = 0$，得：
$(-1)^2 - 2×(-1) - a = 0$
$1 + 2 - a = 0$
解得$a=3$
将$a=3$代入原方程，得$x^2 - 2x - 3 = 0$
因式分解得：$(x-3)(x+1)=0$
解得$x_1=-1$，$x_2=3$
所以方程的另一个根是3。
最终
把$x=-1$代入方程$x^2 - 2x - a = 0$，得：
$(-1)^2 - 2×(-1) - a = 0$
$1 + 2 - a = 0$
解得$a=3$
将$a=3$代入原方程，得$x^2 - 2x - 3 = 0$
因式分解得：$(x-3)(x+1)=0$
解得$x_1=-1$，$x_2=3$
所以方程的另一个根是3。
最终
3.若关于x的一元二次方程$x^2 + (k+1)x + k - 1 = 0$的两个根互为倒数，则k=.
答案
解：设该方程的两个根为$x_1$，$x_2$。
∵ 方程的两个根互为倒数，
∴ $x_1 x_2 = 1$。
根据一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1 x_2 = k - 1$，
∴ $k - 1 = 1$，
解得 $k = 2$。
检验：当$k=2$时，判别式$\Delta=(k+1)^2 - 4×1×(k-1)=3^2 - 4=5＞0$，此时方程有两个实数根，符合题意。
∴ $k=2$。
∵ 方程的两个根互为倒数，
∴ $x_1 x_2 = 1$。
根据一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1 x_2 = k - 1$，
∴ $k - 1 = 1$，
解得 $k = 2$。
检验：当$k=2$时，判别式$\Delta=(k+1)^2 - 4×1×(k-1)=3^2 - 4=5＞0$，此时方程有两个实数根，符合题意。
∴ $k=2$。
4.已知$m,n$是方程$x^2 + 2026x + 7 = 0$的两个根，则$m^2 + 2027m + n + 2026=$.
答案
$\boldsymbol{-7}$
解析
解：
∵ $m$是方程$x^2 + 2026x + 7 = 0$的根，
∴ $m^2 + 2026m + 7 = 0$，
即 $m^2 + 2026m = -7$。
∵ $m,n$是方程$x^2 + 2026x + 7 = 0$的两个根，
由一元二次方程根与系数的关系得：$m + n = -2026$。
∴ $m^2 + 2027m + n + 2026$
$= (m^2 + 2026m) + m + n + 2026$
$= -7 + (m + n) + 2026$
$= -7 - 2026 + 2026$
$= -7$。
最终
∵ $m$是方程$x^2 + 2026x + 7 = 0$的根，
∴ $m^2 + 2026m + 7 = 0$，
即 $m^2 + 2026m = -7$。
∵ $m,n$是方程$x^2 + 2026x + 7 = 0$的两个根，
由一元二次方程根与系数的关系得：$m + n = -2026$。
∴ $m^2 + 2027m + n + 2026$
$= (m^2 + 2026m) + m + n + 2026$
$= -7 + (m + n) + 2026$
$= -7 - 2026 + 2026$
$= -7$。
最终
5.已知$x_1,x_2$是方程$2x^2 -6x +1=0$的两个实数根,求下列各式的值.
(1)$x_1^2 + x_2^2$;(2)$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$.
(1)$x_1^2 + x_2^2$;(2)$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$.
答案
解：
由一元二次方程根与系数的关系，得
$x_1 + x_2 = \frac{6}{2} = 3$，$x_1x_2 = \frac{1}{2}$。
(1) $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$
将$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=\frac{1}{2}$代入，得：
原式$=3^2 - 2×\frac{1}{2} = 9 - 1 = 8$。
(2) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2}$
将$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=\frac{1}{2}$代入，得：
原式$=\frac{3}{\frac{1}{2}} = 6$。
由一元二次方程根与系数的关系，得
$x_1 + x_2 = \frac{6}{2} = 3$，$x_1x_2 = \frac{1}{2}$。
(1) $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$
将$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=\frac{1}{2}$代入，得：
原式$=3^2 - 2×\frac{1}{2} = 9 - 1 = 8$。
(2) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2}$
将$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=\frac{1}{2}$代入，得：
原式$=\frac{3}{\frac{1}{2}} = 6$。
6. 提升题▶已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - 2x - 3m^2 = 0 $。
(1)求证:方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为 $ α, β $，且 $ α + 2β = 5 $，求 $ m $ 的值。
(1)求证:方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为 $ α, β $，且 $ α + 2β = 5 $，求 $ m $ 的值。
答案
(1) 证明：
在一元二次方程$x^2 - 2x - 3m^2 = 0$中，
$a=1$，$b=-2$，$c=-3m^2$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×1×(-3m^2) = 4 + 12m^2$。
$\because m^2 ≥ 0$，
$\therefore 4 + 12m^2 ＞ 0$，即$\Delta ＞ 0$，
$\therefore$方程总有两个不相等的实数根。
(2) 解：
由一元二次方程根与系数的关系，得$α + β = 2$。
又$\because α + 2β = 5$，
两式相减得：$(α + 2β) - (α + β) = 5 - 2$，
解得$β = 3$。
把$β=3$代入原方程$x^2 - 2x - 3m^2 = 0$，得：
$3^2 - 2×3 - 3m^2 = 0$，
整理得$3 - 3m^2 = 0$，即$m^2=1$，
解得$m_1=1$，$m_2=-1$。
综上，$m$的值为$\boldsymbol{\pm1}$。
在一元二次方程$x^2 - 2x - 3m^2 = 0$中，
$a=1$，$b=-2$，$c=-3m^2$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×1×(-3m^2) = 4 + 12m^2$。
$\because m^2 ≥ 0$，
$\therefore 4 + 12m^2 ＞ 0$，即$\Delta ＞ 0$，
$\therefore$方程总有两个不相等的实数根。
(2) 解：
由一元二次方程根与系数的关系，得$α + β = 2$。
又$\because α + 2β = 5$，
两式相减得：$(α + 2β) - (α + β) = 5 - 2$，
解得$β = 3$。
把$β=3$代入原方程$x^2 - 2x - 3m^2 = 0$，得：
$3^2 - 2×3 - 3m^2 = 0$，
整理得$3 - 3m^2 = 0$，即$m^2=1$，
解得$m_1=1$，$m_2=-1$。
综上，$m$的值为$\boldsymbol{\pm1}$。
7. 提升题 已知关于$x$的一元二次方程
$x^2-(2m-1)x+m^2-4=0$.
(1)当$m$为何值时，方程有两个不相等的实数根？
(2)是否存在实数$m$，使边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两个根的2倍？若存在，求$m$的值；若不存在，请说明理由.
$x^2-(2m-1)x+m^2-4=0$.
(1)当$m$为何值时，方程有两个不相等的实数根？
(2)是否存在实数$m$，使边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两个根的2倍？若存在，求$m$的值；若不存在，请说明理由.
答案
解：
(1) 计算方程的判别式：
$\Delta = [-(2m-1)]^2 - 4×1×(m^2-4)$
$=4m^2 -4m +1 -4m^2 +16$
$=-4m +17$
∵ 方程有两个不相等的实数根
∴ $\Delta ＞ 0$，即 $-4m +17 ＞ 0$
解得 $m ＜ \dfrac{17}{4}$
(2) 存在符合条件的实数$m$。
设方程的两个实数根为$x_1$、$x_2$，由根与系数的关系得：
$x_1 + x_2 = 2m - 1$，$x_1x_2 = m^2 - 4$
∵ 菱形的两条对角线长分别为$2x_1$、$2x_2$，菱形对角线互相垂直平分，且菱形边长为5
∴ $x_1^2 + x_2^2 = 5^2 = 25$
又∵ $x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$
代入得：$(2m-1)^2 - 2(m^2 - 4) = 25$
整理得：$m^2 - 2m - 8 = 0$
解得 $m_1=4$，$m_2=-2$
∵ 对角线长度为正，因此$x_1＞0$，$x_2＞0$，需满足：
$x_1+x_2=2m-1＞0$，$x_1x_2=m^2-4＞0$
当$m=4$时，$2m-1=7＞0$，$m^2-4=12＞0$，且$\Delta=-4×4+17=1＞0$，符合要求；
当$m=-2$时，$2m-1=-5＜0$，不符合两根均为正的要求，舍去。
综上，存在实数$m$，$m$的值为$4$。
(1) 计算方程的判别式：
$\Delta = [-(2m-1)]^2 - 4×1×(m^2-4)$
$=4m^2 -4m +1 -4m^2 +16$
$=-4m +17$
∵ 方程有两个不相等的实数根
∴ $\Delta ＞ 0$，即 $-4m +17 ＞ 0$
解得 $m ＜ \dfrac{17}{4}$
(2) 存在符合条件的实数$m$。
设方程的两个实数根为$x_1$、$x_2$，由根与系数的关系得：
$x_1 + x_2 = 2m - 1$，$x_1x_2 = m^2 - 4$
∵ 菱形的两条对角线长分别为$2x_1$、$2x_2$，菱形对角线互相垂直平分，且菱形边长为5
∴ $x_1^2 + x_2^2 = 5^2 = 25$
又∵ $x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$
代入得：$(2m-1)^2 - 2(m^2 - 4) = 25$
整理得：$m^2 - 2m - 8 = 0$
解得 $m_1=4$，$m_2=-2$
∵ 对角线长度为正，因此$x_1＞0$，$x_2＞0$，需满足：
$x_1+x_2=2m-1＞0$，$x_1x_2=m^2-4＞0$
当$m=4$时，$2m-1=7＞0$，$m^2-4=12＞0$，且$\Delta=-4×4+17=1＞0$，符合要求；
当$m=-2$时，$2m-1=-5＜0$，不符合两根均为正的要求，舍去。
综上，存在实数$m$，$m$的值为$4$。
