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1. 一元二次方程$x^2=3x$的根是。。
答案
解：
移项，得$x^2 - 3x = 0$，
因式分解，得$x(x - 3) = 0$，
则$x=0$或$x-3=0$，
解得$x_1=0$，$x_2=3$。
移项，得$x^2 - 3x = 0$，
因式分解，得$x(x - 3) = 0$，
则$x=0$或$x-3=0$，
解得$x_1=0$，$x_2=3$。
2.一元二次方程$(x-3)^2=0$的根是
答案
解：
对$(x-3)^2=0$两边直接开平方，得
$x-3=0$
解得$x_1=x_2=3$
对$(x-3)^2=0$两边直接开平方，得
$x-3=0$
解得$x_1=x_2=3$
3.若方程$(x-3)(2x+1)=0$，则$2x+1=$
答案
$\boldsymbol{0}$ 或 $\boldsymbol{7}$
解析
解：
∵ $(x-3)(2x+1)=0$，
∴ $x-3=0$ 或 $2x+1=0$。
当 $x-3=0$ 时，$x=3$，代入得 $2x+1=2×3+1=7$；
当 $2x+1=0$ 时，直接得 $2x+1=0$。
即 $2x+1=0$ 或 $7$。
最终
∵ $(x-3)(2x+1)=0$，
∴ $x-3=0$ 或 $2x+1=0$。
当 $x-3=0$ 时，$x=3$，代入得 $2x+1=2×3+1=7$；
当 $2x+1=0$ 时，直接得 $2x+1=0$。
即 $2x+1=0$ 或 $7$。
最终
4.已知方程$2x^2 + bx + c = 0$可分解因式为$2(x - 3)(x + 1) = 0$，则$b - c =$
答案
解：将$2(x-3)(x+1)=0$展开，
先计算$(x-3)(x+1)=x^2+x-3x-3=x^2-2x-3$，
因此$2(x-3)(x+1)=2(x^2-2x-3)=2x^2-4x-6$，
即原方程为$2x^2-4x-6=0$，
对比$2x^2+bx+c=0$，可得$b=-4$，$c=-6$，
则$b-c=-4-(-6)=2$。
先计算$(x-3)(x+1)=x^2+x-3x-3=x^2-2x-3$，
因此$2(x-3)(x+1)=2(x^2-2x-3)=2x^2-4x-6$，
即原方程为$2x^2-4x-6=0$，
对比$2x^2+bx+c=0$，可得$b=-4$，$c=-6$，
则$b-c=-4-(-6)=2$。
5.用因式分解法解方程：
(1)$4x^2 - 81 = 0$；
(2)$x(x - 2) = 2 - x$；
(3)$(1 - 2x)^2 = x^2$。
(1)$4x^2 - 81 = 0$；
(2)$x(x - 2) = 2 - x$；
(3)$(1 - 2x)^2 = x^2$。
答案
解：
(1) 因式分解，得
$(2x+9)(2x-9)=0$
则$2x+9=0$或$2x-9=0$
解得$x_1=-\frac{9}{2}$，$x_2=\frac{9}{2}$。
(2) 移项，得
$x(x-2)+(x-2)=0$
因式分解，得
$(x-2)(x+1)=0$
则$x-2=0$或$x+1=0$
解得$x_1=2$，$x_2=-1$。
(3) 移项，得
$(1-2x)^2 - x^2=0$
因式分解，得
$(1-2x+x)(1-2x-x)=0$
整理得
$(1-x)(1-3x)=0$
则$1-x=0$或$1-3x=0$
解得$x_1=1$，$x_2=\frac{1}{3}$。
(1) 因式分解，得
$(2x+9)(2x-9)=0$
则$2x+9=0$或$2x-9=0$
解得$x_1=-\frac{9}{2}$，$x_2=\frac{9}{2}$。
(2) 移项，得
$x(x-2)+(x-2)=0$
因式分解，得
$(x-2)(x+1)=0$
则$x-2=0$或$x+1=0$
解得$x_1=2$，$x_2=-1$。
(3) 移项，得
$(1-2x)^2 - x^2=0$
因式分解，得
$(1-2x+x)(1-2x-x)=0$
整理得
$(1-x)(1-3x)=0$
则$1-x=0$或$1-3x=0$
解得$x_1=1$，$x_2=\frac{1}{3}$。
6.选择适当的方法解下列方程：
(1)$2(x-3)^2 -8=0$；
(2)$x^2 -5x +6=1$；
(3)$(x+8)(x+1)=-12$。
(1)$2(x-3)^2 -8=0$；
(2)$x^2 -5x +6=1$；
(3)$(x+8)(x+1)=-12$。
答案
解：
(1) 移项，得$2(x-3)^2=8$，
两边同除以2，得$(x-3)^2=4$，
直接开平方，得$x-3=\pm2$，
即$x-3=2$或$x-3=-2$，
解得$x_1=5$，$x_2=1$。
(2) 整理原方程，得$x^2-5x+5=0$，
其中$a=1$，$b=-5$，$c=5$，
判别式$\Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4×1×5=5＞0$，
由求根公式得$x=\frac{5\pm\sqrt{5}}{2}$，
解得$x_1=\frac{5+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{5-\sqrt{5}}{2}$。
(3) 展开左边并整理，得$x^2+9x+20=0$，
因式分解，得$(x+4)(x+5)=0$，
即$x+4=0$或$x+5=0$，
解得$x_1=-4$，$x_2=-5$。
(1) 移项，得$2(x-3)^2=8$，
两边同除以2，得$(x-3)^2=4$，
直接开平方，得$x-3=\pm2$，
即$x-3=2$或$x-3=-2$，
解得$x_1=5$，$x_2=1$。
(2) 整理原方程，得$x^2-5x+5=0$，
其中$a=1$，$b=-5$，$c=5$，
判别式$\Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4×1×5=5＞0$，
由求根公式得$x=\frac{5\pm\sqrt{5}}{2}$，
解得$x_1=\frac{5+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{5-\sqrt{5}}{2}$。
(3) 展开左边并整理，得$x^2+9x+20=0$，
因式分解，得$(x+4)(x+5)=0$，
即$x+4=0$或$x+5=0$，
解得$x_1=-4$，$x_2=-5$。
7. 提升题▶由多项式乘法$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：$x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$。
示例：因式分解$x^2+5x+6=x^2+(2+3)x+2×3=(x+2)(x+3)$。
(1)【尝试】因式分解：$x^2+6x+8=(x+\_\_\_\_\_\_)(x+\_\_\_\_\_\_)$；
(2)【应用】请用上述方法解方程：$x^2-3x-4=0$；
(3)【拓展】请用上述方法解方程：$(2y-1)^2-8(2y-1)+12=0$。
示例：因式分解$x^2+5x+6=x^2+(2+3)x+2×3=(x+2)(x+3)$。
(1)【尝试】因式分解：$x^2+6x+8=(x+\_\_\_\_\_\_)(x+\_\_\_\_\_\_)$；
(2)【应用】请用上述方法解方程：$x^2-3x-4=0$；
(3)【拓展】请用上述方法解方程：$(2y-1)^2-8(2y-1)+12=0$。
答案
解：
(1) $x^2+6x+8=x^2+(2+4)x+2×4=(x+2)(x+4)$，故依次填$\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{4}$；
(2) 对$x^2-3x-4=0$左边因式分解：
$x^2+(-4+1)x+(-4)×1=0$
即$(x-4)(x+1)=0$
$\therefore x-4=0$或$x+1=0$
解得$x_1=4$，$x_2=-1$；
(3) 将$2y-1$看作整体，对$(2y-1)^2-8(2y-1)+12=0$左边因式分解：
$(2y-1)^2+(-2-6)(2y-1)+(-2)×(-6)=0$
即$[(2y-1)-2][(2y-1)-6]=0$
化简得$(2y-3)(2y-7)=0$
$\therefore 2y-3=0$或$2y-7=0$
解得$y_1=\frac{3}{2}$，$y_2=\frac{7}{2}$。
(1) $x^2+6x+8=x^2+(2+4)x+2×4=(x+2)(x+4)$，故依次填$\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{4}$；
(2) 对$x^2-3x-4=0$左边因式分解：
$x^2+(-4+1)x+(-4)×1=0$
即$(x-4)(x+1)=0$
$\therefore x-4=0$或$x+1=0$
解得$x_1=4$，$x_2=-1$；
(3) 将$2y-1$看作整体，对$(2y-1)^2-8(2y-1)+12=0$左边因式分解：
$(2y-1)^2+(-2-6)(2y-1)+(-2)×(-6)=0$
即$[(2y-1)-2][(2y-1)-6]=0$
化简得$(2y-3)(2y-7)=0$
$\therefore 2y-3=0$或$2y-7=0$
解得$y_1=\frac{3}{2}$，$y_2=\frac{7}{2}$。
