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6.【数学应用】某大学生利用暑假社会实践参与了一家网店的经营,该网店以每个20元的价格购进900个某新型商品,第一周以每个35元的价格售出300个,第二周若按每个35元的价格销售,仍可售出300个,但商店为了适当增加销量,决定降价销售。根据市场调查,售价每降低1元,每周可多售出50个。
(1)若第二周降价2元售出,则第二周获利
(2)若第二周降价销售一周后,商店对剩余商品清仓处理,以每个15元的价格全部售出,如果这批商品计划获利9 150元,第二周每个商品应降价多少元?
(1)若第二周降价2元售出,则第二周获利
5 200
元;(2)若第二周降价销售一周后,商店对剩余商品清仓处理,以每个15元的价格全部售出,如果这批商品计划获利9 150元,第二周每个商品应降价多少元?
答案
6.(1)5 200
(2)解:第一周获利:$300×(35-20)=4 500$(元)。
设第二周每个商品降价x元。
根据题意得$(35-x-20)(300+50x)+4 500+(15-20)×[900-300-(300+50x)]=9 150$,
解得$x_1=3,x_2=11$。
当$x=11$时,$900-300-(300+50x)=-250＜0$,不合题意,舍去;
当$x=3$时,$900-300-(300+50x)=150＞0$,符合题意。
故第二周每个商品应降价3元。
(2)解:第一周获利:$300×(35-20)=4 500$(元)。
设第二周每个商品降价x元。
根据题意得$(35-x-20)(300+50x)+4 500+(15-20)×[900-300-(300+50x)]=9 150$,
解得$x_1=3,x_2=11$。
当$x=11$时,$900-300-(300+50x)=-250＜0$,不合题意,舍去;
当$x=3$时,$900-300-(300+50x)=150＞0$,符合题意。
故第二周每个商品应降价3元。
解析
【分析】
（1）求解第二周获利，需先计算第二周的售价、销量：售价=原售价-降价金额，销量=原销量+降价增加的销量，再根据“总利润=单个利润×销量”计算即可，单个利润=售价-成本价。
（2）这批商品总获利由三部分组成：第一周获利、第二周获利、清仓处理获利。首先计算第一周固定获利；再设第二周每个商品降价x元，分别表示出第二周的单个利润、销量，以及清仓的商品数量、单个利润；根据总获利为9150元列一元二次方程，解方程后要检验根是否符合实际销售的数量要求（销量不能为负），舍去不合题意的根即可得到结果。
【解析】
（1）第二周售价：$35-2=33$（元）
第二周销量：$300+2×50=400$（个）
单个商品利润：$33-20=13$（元）
第二周总获利：$13×400=5200$（元）
（2）首先计算第一周获利：
单个商品利润为$35-20=15$元，销量300个，总获利$300×15=4500$（元）
设第二周每个商品应降价$x$元。
第二周单个利润为$(35-x-20)$元，销量为$(300+50x)$个；
清仓商品数量为$900-300-(300+50x)=300-50x$个，清仓单个利润为$15-20=-5$元。
根据总获利为9150元列方程：
$(35-x-20)(300+50x)+4500+(-5)×(300-50x)=9150$
整理求解：
$x^2-14x+33=0$
因式分解得$(x-3)(x-11)=0$
解得$x_1=3$，$x_2=11$
检验：
当$x=11$时，清仓数量$300-50×11=-250＜0$，销量不能为负，不合题意，舍去；
当$x=3$时，清仓数量$300-50×3=150＞0$，符合题意。
【答案】
(1) $\boxed{5200}$
(2) 第二周每个商品应降价$\boxed{3}$元
【知识点】
销售利润计算、一元二次方程的实际应用、实际问题根的检验
【点评】
本题是典型的销售类利润应用题，核心是理清不同销售阶段的售价、销量、单位利润的对应关系，构建总利润的等量关系列方程。需要注意的是，求解一元二次方程后必须结合实际场景验证根的合理性，排除不符合实际情况的解。
【难度系数】
0.6
（1）求解第二周获利，需先计算第二周的售价、销量：售价=原售价-降价金额，销量=原销量+降价增加的销量，再根据“总利润=单个利润×销量”计算即可，单个利润=售价-成本价。
（2）这批商品总获利由三部分组成：第一周获利、第二周获利、清仓处理获利。首先计算第一周固定获利；再设第二周每个商品降价x元，分别表示出第二周的单个利润、销量，以及清仓的商品数量、单个利润；根据总获利为9150元列一元二次方程，解方程后要检验根是否符合实际销售的数量要求（销量不能为负），舍去不合题意的根即可得到结果。
【解析】
（1）第二周售价：$35-2=33$（元）
第二周销量：$300+2×50=400$（个）
单个商品利润：$33-20=13$（元）
第二周总获利：$13×400=5200$（元）
（2）首先计算第一周获利：
单个商品利润为$35-20=15$元，销量300个，总获利$300×15=4500$（元）
设第二周每个商品应降价$x$元。
第二周单个利润为$(35-x-20)$元，销量为$(300+50x)$个；
清仓商品数量为$900-300-(300+50x)=300-50x$个，清仓单个利润为$15-20=-5$元。
根据总获利为9150元列方程：
$(35-x-20)(300+50x)+4500+(-5)×(300-50x)=9150$
整理求解：
$x^2-14x+33=0$
因式分解得$(x-3)(x-11)=0$
解得$x_1=3$，$x_2=11$
检验：
当$x=11$时，清仓数量$300-50×11=-250＜0$，销量不能为负，不合题意，舍去；
当$x=3$时，清仓数量$300-50×3=150＞0$，符合题意。
【答案】
(1) $\boxed{5200}$
(2) 第二周每个商品应降价$\boxed{3}$元
【知识点】
销售利润计算、一元二次方程的实际应用、实际问题根的检验
【点评】
本题是典型的销售类利润应用题，核心是理清不同销售阶段的售价、销量、单位利润的对应关系，构建总利润的等量关系列方程。需要注意的是，求解一元二次方程后必须结合实际场景验证根的合理性，排除不符合实际情况的解。
【难度系数】
0.6
7.【数学应用】直播购物逐渐走进了人们的生活。某电商对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件。通过市场调查发现，每件小商品的售价每降低5元，日销售量增加10件。
(1)若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件小商品的售价应定为多少元？
(2)李叔叔的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元。为提高市场竞争力，促进线下销售，他决定打折销售该商品，使其销售价格不超过(1)中的售价，则该商品至少需打几折？
(1)若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件小商品的售价应定为多少元？
(2)李叔叔的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元。为提高市场竞争力，促进线下销售，他决定打折销售该商品，使其销售价格不超过(1)中的售价，则该商品至少需打几折？
答案
7. 解:(1)设售价定为x元,则每件的利润为$(x-40)$元,日销售量为$20+\frac{10(60-x)}{5}=(140-2x)$(件)。
根据题意得$(x-40)(140-2x)=(60-40)×20$,
解得$x_1=50,x_2=60$(不合题意,舍去),
故售价应定为50元。
(2)设该商品需打a折销售。
根据题意得$62.5×\frac{a}{10}≤50$,解得$a≤8$,
故该商品至少需打八折。
根据题意得$(x-40)(140-2x)=(60-40)×20$,
解得$x_1=50,x_2=60$(不合题意,舍去),
故售价应定为50元。
(2)设该商品需打a折销售。
根据题意得$62.5×\frac{a}{10}≤50$,解得$a≤8$,
故该商品至少需打八折。
解析
【分析】
本题是销售类实际应用题，解题核心是掌握“总利润=单件利润×销售量”的等量关系与打折销售的计算规则。
(1) 先计算原销售方式的日总利润：售价60元、成本40元、日销量20件时，原日利润为$(60-40)×20=400$元。设售价定为$x$元，先表示单件利润为$(x-40)$元；再根据“每降价5元日销量增加10件”，算出售价从60元降到$x$元的降价幅度为$(60-x)$元，对应增加的销量为$\frac{10(60-x)}{5}$件，因此总日销量为$20+\frac{10(60-x)}{5}$件。结合日利润不变的条件列一元二次方程求解，再根据“尽快销售完商品”的要求，选择售价更低（对应销量更高）的解即可。
(2) 设打$a$折，打折后售价为“标价×$\frac{a}{10}$”，要求售价不超过(1)中所求售价，列一元一次不等式求解，得到的最大$a$值即为最低折扣（折扣数越高售价越高，最高可打8折即至少需打8折）。
【解析】
(1) 设每件小商品的售价应定为$x$元，则每件的利润为$(x-40)$元，
日销售量为$20+\frac{10(60-x)}{5}=(140-2x)$件。
根据日利润保持不变列方程：
$(x-40)(140-2x)=(60-40)×20$
整理得$x^2-110x+3000=0$，因式分解得$(x-50)(x-60)=0$，
解得$x_1=50$，$x_2=60$。
因商家要尽快售完商品，售价越低销量越高，故舍去$x=60$，即售价定为50元。
(2) 设该商品需打$a$折销售，根据售价不超过50元列不等式：
$62.5×\frac{a}{10}≤50$
解得$a≤8$，即该商品至少需打八折。
【答案】
(1) 每件小商品的售价应定为50元；
(2) 该商品至少需打八折。
【知识点】
一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用；销售打折问题
【点评】
本题结合直播购物、线下打折的生活场景命题，既考察学生从实际问题中提取等量、不等量关系的能力，也要求学生注意实际问题中解的取舍，贴合生活，实用性强。
【难度系数】
0.7
本题是销售类实际应用题，解题核心是掌握“总利润=单件利润×销售量”的等量关系与打折销售的计算规则。
(1) 先计算原销售方式的日总利润：售价60元、成本40元、日销量20件时，原日利润为$(60-40)×20=400$元。设售价定为$x$元，先表示单件利润为$(x-40)$元；再根据“每降价5元日销量增加10件”，算出售价从60元降到$x$元的降价幅度为$(60-x)$元，对应增加的销量为$\frac{10(60-x)}{5}$件，因此总日销量为$20+\frac{10(60-x)}{5}$件。结合日利润不变的条件列一元二次方程求解，再根据“尽快销售完商品”的要求，选择售价更低（对应销量更高）的解即可。
(2) 设打$a$折，打折后售价为“标价×$\frac{a}{10}$”，要求售价不超过(1)中所求售价，列一元一次不等式求解，得到的最大$a$值即为最低折扣（折扣数越高售价越高，最高可打8折即至少需打8折）。
【解析】
(1) 设每件小商品的售价应定为$x$元，则每件的利润为$(x-40)$元，
日销售量为$20+\frac{10(60-x)}{5}=(140-2x)$件。
根据日利润保持不变列方程：
$(x-40)(140-2x)=(60-40)×20$
整理得$x^2-110x+3000=0$，因式分解得$(x-50)(x-60)=0$，
解得$x_1=50$，$x_2=60$。
因商家要尽快售完商品，售价越低销量越高，故舍去$x=60$，即售价定为50元。
(2) 设该商品需打$a$折销售，根据售价不超过50元列不等式：
$62.5×\frac{a}{10}≤50$
解得$a≤8$，即该商品至少需打八折。
【答案】
(1) 每件小商品的售价应定为50元；
(2) 该商品至少需打八折。
【知识点】
一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用；销售打折问题
【点评】
本题结合直播购物、线下打折的生活场景命题，既考察学生从实际问题中提取等量、不等量关系的能力，也要求学生注意实际问题中解的取舍，贴合生活，实用性强。
【难度系数】
0.7
