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1. 为了促进学生对数学文化的了解，学校开展了讲好数学家故事的活动。学校收集了祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家的画像，依次制成除内容外其余完全相同的四张卡片。将这四张卡片洗匀，背面朝上放置。甲从中随机抽取一张，记下数学家名字，放回洗匀后，乙再从中随机抽取一张，记下数学家名字，则甲、乙恰好都抽到中国数学家的概率是（
A.$\frac{1}{16}$
B.$\frac{1}{8}$
C.$\frac{3}{16}$
D.$\frac{1}{4}$
D
）。A.$\frac{1}{16}$
B.$\frac{1}{8}$
C.$\frac{3}{16}$
D.$\frac{1}{4}$
答案
1.D
解析
【分析】
解决这道概率题可按以下思路思考：第一步先明确试验规则，本题是有放回的两次抽取，每次抽取都从4张完全相同的卡片中随机选取，所有抽取结果都是等可能的；第二步先区分中国数学家的数量，祖冲之、刘徽为中国数学家，共2位，剩余2位为外国数学家；第三步分别计算所有等可能的总结果数、甲和乙都抽到中国数学家的符合条件的结果数，最后代入概率公式即可求出结果，也可通过画树状图或列表的方式直观统计结果数，降低出错概率。
【解析】
解：首先统计得四位数学家中，中国数学家为祖冲之、刘徽，共2位，总卡片数为4张。
∵ 抽取为有放回抽取，
∴ 甲抽取有4种等可能结果，乙抽取同样有4种等可能结果，总等可能结果数为 $4 × 4 = 16$ 种。
甲抽到中国数学家有2种等可能结果，乙抽到中国数学家也有2种等可能结果，因此甲、乙恰好都抽到中国数学家的结果数为 $2 × 2 = 4$ 种。
根据概率公式可得：
$P(\mathrm{甲乙都抽到中国数学家}) = \frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
1. 列表或树状图求概率
2. 概率公式
【点评】
本题是概率基础类题目，解题核心是先明确中国数学家的数量，准确识别有放回抽取的试验特征，正确统计两类结果数即可求解，易错点为错数中国数学家的人数。
【难度系数】
0.7
解决这道概率题可按以下思路思考：第一步先明确试验规则，本题是有放回的两次抽取，每次抽取都从4张完全相同的卡片中随机选取，所有抽取结果都是等可能的；第二步先区分中国数学家的数量，祖冲之、刘徽为中国数学家，共2位，剩余2位为外国数学家；第三步分别计算所有等可能的总结果数、甲和乙都抽到中国数学家的符合条件的结果数，最后代入概率公式即可求出结果，也可通过画树状图或列表的方式直观统计结果数，降低出错概率。
【解析】
解：首先统计得四位数学家中，中国数学家为祖冲之、刘徽，共2位，总卡片数为4张。
∵ 抽取为有放回抽取，
∴ 甲抽取有4种等可能结果，乙抽取同样有4种等可能结果，总等可能结果数为 $4 × 4 = 16$ 种。
甲抽到中国数学家有2种等可能结果，乙抽到中国数学家也有2种等可能结果，因此甲、乙恰好都抽到中国数学家的结果数为 $2 × 2 = 4$ 种。
根据概率公式可得：
$P(\mathrm{甲乙都抽到中国数学家}) = \frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
1. 列表或树状图求概率
2. 概率公式
【点评】
本题是概率基础类题目，解题核心是先明确中国数学家的数量，准确识别有放回抽取的试验特征，正确统计两类结果数即可求解，易错点为错数中国数学家的人数。
【难度系数】
0.7
2. 两人玩抛两枚硬币的游戏，规定两枚都是正面则小明胜，否则小颖胜。这个游戏(
A.对双方公平
B.对小明有利
C.对小颖有利
D.无法判断
C
)。A.对双方公平
B.对小明有利
C.对小颖有利
D.无法判断
答案
2.C
解析
【分析】
要判断游戏对哪方有利，核心是对比小明和小颖的获胜概率：若两人概率相等则游戏公平，否则概率更大的一方更占优势。解题时首先要列举出抛两枚硬币出现的所有等可能结果，再分别统计两人获胜对应的结果数量，根据“概率=所求情况数÷总情况数”的公式计算各自获胜概率，最后比较概率大小即可得到结论。
【解析】
抛两枚均匀硬币，出现的所有等可能结果共有4种，分别为：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反）。
其中两枚都是正面的结果仅有1种，因此小明获胜的概率为：
$P(\mathrm{小明胜})=\frac{1}{4}$
剩余3种结果均为小颖获胜，因此小颖获胜的概率为：
$P(\mathrm{小颖胜})=\frac{3}{4}$
由于$\frac{3}{4}＞\frac{1}{4}$，小颖获胜的概率更高，因此游戏对小颖有利，故选C。
【答案】
C
【知识点】
列举法求概率，游戏公平性判断
【点评】
本题是概率应用类基础题，解题关键是不重不漏地列出所有等可能的试验结果，准确计算双方获胜概率后对比即可得出结论。
【难度系数】
0.8
要判断游戏对哪方有利，核心是对比小明和小颖的获胜概率：若两人概率相等则游戏公平，否则概率更大的一方更占优势。解题时首先要列举出抛两枚硬币出现的所有等可能结果，再分别统计两人获胜对应的结果数量，根据“概率=所求情况数÷总情况数”的公式计算各自获胜概率，最后比较概率大小即可得到结论。
【解析】
抛两枚均匀硬币，出现的所有等可能结果共有4种，分别为：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反）。
其中两枚都是正面的结果仅有1种，因此小明获胜的概率为：
$P(\mathrm{小明胜})=\frac{1}{4}$
剩余3种结果均为小颖获胜，因此小颖获胜的概率为：
$P(\mathrm{小颖胜})=\frac{3}{4}$
由于$\frac{3}{4}＞\frac{1}{4}$，小颖获胜的概率更高，因此游戏对小颖有利，故选C。
【答案】
C
【知识点】
列举法求概率，游戏公平性判断
【点评】
本题是概率应用类基础题，解题关键是不重不漏地列出所有等可能的试验结果，准确计算双方获胜概率后对比即可得出结论。
【难度系数】
0.8
3. 从1,2,3三个数字中随机取一个数字作为一个点的横坐标，再随机从这三个数字中取一个数字作为这个点的纵坐标，这个点在函数$y=x$的图象上的概率是（
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{1}{4}$
B
）。A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{1}{4}$
答案
3.B
解析
【分析】
要计算该点在函数$y=x$图象上的概率，需遵循概率计算的基本思路：首先确定所有等可能的结果总数，再找出满足“点在$y=x$图象上”的结果数，最后用满足条件的结果数除以总结果数即可得到概率。第一步，明确横坐标、纵坐标各有3种取法，可算出所有等可能的点的总数；第二步，回忆一次函数图象上点的坐标特征，$y=x$图象上的点横、纵坐标相等，据此找出符合条件的点的数量；第三步代入概率公式计算即可。
【解析】
首先列举所有可能得到的点：
横坐标取1时，纵坐标可取1、2、3，对应点为$(1,1)$、$(1,2)$、$(1,3)$；
横坐标取2时，纵坐标可取1、2、3，对应点为$(2,1)$、$(2,2)$、$(2,3)$；
横坐标取3时，纵坐标可取1、2、3，对应点为$(3,1)$、$(3,2)$、$(3,3)$。
总共有$3×3=9$种等可能的结果。
函数$y=x$图象上的点满足横坐标=纵坐标，符合条件的点有$(1,1)$、$(2,2)$、$(3,3)$，共3种结果。
根据概率公式：$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
列表法求概率；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是概率与一次函数的基础综合题，解题核心是准确枚举所有等可能的结果，掌握一次函数图象上点的坐标特点，正确运用概率公式计算即可，整体难度不高。
【难度系数】
0.7
要计算该点在函数$y=x$图象上的概率，需遵循概率计算的基本思路：首先确定所有等可能的结果总数，再找出满足“点在$y=x$图象上”的结果数，最后用满足条件的结果数除以总结果数即可得到概率。第一步，明确横坐标、纵坐标各有3种取法，可算出所有等可能的点的总数；第二步，回忆一次函数图象上点的坐标特征，$y=x$图象上的点横、纵坐标相等，据此找出符合条件的点的数量；第三步代入概率公式计算即可。
【解析】
首先列举所有可能得到的点：
横坐标取1时，纵坐标可取1、2、3，对应点为$(1,1)$、$(1,2)$、$(1,3)$；
横坐标取2时，纵坐标可取1、2、3，对应点为$(2,1)$、$(2,2)$、$(2,3)$；
横坐标取3时，纵坐标可取1、2、3，对应点为$(3,1)$、$(3,2)$、$(3,3)$。
总共有$3×3=9$种等可能的结果。
函数$y=x$图象上的点满足横坐标=纵坐标，符合条件的点有$(1,1)$、$(2,2)$、$(3,3)$，共3种结果。
根据概率公式：$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
列表法求概率；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是概率与一次函数的基础综合题，解题核心是准确枚举所有等可能的结果，掌握一次函数图象上点的坐标特点，正确运用概率公式计算即可，整体难度不高。
【难度系数】
0.7
4. 小明和小华玩一个游戏，规则是：同时抛掷两枚均匀的硬币，若两枚都正面朝上，则小明赢；若两枚都反面朝上，则小华赢；若一正一反，则为平局。对于这个游戏，下列说法正确的是（
A.因为两人赢的概率相等，所以公平
B.因为小明赢的概率大，所以不公平
C.因为小华赢的概率大，所以不公平
D.无法判断谁赢的概率大
A
）。A.因为两人赢的概率相等，所以公平
B.因为小明赢的概率大，所以不公平
C.因为小华赢的概率大，所以不公平
D.无法判断谁赢的概率大
答案
4.A
解析
【分析】
要判断游戏是否公平，核心是比较小明和小华赢的概率是否相等。解题时首先用列举法罗列出同时抛掷两枚硬币的所有等可能结果，再分别找出小明赢、小华赢对应的结果数，根据概率公式计算两人赢的概率，最后对比概率大小即可得出结论。
【解析】
同时抛掷两枚均匀的硬币，所有等可能的结果共有4种，分别为：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反）。
其中两枚都正面朝上的结果有1种，因此小明赢的概率：$P(\mathrm{小明赢})=\frac{1}{4}$；
两枚都反面朝上的结果有1种，因此小华赢的概率：$P(\mathrm{小华赢})=\frac{1}{4}$。
因为$P(\mathrm{小明赢})=P(\mathrm{小华赢})$，所以这个游戏是公平的，故选A。
【答案】
A
【知识点】
列举法求概率；游戏公平性判断
【点评】
本题属于概率基础题型，解题关键是不重不漏地列举出所有等可能事件，结合概率公式分别计算双方获胜概率，掌握游戏公平性的判断标准为双方获胜概率相等即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要判断游戏是否公平，核心是比较小明和小华赢的概率是否相等。解题时首先用列举法罗列出同时抛掷两枚硬币的所有等可能结果，再分别找出小明赢、小华赢对应的结果数，根据概率公式计算两人赢的概率，最后对比概率大小即可得出结论。
【解析】
同时抛掷两枚均匀的硬币，所有等可能的结果共有4种，分别为：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反）。
其中两枚都正面朝上的结果有1种，因此小明赢的概率：$P(\mathrm{小明赢})=\frac{1}{4}$；
两枚都反面朝上的结果有1种，因此小华赢的概率：$P(\mathrm{小华赢})=\frac{1}{4}$。
因为$P(\mathrm{小明赢})=P(\mathrm{小华赢})$，所以这个游戏是公平的，故选A。
【答案】
A
【知识点】
列举法求概率；游戏公平性判断
【点评】
本题属于概率基础题型，解题关键是不重不漏地列举出所有等可能事件，结合概率公式分别计算双方获胜概率，掌握游戏公平性的判断标准为双方获胜概率相等即可快速解题。
【难度系数】
0.9
5. 小丹有3张扑克牌，小林有2张扑克牌，扑克牌上的数字如图所示。两人用这些扑克牌做游戏，他们分别从自己的扑克牌中随机抽取一张，比较这两张扑克牌上数字的大小，数字大的一方获胜。请用画树状图或列表的方法，求小丹获胜的概率。
答案
5. 解:画树状图如下。
共有6种结果,且每种结果出现的可能性相同。
小丹获胜的结果有(6,3)(9,3)(9,8)3种，
所以小丹获胜的概率为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
解析
【分析】
这是两步试验的概率求解问题，解题思路如下：首先明确两人的牌面数字：小丹持有2、6、9三张牌，小林持有3、8两张牌；接下来用树状图或列表法列举出两人各随机抽取一张牌的所有等可能结果，总结果数为两人牌数的乘积，即3×2=6种；再逐一判断每种结果中小丹的牌面数字是否大于小林的，统计符合“小丹获胜”的结果数；最后根据等可能事件的概率公式，用符合条件的结果数除以总结果数即可得到所求概率。
【解析】
根据题意画树状图列举所有情况，可得所有等可能的结果为：(2,3)、(2,8)、(6,3)、(6,8)、(9,3)、(9,8)，共6种。
其中满足小丹牌面数字大于小林的情况有：6＞3、9＞3、9＞8，共3种。
根据概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能结果数}$，可得小丹获胜的概率为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
【答案】
解:画树状图如下。
共有6种结果,且每种结果出现的可能性相同。
小丹获胜的结果有(6,3)(9,3)(9,8)3种，
所以小丹获胜的概率为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
【知识点】
树状图法求概率，等可能事件概率计算
【点评】
本题是概率部分的典型基础题，核心要求是能通过树状图或列表法不重不漏地列举出所有等可能结果，再筛选符合要求的结果代入公式计算即可，侧重对基础方法的考查。
【难度系数】
0.7
这是两步试验的概率求解问题，解题思路如下：首先明确两人的牌面数字：小丹持有2、6、9三张牌，小林持有3、8两张牌；接下来用树状图或列表法列举出两人各随机抽取一张牌的所有等可能结果，总结果数为两人牌数的乘积，即3×2=6种；再逐一判断每种结果中小丹的牌面数字是否大于小林的，统计符合“小丹获胜”的结果数；最后根据等可能事件的概率公式，用符合条件的结果数除以总结果数即可得到所求概率。
【解析】
根据题意画树状图列举所有情况，可得所有等可能的结果为：(2,3)、(2,8)、(6,3)、(6,8)、(9,3)、(9,8)，共6种。
其中满足小丹牌面数字大于小林的情况有：6＞3、9＞3、9＞8，共3种。
根据概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能结果数}$，可得小丹获胜的概率为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
【答案】
解:画树状图如下。
共有6种结果,且每种结果出现的可能性相同。
小丹获胜的结果有(6,3)(9,3)(9,8)3种，
所以小丹获胜的概率为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
【知识点】
树状图法求概率，等可能事件概率计算
【点评】
本题是概率部分的典型基础题，核心要求是能通过树状图或列表法不重不漏地列举出所有等可能结果，再筛选符合要求的结果代入公式计算即可，侧重对基础方法的考查。
【难度系数】
0.7
1. 小明、小颖和小凡都想参加社区志愿服务，但本次志愿活动只需要1人，他们决定通过掷硬币的游戏确定参加志愿活动的人选。游戏规则是：连续掷两枚质地均匀的硬币，若两枚都正面朝上，则小明参加；若两枚都反面朝上，则小颖参加；若一枚正面朝上，一枚反面朝上，则小凡参加。下列判断正确的是（
A.游戏对小明有利
B.游戏对小颖有利
C.游戏对小凡有利
D.游戏对三人公平
C
）。A.游戏对小明有利
B.游戏对小颖有利
C.游戏对小凡有利
D.游戏对三人公平
答案
1.C
解析
【分析】
要判断游戏对谁有利，本质是比较三人对应事件的概率大小，概率越大越有利。解题时首先用列举法列出连续掷两枚硬币的所有等可能结果，再分别找出小明、小颖、小凡获胜对应的结果数，根据概率公式计算三人获胜的概率，最后比较概率大小即可得出结论。
【解析】
连续掷两枚质地均匀的硬币，所有等可能的结果共4种，分别为：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反）。
根据概率公式$P(A)=\frac{事件A包含的结果数}{所有等可能结果数}$计算：
1. 两枚都正面朝上的结果有1种，因此$P(小明参加)=\frac{1}{4}$；
2. 两枚都反面朝上的结果有1种，因此$P(小颖参加)=\frac{1}{4}$；
3. 一枚正面朝上一枚反面朝上的结果有2种，因此$P(小凡参加)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
比较概率可得$\frac{1}{2}＞\frac{1}{4}$，说明小凡获胜的概率更大，游戏对小凡有利。
【答案】
C
【知识点】
列举法求概率，游戏公平性判断，概率计算
【点评】
本题是概率部分的基础常考题，解题关键是不重不漏列出所有等可能的结果，注意“一正一反”包含“先正后反”和“先反后正”两种情况，避免漏算导致概率判断错误。
【难度系数】
0.7
要判断游戏对谁有利，本质是比较三人对应事件的概率大小，概率越大越有利。解题时首先用列举法列出连续掷两枚硬币的所有等可能结果，再分别找出小明、小颖、小凡获胜对应的结果数，根据概率公式计算三人获胜的概率，最后比较概率大小即可得出结论。
【解析】
连续掷两枚质地均匀的硬币，所有等可能的结果共4种，分别为：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反）。
根据概率公式$P(A)=\frac{事件A包含的结果数}{所有等可能结果数}$计算：
1. 两枚都正面朝上的结果有1种，因此$P(小明参加)=\frac{1}{4}$；
2. 两枚都反面朝上的结果有1种，因此$P(小颖参加)=\frac{1}{4}$；
3. 一枚正面朝上一枚反面朝上的结果有2种，因此$P(小凡参加)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
比较概率可得$\frac{1}{2}＞\frac{1}{4}$，说明小凡获胜的概率更大，游戏对小凡有利。
【答案】
C
【知识点】
列举法求概率，游戏公平性判断，概率计算
【点评】
本题是概率部分的基础常考题，解题关键是不重不漏列出所有等可能的结果，注意“一正一反”包含“先正后反”和“先反后正”两种情况，避免漏算导致概率判断错误。
【难度系数】
0.7
