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2. 现有甲、乙两个不透明的盒子，其中甲盒装有分别写着d,t,l的三张声母卡片，乙盒装有分别写着a,e,i的三张韵母卡片（卡片除汉语拼音字母外，其余完全相同）。若分别从甲、乙两盒中随机各抽取一张卡片，则两张卡片刚好拼成“德”字拼音的概率是（
A.$\frac{1}{9}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{2}{3}$
A
）。A.$\frac{1}{9}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
2.A
解析
【分析】
本题是两步随机事件的概率求解问题，解题思路如下：首先明确该试验是从两个盒子分别抽取卡片，属于独立的两步试验，所有结果出现的可能性相等；其次先确定试验的所有等可能结果总数，再找到能拼成“德”字拼音（即“de”）的符合条件的结果数，最后根据概率公式计算即可。
【解析】
解：分别从甲、乙两盒随机抽取1张卡片，所有等可能的结果如下：
甲盒抽d时，对应乙盒的结果为(d,a)、(d,e)、(d,i)；
甲盒抽t时，对应乙盒的结果为(t,a)、(t,e)、(t,i)；
甲盒抽l时，对应乙盒的结果为(l,a)、(l,e)、(l,i)；
总共有$3×3=9$种等可能的结果。
“德”的拼音为“de”，即需抽到甲盒的d和乙盒的e，仅1种符合条件的结果。
根据概率公式：$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}=\frac{1}{9}$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
列表法求概率，概率公式
【点评】
本题属于概率基础题，解题的关键是准确枚举所有等可能的结果，同时正确识别“德”字的拼音，避免因拼音记错导致判断符合条件的结果出错。
【难度系数】
0.8
本题是两步随机事件的概率求解问题，解题思路如下：首先明确该试验是从两个盒子分别抽取卡片，属于独立的两步试验，所有结果出现的可能性相等；其次先确定试验的所有等可能结果总数，再找到能拼成“德”字拼音（即“de”）的符合条件的结果数，最后根据概率公式计算即可。
【解析】
解：分别从甲、乙两盒随机抽取1张卡片，所有等可能的结果如下：
甲盒抽d时，对应乙盒的结果为(d,a)、(d,e)、(d,i)；
甲盒抽t时，对应乙盒的结果为(t,a)、(t,e)、(t,i)；
甲盒抽l时，对应乙盒的结果为(l,a)、(l,e)、(l,i)；
总共有$3×3=9$种等可能的结果。
“德”的拼音为“de”，即需抽到甲盒的d和乙盒的e，仅1种符合条件的结果。
根据概率公式：$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}=\frac{1}{9}$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
列表法求概率，概率公式
【点评】
本题属于概率基础题，解题的关键是准确枚举所有等可能的结果，同时正确识别“德”字的拼音，避免因拼音记错导致判断符合条件的结果出错。
【难度系数】
0.8
3.【数学应用】某商场开展购物抽奖促销活动，抽奖盒中装有分别标有10元、20元、30元的三个小球，先后摸出两个小球（每次只摸出一个球，第一次摸出后需放回），摸出的两球上金额之和为50元的概率是
$\frac{2}{9}$
。答案
3.$\frac{2}{9}$
解析
【分析】
本题属于有放回的等可能事件概率计算问题，解题思路如下：第一步，明确两次摸球为独立事件，每次摸球都有3种等可能结果，先计算所有等可能的总结果数；第二步，找出两次摸出的金额之和为50元的所有符合条件的结果；第三步，根据等可能事件的概率公式（概率=符合条件的结果数÷总结果数）计算即可。
【解析】
由于是有放回摸球，我们用列表法列举所有等可能的结果：
| 第一次摸球\第二次摸球 | 10元 | 20元 | 30元 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 10元 | 20元 | 30元 | 40元 |
| 20元 | 30元 | 40元 | 50元 |
| 30元 | 40元 | 50元 | 60元 |
由表可知，一共有9种等可能的结果，其中两次金额之和为50元的结果有2种，分别是（20元,30元）、（30元,20元）。
根据概率公式可得：
$P(\mathrm{两球金额和为50元})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}=\frac{2}{9}$
【答案】
$\frac{2}{9}$
【知识点】
1. 放回型概率计算
2. 列表法求概率
3. 概率公式
【点评】
本题是概率计算的基础题型，解题的核心是注意“摸出后放回”的前提条件，准确列举所有等可能结果，避免漏算或多算符合要求的结果。
【难度系数】
0.7
本题属于有放回的等可能事件概率计算问题，解题思路如下：第一步，明确两次摸球为独立事件，每次摸球都有3种等可能结果，先计算所有等可能的总结果数；第二步，找出两次摸出的金额之和为50元的所有符合条件的结果；第三步，根据等可能事件的概率公式（概率=符合条件的结果数÷总结果数）计算即可。
【解析】
由于是有放回摸球，我们用列表法列举所有等可能的结果：
| 第一次摸球\第二次摸球 | 10元 | 20元 | 30元 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 10元 | 20元 | 30元 | 40元 |
| 20元 | 30元 | 40元 | 50元 |
| 30元 | 40元 | 50元 | 60元 |
由表可知，一共有9种等可能的结果，其中两次金额之和为50元的结果有2种，分别是（20元,30元）、（30元,20元）。
根据概率公式可得：
$P(\mathrm{两球金额和为50元})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}=\frac{2}{9}$
【答案】
$\frac{2}{9}$
【知识点】
1. 放回型概率计算
2. 列表法求概率
3. 概率公式
【点评】
本题是概率计算的基础题型，解题的核心是注意“摸出后放回”的前提条件，准确列举所有等可能结果，避免漏算或多算符合要求的结果。
【难度系数】
0.7
4. 桌面上有3张背面相同的卡片，正面分别写有数字1,2,3，将卡片背面朝上洗匀。从中随机抽出一张卡片，记下数字后放回，再从中随机抽出一张卡片，若抽到的两张卡片上的数字之和为偶数，则小红胜，否则小亮胜。这个游戏是否公平？请说明理由。
答案
4. 解:这个游戏不公平。理由如下：
列表如下。
|第一张\第二张|1|2|3|
|----|----|----|----|
|1|(1,1)|(1,2)|(1,3)|
|2|(2,1)|(2,2)|(2,3)|
|3|(3,1)|(3,2)|(3,3)|
共有9种结果,且每种结果出现的可能性相同。
两张卡片上的数字之和为偶数的结果有5种。
所以两张卡片上的数字之和为偶数的概率为$\frac{5}{9}$,两张卡片上的数字之和为奇数的概率为$\frac{4}{9}$。
$\because \frac{5}{9}＞\frac{4}{9}$,$\therefore$这个游戏不公平。
列表如下。
|第一张\第二张|1|2|3|
|----|----|----|----|
|1|(1,1)|(1,2)|(1,3)|
|2|(2,1)|(2,2)|(2,3)|
|3|(3,1)|(3,2)|(3,3)|
共有9种结果,且每种结果出现的可能性相同。
两张卡片上的数字之和为偶数的结果有5种。
所以两张卡片上的数字之和为偶数的概率为$\frac{5}{9}$,两张卡片上的数字之和为奇数的概率为$\frac{4}{9}$。
$\because \frac{5}{9}＞\frac{4}{9}$,$\therefore$这个游戏不公平。
解析
【分析】
要判断游戏是否公平，核心是对比小红和小亮两人获胜的概率是否相等。本题是有放回的两次抽卡试验，所有结果出现的可能性相同，可采用列表法列举出所有等可能的结果，再分别统计数字和为偶数、奇数的结果数，代入概率公式计算两人的获胜概率，最后比较概率大小即可得出结论。
【解析】
这个游戏不公平，理由如下：
列表如下：
|第一张\第二张|1|2|3|
|----|----|----|----|
|1|(1,1)|(1,2)|(1,3)|
|2|(2,1)|(2,2)|(2,3)|
|3|(3,1)|(3,2)|(3,3)|
由表可知，共有9种结果，且每种结果出现的可能性相同。
其中两张卡片上的数字之和为偶数的结果有5种，因此：
$P(\mathrm{小红胜})=\frac{5}{9}$，$P(\mathrm{小亮胜})=1-\frac{5}{9}=\frac{4}{9}$
$\because \frac{5}{9}＞\frac{4}{9}$，两人获胜的概率不相等，$\therefore$这个游戏不公平。
【答案】
这个游戏不公平，理由见上述解析。
【知识点】
列表法求概率；游戏公平性判断；概率计算
【点评】
本题考查概率在实际问题中的应用，解题关键是不重不漏地列举出所有等可能事件，准确计算双方获胜的概率后进行比较，解题时要注意区分“放回抽取”和“不放回抽取”两种试验的差异，避免列举结果出错。
【难度系数】
0.8
要判断游戏是否公平，核心是对比小红和小亮两人获胜的概率是否相等。本题是有放回的两次抽卡试验，所有结果出现的可能性相同，可采用列表法列举出所有等可能的结果，再分别统计数字和为偶数、奇数的结果数，代入概率公式计算两人的获胜概率，最后比较概率大小即可得出结论。
【解析】
这个游戏不公平，理由如下：
列表如下：
|第一张\第二张|1|2|3|
|----|----|----|----|
|1|(1,1)|(1,2)|(1,3)|
|2|(2,1)|(2,2)|(2,3)|
|3|(3,1)|(3,2)|(3,3)|
由表可知，共有9种结果，且每种结果出现的可能性相同。
其中两张卡片上的数字之和为偶数的结果有5种，因此：
$P(\mathrm{小红胜})=\frac{5}{9}$，$P(\mathrm{小亮胜})=1-\frac{5}{9}=\frac{4}{9}$
$\because \frac{5}{9}＞\frac{4}{9}$，两人获胜的概率不相等，$\therefore$这个游戏不公平。
【答案】
这个游戏不公平，理由见上述解析。
【知识点】
列表法求概率；游戏公平性判断；概率计算
【点评】
本题考查概率在实际问题中的应用，解题关键是不重不漏地列举出所有等可能事件，准确计算双方获胜的概率后进行比较，解题时要注意区分“放回抽取”和“不放回抽取”两种试验的差异，避免列举结果出错。
【难度系数】
0.8
5.【跨学科】酸溶液和碱溶液混合会发生中和反应，现有4瓶溶液标签缺失，已知其分别为HCl（酸）、$\ce{H_{2}SO_{4}}$（酸）、NaOH（碱）、KOH（碱），若从中任取不同的两瓶混合，则会发生中和反应的概率为（
A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{1}{6}$
D.$\dfrac{2}{3}$
D
）。A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{1}{6}$
D.$\dfrac{2}{3}$
答案
5.D
解析
【分析】
解这道题可分三步思考：第一步，明确中和反应的发生条件：只有酸溶液和碱溶液混合才会发生中和反应，先对4瓶溶液分类，可知共有2种酸、2种碱；第二步，计算从4瓶中任取不同两瓶的所有等可能总结果数，因为取两瓶不考虑顺序，可通过列举法数出所有组合；第三步，数出其中“酸+碱”的组合数，最后根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的总结果数”计算即可。
【解析】
首先对4瓶溶液分类：酸溶液共2种：$\ce{HCl}$、$\ce{H_{2}SO_{4}}$；碱溶液共2种：$\ce{NaOH}$、$\ce{KOH}$。
从4瓶溶液中任取不同的两瓶，所有等可能的组合有：$(\ce{HCl},\ce{H_{2}SO_{4}})$、$(\ce{HCl},\ce{NaOH})$、$(\ce{HCl},\ce{KOH})$、$(\ce{H_{2}SO_{4}},\ce{NaOH})$、$(\ce{H_{2}SO_{4}},\ce{KOH})$、$(\ce{NaOH},\ce{KOH})$，共6种。
其中满足“酸和碱混合发生中和反应”的组合有：$(\ce{HCl},\ce{NaOH})$、$(\ce{HCl},\ce{KOH})$、$(\ce{H_{2}SO_{4}},\ce{NaOH})$、$(\ce{H_{2}SO_{4}},\ce{KOH})$，共4种。
根据概率计算公式得：$P=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$。
因此本题选D。
【答案】D
【知识点】
列举法求概率，中和反应判断
【点评】
本题为跨学科综合题，将化学学科的中和反应判断与数学的概率计算相结合，考查学生的知识融合应用能力，解题的关键是准确分类酸碱、正确列举所有等可能的组合。
【难度系数】
0.8
解这道题可分三步思考：第一步，明确中和反应的发生条件：只有酸溶液和碱溶液混合才会发生中和反应，先对4瓶溶液分类，可知共有2种酸、2种碱；第二步，计算从4瓶中任取不同两瓶的所有等可能总结果数，因为取两瓶不考虑顺序，可通过列举法数出所有组合；第三步，数出其中“酸+碱”的组合数，最后根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的总结果数”计算即可。
【解析】
首先对4瓶溶液分类：酸溶液共2种：$\ce{HCl}$、$\ce{H_{2}SO_{4}}$；碱溶液共2种：$\ce{NaOH}$、$\ce{KOH}$。
从4瓶溶液中任取不同的两瓶，所有等可能的组合有：$(\ce{HCl},\ce{H_{2}SO_{4}})$、$(\ce{HCl},\ce{NaOH})$、$(\ce{HCl},\ce{KOH})$、$(\ce{H_{2}SO_{4}},\ce{NaOH})$、$(\ce{H_{2}SO_{4}},\ce{KOH})$、$(\ce{NaOH},\ce{KOH})$，共6种。
其中满足“酸和碱混合发生中和反应”的组合有：$(\ce{HCl},\ce{NaOH})$、$(\ce{HCl},\ce{KOH})$、$(\ce{H_{2}SO_{4}},\ce{NaOH})$、$(\ce{H_{2}SO_{4}},\ce{KOH})$，共4种。
根据概率计算公式得：$P=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$。
因此本题选D。
【答案】D
【知识点】
列举法求概率，中和反应判断
【点评】
本题为跨学科综合题，将化学学科的中和反应判断与数学的概率计算相结合，考查学生的知识融合应用能力，解题的关键是准确分类酸碱、正确列举所有等可能的组合。
【难度系数】
0.8
6.【跨学科】人的眼皮有单眼皮与双眼皮，这是由对应的基因决定的。研究表明，决定眼皮单双的基因有两种，一种是显性基因（记为B），另一种是隐性基因（记为b）。一个人的基因总是成对出现（包含BB，bB，Bb，bb），在成对的基因中，一个来自父亲，另一个来自母亲，父母亲提供基因时均为随机的。只要出现了显性基因B，那么这个人就一定是双眼皮，即基因BB，bB，Bb均为双眼皮。现有一对夫妻，两人成对的基因都是Bb，若不考虑其他因素，则他们的孩子是单眼皮的概率是（
A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{2}$
B
）。A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{2}$
答案
6.B
解析
【分析】
解题时首先要明确：孩子的基因由父母各随机提供1个组合而成，仅当基因组合为bb时孩子是单眼皮。我们可以通过列表法或树状图法列举出孩子所有可能的基因组合，保证所有结果等可能且不重不漏，再用符合“单眼皮”条件的结果数除以总结果数即可求出概率。
【解析】
我们用列表法列举所有等可能的基因组合：
| | 父亲提供B | 父亲提供b |
|----------|----------|----------|
| 母亲提供B | BB | Bb |
| 母亲提供b | Bb | bb |
由上表可知，共有4种等可能的基因组合结果，其中只有基因组合为bb时孩子是单眼皮，符合条件的结果共1种。
根据概率公式：$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能结果数}$，可得孩子是单眼皮的概率为$\frac{1}{4}$。
【答案】
B
【知识点】
列表法求概率，等可能事件概率计算
【点评】
本题是跨学科融合题型，结合生物基因遗传知识考查概率的求解，解题核心是正确列举出所有等可能的基因组合，再结合单眼皮对应的基因类型计算即可，整体难度不高。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确：孩子的基因由父母各随机提供1个组合而成，仅当基因组合为bb时孩子是单眼皮。我们可以通过列表法或树状图法列举出孩子所有可能的基因组合，保证所有结果等可能且不重不漏，再用符合“单眼皮”条件的结果数除以总结果数即可求出概率。
【解析】
我们用列表法列举所有等可能的基因组合：
| | 父亲提供B | 父亲提供b |
|----------|----------|----------|
| 母亲提供B | BB | Bb |
| 母亲提供b | Bb | bb |
由上表可知，共有4种等可能的基因组合结果，其中只有基因组合为bb时孩子是单眼皮，符合条件的结果共1种。
根据概率公式：$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能结果数}$，可得孩子是单眼皮的概率为$\frac{1}{4}$。
【答案】
B
【知识点】
列表法求概率，等可能事件概率计算
【点评】
本题是跨学科融合题型，结合生物基因遗传知识考查概率的求解，解题核心是正确列举出所有等可能的基因组合，再结合单眼皮对应的基因类型计算即可，整体难度不高。
【难度系数】
0.7
7. 如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”。用1,2,3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为（
A.$\dfrac{5}{9}$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{1}{3}$
D.$\dfrac{2}{9}$
C
）。A.$\dfrac{5}{9}$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{1}{3}$
D.$\dfrac{2}{9}$
答案
7.C
解析
【分析】
要计算恰好是“平稳数”的概率，需先求出用1、2、3组成的无重复数字的三位数总个数，再根据“平稳数”的定义筛选出符合条件的数的个数，最后根据概率公式“概率=符合条件的情况数÷总情况数”计算结果即可。
【解析】
第一步：列举所有用1、2、3组成的无重复数字的三位数，共有6个，分别为：123，132，213，231，312，321。
第二步：根据“平稳数”的定义（任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1）逐一判断：
123：$\left|1-2\right|=1\le1$，$\left|2-3\right|=1\le1$，是平稳数；
132：$\left|1-3\right|=2＞1$，不是平稳数；
213：$\left|1-3\right|=2＞1$，不是平稳数；
231：$\left|3-1\right|=2＞1$，不是平稳数；
312：$\left|3-1\right|=2＞1$，不是平稳数；
321：$\left|3-2\right|=1\le1$，$\left|2-1\right|=1\le1$，是平稳数。
综上，符合条件的平稳数共2个。
第三步：计算概率：$P(\mathrm{恰好是平稳数})=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
概率计算，新定义理解，列举法
【点评】
本题结合新定义考查概率的求解，解题的关键是正确列举所有可能的三位数，再严格按照定义筛选符合要求的结果，计算时注意约分即可。
【难度系数】
0.7
要计算恰好是“平稳数”的概率，需先求出用1、2、3组成的无重复数字的三位数总个数，再根据“平稳数”的定义筛选出符合条件的数的个数，最后根据概率公式“概率=符合条件的情况数÷总情况数”计算结果即可。
【解析】
第一步：列举所有用1、2、3组成的无重复数字的三位数，共有6个，分别为：123，132，213，231，312，321。
第二步：根据“平稳数”的定义（任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1）逐一判断：
123：$\left|1-2\right|=1\le1$，$\left|2-3\right|=1\le1$，是平稳数；
132：$\left|1-3\right|=2＞1$，不是平稳数；
213：$\left|1-3\right|=2＞1$，不是平稳数；
231：$\left|3-1\right|=2＞1$，不是平稳数；
312：$\left|3-1\right|=2＞1$，不是平稳数；
321：$\left|3-2\right|=1\le1$，$\left|2-1\right|=1\le1$，是平稳数。
综上，符合条件的平稳数共2个。
第三步：计算概率：$P(\mathrm{恰好是平稳数})=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
概率计算，新定义理解，列举法
【点评】
本题结合新定义考查概率的求解，解题的关键是正确列举所有可能的三位数，再严格按照定义筛选符合要求的结果，计算时注意约分即可。
【难度系数】
0.7
