6. 山西省中考体育新增的球类项目有篮球、足球、排球(学生自选一项)，九年级的小明、小颖选择其中一种球类备考体育测试，求他们同时选中篮球的概率。

6. 解:将篮球、足球、排球分别记为A,B,C。
画树状图如下：

共有9种结果,且每种结果出现的可能性相同。
小明和小颖同时选中篮球的结果只有(A,A)1种,
所以他们同时选中篮球的概率为$\frac{1}{9}$。

【分析】
本题是两步事件的概率计算问题，解题思路如下：首先为了方便列举，先把篮球、足球、排球分别标记为A、B、C；其次由于小明、小颖的选择相互独立，每人都有3种选择，我们可以通过画树状图的方法，不重复、不遗漏地列出两人选择的所有等可能结果；接着统计出所有结果的总数，以及“两人同时选中篮球（即都选A）”的结果数；最后根据等可能事件的概率公式，用符合条件的结果数除以总结果数即可得到所求概率。
【解析】
解：将篮球、足球、排球分别记为A，B，C。
画树状图如下：

由树状图可得，共有9种等可能的结果。
其中小明和小颖同时选中篮球的结果仅有(A,A)1种，
因此他们同时选中篮球的概率为$\frac{1}{9}$。
【答案】
$\frac{1}{9}$
【知识点】
1. 树状图列举法
2. 等可能事件概率计算
【点评】
本题是概率的基础常考题，主要考查两步试验的概率求解，核心是掌握用树状图或列表法列举所有等可能结果的方法，解题时注意保证列举的结果不重不漏即可顺利解答。
【难度系数】
0.8

7. 遥控电动跑车竞速是青少年喜欢的活动，如图所示的是某赛道的部分通行路线示意图。某赛车从入口A驶入，行至每个岔路口选择前方两条线路的可能性相同，则该赛车从F口驶出的概率是（）。


A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{5}$
D.$\frac{1}{6}$

7. B

【分析】
本题是等可能事件的概率计算问题，解题思路如下：首先梳理赛车的行驶路径：赛车从A驶入后首先到达岔路口B，B处有向左到D、向右到C2种等可能的选择；若行驶到D，又有向左到H、向下到G2种等可能选择；若行驶到C，又有向右到F、向下到E2种等可能选择。我们可以通过枚举法（或树状图）列出所有等可能的驶出结果，再找到从F驶出的结果数，结合概率公式“概率=所求情况数÷总情况数”计算即可，也可以通过分步概率相乘的方法求解。
【解析】
解法一：枚举法
我们列出所有等可能的驶出结果：
1. B向左→D向左→H驶出
2. B向左→D向下→G驶出
3. B向右→C向右→F驶出
4. B向右→C向下→E驶出
总共有4种等可能的驶出结果，其中从F驶出的结果有1种，
根据概率公式可得：$P(\mathrm{从F驶出})=\frac{1}{4}$。
解法二：分步概率计算
要从F驶出，需要连续完成两次选择：
①在B点选择向右行驶到C，概率为$\frac{1}{2}$；
②在C点选择向右行驶到F，概率为$\frac{1}{2}$。
分步事件的总概率为各步概率的乘积，因此$P(\mathrm{从F驶出})=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$。
【答案】
B
【知识点】
等可能事件概率，枚举法求概率，分步概率计算
【点评】
本题是概率计算的基础题，解题的核心是梳理清楚所有岔路口的选择，避免错算总情况数，熟练掌握概率公式和分步概率的计算方法就能轻松解答。
【难度系数】
0.7

8. 2025年3月14日(国际数学日)发行的特种邮票名称为《数学之美》，共计4枚。数学兴趣小组的同学对发行的邮票很感兴趣，因此他们也尝试进行了邮票的设计。如图，小组分别以刘徽割圆术、莫比乌斯环带、埃舍尔的平面镶嵌、黄金分割螺旋线为素材，设计了四张卡片作为邮票的图案部分。卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上(卡片背面完全相同)。

(1)将这四张卡片背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，则抽取的这张卡片图案刚好是“刘徽割圆术”的概率是；
(2)小文从中随机抽取一张(不放回)，再从中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法求小文抽到的两张卡片上的图案恰好是“刘徽割圆术”和“黄金分割螺旋线”的概率。

8. (1)$\frac{1}{4}$
(2)解:将以刘徽割圆术、莫比乌斯环带、埃舍尔的平面镶嵌、黄金分割螺旋线为图案的卡片分别记为A,B,C,D。
列表如下：
| 第一张\第二张 | A | B | C | D |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | | (A,B) | (A,C) | (A,D) |
| B | (B,A) | | (B,C) | (B,D) |
| C | (C,A) | (C,B) | | (C,D) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,C) | |
共有12种结果,且每种结果出现的可能性相同。
恰好抽到卡片A和D的结果有(A,D)(D,A)2种,所以小文抽到的两张卡片上的图案恰好是“刘徽割圆术”和“黄金分割螺旋线”的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。

【分析】
(1) 本题为一步概率求解问题，首先明确总等可能结果数：共4张不同图案的卡片，随机抽取1张，共有4种等可能的结果；再确定符合“抽到刘徽割圆术”的结果数为1种，根据古典概型概率公式“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”即可求解。
(2) 本题为不放回的两步抽取概率问题，可通过列表法枚举所有等可能的抽取结果：先给4张卡片分别做标记，由于是不放回抽取，第一次抽到的卡片不会在第二次出现，列表统计所有可能的组合后，找出符合“抽到刘徽割圆术和黄金分割螺旋线”的结果数，代入概率公式计算即可。
【解析】
(1) 四张卡片背面朝上洗匀后随机抽取1张，共有4种等可能的结果，其中抽到“刘徽割圆术”图案的结果有1种，因此所求概率为$\frac{1}{4}$。
(2) 记刘徽割圆术、莫比乌斯环带、埃舍尔的平面镶嵌、黄金分割螺旋线对应的卡片分别为A、B、C、D，不放回抽取两张卡片，列表如下：
| 第一张\第二张 | A | B | C | D |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | | (A,B) | (A,C) | (A,D) |
| B | (B,A) | | (B,C) | (B,D) |
| C | (C,A) | (C,B) | | (C,D) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,C) | |
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是“刘徽割圆术”和“黄金分割螺旋线”的结果有(A,D)、(D,A)共2种，因此所求概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{4}$；(2)$\frac{1}{6}$
【知识点】
简单概率计算，列表法求概率，不放回抽样概率
【点评】
本题结合趣味数学文化素材考查概率计算，贴近生活趣味性强，既考查了基础的一步概率求解，也考查了两步不放回事件的概率计算，解题关键是准确枚举所有等可能结果，注意区分放回与不放回抽样的差异，能很好地巩固概率计算的基础方法。
【难度系数】
0.8