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1. 老师从甲、乙、丙三人中随机选两人值日，选中甲和乙的概率为（
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{8}$
D.$\frac{1}{3}$
D
）。A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{8}$
D.$\frac{1}{3}$
答案
1. D
解析
【分析】
这是一道古典概型的概率计算问题，解题思路可分为三步：第一步，先列举出从三人中随机选两人的所有等可能结果，注意选两人值日属于组合问题，不需要考虑两人的顺序；第二步，找出其中“选中甲和乙”的结果数量；第三步，根据概率公式“事件发生的概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算出最终概率即可。
【解析】
从甲、乙、丙三人中随机选2人值日，所有等可能的结果有：(甲,乙)、(甲,丙)、(乙,丙)，共3种。
其中满足“选中甲和乙”的结果只有1种。
根据概率公式可得：
$P(选中甲和乙)=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}=\frac{1}{3}$
综合推断，本题选D选项。
【答案】
D
【知识点】
列举法求概率、概率公式、简单组合计数
【点评】
本题属于概率模块的基础题型，解题的核心是准确且不重不漏地列举出所有等可能的结果，避免因误将组合当作排列计算总结果数而出现错误。
【难度系数】
0.8
这是一道古典概型的概率计算问题，解题思路可分为三步：第一步，先列举出从三人中随机选两人的所有等可能结果，注意选两人值日属于组合问题，不需要考虑两人的顺序；第二步，找出其中“选中甲和乙”的结果数量；第三步，根据概率公式“事件发生的概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算出最终概率即可。
【解析】
从甲、乙、丙三人中随机选2人值日，所有等可能的结果有：(甲,乙)、(甲,丙)、(乙,丙)，共3种。
其中满足“选中甲和乙”的结果只有1种。
根据概率公式可得：
$P(选中甲和乙)=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}=\frac{1}{3}$
综合推断，本题选D选项。
【答案】
D
【知识点】
列举法求概率、概率公式、简单组合计数
【点评】
本题属于概率模块的基础题型，解题的核心是准确且不重不漏地列举出所有等可能的结果，避免因误将组合当作排列计算总结果数而出现错误。
【难度系数】
0.8
2. 五台山不仅是世界文化景观遗产，还是国家地质公园和国家森林公园。某兴趣小组的同学提出了三个关于五台山的研究主题：“五台山历史及文化研究”“五台山传统文化和古建筑研究”“五台山地质结构和生态环境研究”。小新和小明分别从三个主题中随机选择一个，则两人选择的主题都是“五台山传统文化和古建筑研究”的概率是（
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{4}{9}$
D.$\frac{1}{9}$
D
）。A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{4}{9}$
D.$\frac{1}{9}$
答案
2. D
解析
【分析】
这是一道等可能事件的概率求解问题，解题思路可分为三步：第一步，明确两人选择主题是相互独立的随机事件，每人都有3种等可能的选择；第二步，用本节课学习的列表法或树状图法列举出两人选择的所有等可能结果，统计总结果数；第三步，找出符合“两人都选择五台山传统文化和古建筑研究”的结果数，代入概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$计算即可。
【解析】
我们将三个主题分别记为：A=五台山历史及文化研究，B=五台山传统文化和古建筑研究，C=五台山地质结构和生态环境研究。
用列表法列举两人选择的所有等可能组合如下：
| 小新选择\小明选择 | A | B | C |
| --- | --- | --- | --- |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,C) |
由表格可得，共有9种等可能的结果，其中两人都选择主题B的结果只有1种，因此所求概率为$\frac{1}{9}$。
【答案】
D
【知识点】
1. 列表法求概率 2. 等可能事件概率计算
【点评】
本题结合地方特色情境考查基础概率计算，难度较低，熟练掌握用列表或树状图列举所有等可能结果的方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
这是一道等可能事件的概率求解问题，解题思路可分为三步：第一步，明确两人选择主题是相互独立的随机事件，每人都有3种等可能的选择；第二步，用本节课学习的列表法或树状图法列举出两人选择的所有等可能结果，统计总结果数；第三步，找出符合“两人都选择五台山传统文化和古建筑研究”的结果数，代入概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$计算即可。
【解析】
我们将三个主题分别记为：A=五台山历史及文化研究，B=五台山传统文化和古建筑研究，C=五台山地质结构和生态环境研究。
用列表法列举两人选择的所有等可能组合如下：
| 小新选择\小明选择 | A | B | C |
| --- | --- | --- | --- |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,C) |
由表格可得，共有9种等可能的结果，其中两人都选择主题B的结果只有1种，因此所求概率为$\frac{1}{9}$。
【答案】
D
【知识点】
1. 列表法求概率 2. 等可能事件概率计算
【点评】
本题结合地方特色情境考查基础概率计算，难度较低，熟练掌握用列表或树状图列举所有等可能结果的方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3. 网上购物已经成为人们常用的一种购物方式，售后评价也成为买家和卖家都关注的信息。消费者在网店购物后，将从“好评”“中评”“差评”中选择一种作为对卖家的评价。假设这三种评价是等可能的，若甲、乙两名消费者在某网店购买了同一商品，且都给出了评价，那么两人中一人给“好评”，另一人给“中评”的概率为
$\frac{2}{9}$
。答案
3. $\frac{2}{9}$
解析
【分析】
本题考查等可能事件的概率计算，解题思路如下：首先明确甲、乙两人的评价相互独立，各有3种等可能的选择，我们可以通过列表法列举出两人评价的所有等可能结果，再从中找出“一人给好评，另一人给中评”的结果数，最后根据概率公式“$P(事件)=\frac{事件包含的结果数}{所有等可能的结果数}$”计算即可。
【解析】
我们用A代表好评，B代表中评，C代表差评，列表列出甲、乙两人所有的评价组合：
| 甲\乙 | A | B | C |
|-------|-------|-------|-------|
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,C) |
由表格可知，一共有9种等可能的评价结果。
其中满足“一人给好评，另一人给中评”的结果有(A,B)、(B,A)，共2种。
根据概率公式可得，所求概率为$\frac{2}{9}$。
【答案】
$\frac{2}{9}$
【知识点】
等可能事件概率计算；列表法求概率
【点评】
本题是概率计算的基础题型，核心是通过列举法找出所有等可能的结果和目标事件的结果数，解题时要注意“一人好评一人中评”包含两种不同的情况，避免漏算导致错误。
【难度系数】
0.7
本题考查等可能事件的概率计算，解题思路如下：首先明确甲、乙两人的评价相互独立，各有3种等可能的选择，我们可以通过列表法列举出两人评价的所有等可能结果，再从中找出“一人给好评，另一人给中评”的结果数，最后根据概率公式“$P(事件)=\frac{事件包含的结果数}{所有等可能的结果数}$”计算即可。
【解析】
我们用A代表好评，B代表中评，C代表差评，列表列出甲、乙两人所有的评价组合：
| 甲\乙 | A | B | C |
|-------|-------|-------|-------|
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,C) |
由表格可知，一共有9种等可能的评价结果。
其中满足“一人给好评，另一人给中评”的结果有(A,B)、(B,A)，共2种。
根据概率公式可得，所求概率为$\frac{2}{9}$。
【答案】
$\frac{2}{9}$
【知识点】
等可能事件概率计算；列表法求概率
【点评】
本题是概率计算的基础题型，核心是通过列举法找出所有等可能的结果和目标事件的结果数，解题时要注意“一人好评一人中评”包含两种不同的情况，避免漏算导致错误。
【难度系数】
0.7
4. 银川市位于中国西北部，地处黄河上游，依傍贺兰山，地势独特，气候适宜，孕育了丰富的特产。某班的一次实践活动课上，老师将分别印有“A. 枸杞”“B. 葡萄酒”“C. 滩羊肉”“D. 八宝茶”四种特产的四张卡片（除特产不同外，其余完全相同）背面朝上放在桌子上，让每名同学从这四张卡片中随机抽取一张，记下印的特产后放回，然后对所抽取卡片上的特产进行介绍。
(1)小张抽取的卡片上印有八宝茶的概率是
(2)用列表或画树状图的方法，求小军和小明两名同学其中一人介绍枸杞，另一人介绍滩羊肉的概率。
(1)小张抽取的卡片上印有八宝茶的概率是
$\frac{1}{4}$
；(2)用列表或画树状图的方法，求小军和小明两名同学其中一人介绍枸杞，另一人介绍滩羊肉的概率。
答案
4. (1)$\frac{1}{4}$
(2)解:列表如下：
| 小军\小明 | A | B | C | D |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) | (A,D) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) | (B,D) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,C) | (C,D) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,C) | (D,D) |
共有16种结果,且每种结果出现的可能性相同。
小军和小明两名同学其中一人介绍枸杞,另一人介绍滩羊肉的结果有2种。
所以小军和小明两名同学其中一人介绍枸杞,另一人介绍滩羊肉的概率为$\frac{2}{16}=\frac{1}{8}$。
(2)解:列表如下：
| 小军\小明 | A | B | C | D |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) | (A,D) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) | (B,D) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,C) | (C,D) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,C) | (D,D) |
共有16种结果,且每种结果出现的可能性相同。
小军和小明两名同学其中一人介绍枸杞,另一人介绍滩羊肉的结果有2种。
所以小军和小明两名同学其中一人介绍枸杞,另一人介绍滩羊肉的概率为$\frac{2}{16}=\frac{1}{8}$。
解析
【分析】
(1) 第一问属于一步概率计算问题，四张卡片除内容外完全相同，抽取时每张卡片被抽到的可能性相等，共有4种等可能的结果，其中抽到八宝茶的结果只有1种，直接根据概率公式“概率=所求情况数÷总情况数”计算即可。
(2) 第二问是两人有放回抽取的两步概率问题，适合用列表法梳理所有等可能的结果：先分别列出小军、小明抽取的所有可能情况，再找出“一人抽到枸杞（A）、另一人抽到滩羊肉（C）”的符合条件的结果数，最后用符合条件的结果数除以总结果数得到对应概率，注意要考虑两种符合的情况：小军A小明C、小军C小明A，不要漏算。
【解析】
(1) 总共有4种等可能的抽取结果，抽到印有八宝茶的卡片的结果有1种，因此小张抽取的卡片上印有八宝茶的概率为$\frac{1}{4}$。
(2) 两人抽取卡片为有放回抽取，列表如下：
| 小军\小明 | A | B | C | D |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) | (A,D) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) | (B,D) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,C) | (C,D) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,C) | (D,D) |
由表格可知，共有16种等可能出现的结果。其中满足“一人介绍枸杞，另一人介绍滩羊肉”的结果有(A,C)、(C,A)，共2种。
因此所求概率为$\frac{2}{16}=\frac{1}{8}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$；(2) $\frac{1}{8}$
【知识点】
简单概率计算，列表法求概率，等可能事件概率
【点评】
本题是概率计算的基础题型，第一问直接考查对概率公式的应用，第二问通过列表法梳理两步试验的所有结果，需要注意区分“一人A一人C”的两种不同情况，避免漏算，能有效考查学生对用列表法求解概率的掌握程度。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问属于一步概率计算问题，四张卡片除内容外完全相同，抽取时每张卡片被抽到的可能性相等，共有4种等可能的结果，其中抽到八宝茶的结果只有1种，直接根据概率公式“概率=所求情况数÷总情况数”计算即可。
(2) 第二问是两人有放回抽取的两步概率问题，适合用列表法梳理所有等可能的结果：先分别列出小军、小明抽取的所有可能情况，再找出“一人抽到枸杞（A）、另一人抽到滩羊肉（C）”的符合条件的结果数，最后用符合条件的结果数除以总结果数得到对应概率，注意要考虑两种符合的情况：小军A小明C、小军C小明A，不要漏算。
【解析】
(1) 总共有4种等可能的抽取结果，抽到印有八宝茶的卡片的结果有1种，因此小张抽取的卡片上印有八宝茶的概率为$\frac{1}{4}$。
(2) 两人抽取卡片为有放回抽取，列表如下：
| 小军\小明 | A | B | C | D |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) | (A,D) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) | (B,D) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,C) | (C,D) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,C) | (D,D) |
由表格可知，共有16种等可能出现的结果。其中满足“一人介绍枸杞，另一人介绍滩羊肉”的结果有(A,C)、(C,A)，共2种。
因此所求概率为$\frac{2}{16}=\frac{1}{8}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$；(2) $\frac{1}{8}$
【知识点】
简单概率计算，列表法求概率，等可能事件概率
【点评】
本题是概率计算的基础题型，第一问直接考查对概率公式的应用，第二问通过列表法梳理两步试验的所有结果，需要注意区分“一人A一人C”的两种不同情况，避免漏算，能有效考查学生对用列表法求解概率的掌握程度。
【难度系数】
0.7
5. 如图，A,B,C是某公园的入口，D,E,F是公园的出口，若小华随机选择入口进入公园，随机选择出口离开公园，则恰好从B口进入，从D口离开的概率为（
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{9}$
C.$\frac{2}{9}$
D.$\frac{4}{9}$
B
）。A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{9}$
C.$\frac{2}{9}$
D.$\frac{4}{9}$
答案
5. B
解析
【分析】
本题是两步试验的概率计算问题，解题思路如下：首先明确试验分为两步：第一步选择入口，共有A、B、C3种等可能的选择；第二步选择出口，共有D、E、F3种等可能的选择。我们可以先计算出所有等可能的总结果数，再找到“从B口进入，从D口离开”的符合条件的结果数，最后根据概率公式计算对应概率即可。
【解析】
解：选择入口有3种等可能的结果，对应每个入口，选择出口又有3种等可能的结果，因此所有等可能的进出组合共有 $ 3 × 3 = 9 $ 种，分别为：(A,D)、(A,E)、(A,F)、(B,D)、(B,E)、(B,F)、(C,D)、(C,E)、(C,F)。
其中恰好从B口进入、D口离开的结果只有1种，根据概率公式 $ P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}} $，可得所求概率为 $ \frac{1}{9} $。
【答案】
B
【知识点】
列表法求概率；概率公式；等可能事件
【点评】
本题属于概率基础题，主要考查两步试验的概率计算，核心是准确梳理所有等可能的结果，避免漏数或多数，熟练掌握概率的基本计算方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题是两步试验的概率计算问题，解题思路如下：首先明确试验分为两步：第一步选择入口，共有A、B、C3种等可能的选择；第二步选择出口，共有D、E、F3种等可能的选择。我们可以先计算出所有等可能的总结果数，再找到“从B口进入，从D口离开”的符合条件的结果数，最后根据概率公式计算对应概率即可。
【解析】
解：选择入口有3种等可能的结果，对应每个入口，选择出口又有3种等可能的结果，因此所有等可能的进出组合共有 $ 3 × 3 = 9 $ 种，分别为：(A,D)、(A,E)、(A,F)、(B,D)、(B,E)、(B,F)、(C,D)、(C,E)、(C,F)。
其中恰好从B口进入、D口离开的结果只有1种，根据概率公式 $ P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}} $，可得所求概率为 $ \frac{1}{9} $。
【答案】
B
【知识点】
列表法求概率；概率公式；等可能事件
【点评】
本题属于概率基础题，主要考查两步试验的概率计算，核心是准确梳理所有等可能的结果，避免漏数或多数，熟练掌握概率的基本计算方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
