7. (★)如图，$AB=DE$，$BF=EC$，$∠ B=∠ E$，求证：$AC// DF$. (第7题)

证明：
∵ $BF = EC$，
∴ $BF + FC = EC + FC$，
即 $BC = EF$。
在$△ ABC$和$△ DEF$中，
$\{\begin{array}{l}AB = DE \\∠ B = ∠ E \\BC = EF\end{array} $
∴ $△ ABC ≌ △ DEF$（SAS）。
∴ $∠ ACB = ∠ DFE$，
∴ $AC // DF$（内错角相等，两直线平行）。

【分析】
要证明$AC// DF$，可先证明两直线被$BE$所截形成的内错角$∠ ACB$和$∠ DFE$相等，这两个角分别在$△ ABC$和$△ DEF$中，因此只需证明两个三角形全等即可。已知条件给出$AB=DE$、$∠ B=∠ E$，还缺少一组对应边相等的条件；结合已知$BF=EC$，给两条线段同时加上公共部分$FC$，即可得到$BC=EF$，满足SAS全等判定条件，证得全等后得到对应角相等，即可推出两直线平行。
【解析】
证明：
$\because BF = EC$，
$\therefore BF + FC = EC + FC$，
即 $BC = EF$。
在$△ ABC$和$△ DEF$中，
$\{\begin{array}{l}AB = DE \\∠ B = ∠ E \\BC = EF\end{array} $
$\therefore △ ABC ≌ △ DEF$（SAS）。
$\therefore ∠ ACB = ∠ DFE$，
$\therefore AC // DF$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
证明：
$\because BF = EC$，
$\therefore BF + FC = EC + FC$，
即 $BC = EF$。
在$△ ABC$和$△ DEF$中，
$\{\begin{array}{l}AB = DE \\∠ B = ∠ E \\BC = EF\end{array} $
$\therefore △ ABC ≌ △ DEF$（SAS）。
$\therefore ∠ ACB = ∠ DFE$，
$\therefore AC // DF$（内错角相等，两直线平行）。
【知识点】
1. 三角形全等SAS判定
2. 全等三角形的性质
3. 平行线的判定
【点评】
本题是三角形全等与平行线判定结合的基础题，解题核心是先通过线段和的关系推导全等所需的对应边相等，再利用全等的性质得到相等的内错角，进而判定平行，逻辑链条清晰，是对基础几何推理能力的常规训练。
【难度系数】
0.85

8. (★)在数学课堂上的小组讨论环节，“瑾花溪樾”小组在讨论老师给出的一个问题:在$△ ABC$中,已知$AB=4,BC=3$,为了使得画出的$△ ABC$形状、大小都确定,还需要确定一个角,有以下两个选择:①$∠ A=45°$,②$∠ B=45°$.组内共有以下四种意见,其中正确的是
【 】

A.只有①可以
B.只有②可以
C.①②都可以
D.①②都不可以

B

【分析】
要使△ABC的形状、大小都确定，本质是要让该三角形满足全等三角形的判定条件，即给定条件下只能画出唯一的三角形。首先明确已知两条边AB、BC的位置关系：两条边的公共顶点是B，因此它们的夹角是∠B。接下来分别分析两个给定角的情况：如果给的是夹角∠B，就符合两边及其夹角（SAS）的全等判定，可唯一确定三角形；如果给的是∠A，属于两边及其中一边的对角（SSA），不符合全等判定条件，无法唯一确定三角形。
【解析】
要使△ABC形状、大小唯一确定，需满足全等三角形的判定条件：
1. 分析条件②∠B=45°：已知AB=4，BC=3，∠B是AB和BC的夹角，符合全等三角形的SAS判定定理，此时只能画出唯一的△ABC，形状、大小都确定，因此②符合要求。
2. 分析条件①∠A=45°：∠A是边BC的对角，此时已知条件为两边及其中一边的对角（SSA），SSA不能判定三角形全等，可画出两种不同形状的△ABC满足条件，因此①不符合要求。
综上只有②可以，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形全等的判定；SAS判定定理
【点评】
本题主要考查全等三角形判定条件的应用，解题的关键是准确区分两边及其夹角和两边及一边对角的差异，牢记只有两边及其夹角才能唯一确定三角形，避免混淆SAS和SSA的适用情况。
【难度系数】
0.75

9. (★)在测量一个小口圆形容器的壁厚时,小明用“X形转动钳”按如图的方法进行测量,其中$OA=OD$,$OB=OC$,测得$AB=a$,$EF=b$,则圆形容器的壁厚是 【 】

A.$a$
B.$b$
C.$b-a$
D.$\frac{1}{2}(b-a)$

D

【分析】
首先观察题干给出的边相等条件：OA=OD、OB=OC，结合对顶角相等的性质，可考虑通过SAS证明△AOB和△DOC全等，得到CD的长度等于AB的长度a；再结合EF是容器外壁的总宽度b，可知b与a的差是两侧壁厚的总和，除以2即可得到单侧的壁厚。
【解析】
在$△ AOB$和$△ DOC$中：
$\{\begin{array}{l}OA=OD\\∠ AOB=∠ DOC \quad (\mathrm{对顶角相等})\\OB=OC\end{array} $
$\therefore △ AOB ≌ △ DOC \ (\mathrm{SAS})$
$\therefore CD=AB=a$
已知EF是容器外壁的宽度为$b$，$CD$是容器内部小口的宽度，因此两侧壁厚的和为$b-a$，则单个壁厚为$\frac{1}{2}(b-a)$。
【答案】
D
【知识点】
SAS判定三角形全等，全等三角形对应边相等，线段和差计算
【点评】
本题是全等三角形在实际测量中的应用，解题核心是通过全等将未知的内部宽度转化为已知的AB长度，再结合线段和差关系求出壁厚，有助于锻炼将数学知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.8

10. (★)如图,已知$BF=DE$,$AB// DC$,要使$△ ABF≌△ CDE$,添加的条件可以是 【 】

A.$BE=DF$
B.$AF=CE$
C.$AB=CD$
D.$∠ B=∠ D$

C

【分析】
先从已知条件推导已有相等关系：①由$AB// DC$，根据平行线内错角相等可得$∠ B=∠ D$；②题目已知$BF=DE$。此时要判定$△ ABF≌△ CDE$，已经具备一组边相等、一组角相等，结合三角形全等的判定定理（SAS、ASA、AAS、SSS）逐一分析选项即可：A选项推导后仅能得到已知的$BF=DE$，无新增有效条件；B选项对应SSA，不符合全等判定要求；C选项可凑齐SAS判定条件；D选项是已推出的结论，新增后仍缺少全等判定必要条件。
【解析】
$\because AB// DC$，$\therefore ∠ B=∠ D$（两直线平行，内错角相等），又已知$BF=DE$，逐一分析选项：
选项A：若$BE=DF$，则$BE-EF=DF-EF$，即$BF=DE$，与题目已知条件重复，无法证明全等，排除；
选项B：若$AF=CE$，此时$△ ABF$和$△ CDE$满足$AF=CE$、$BF=DE$、$∠ B=∠ D$，属于SSA，不是三角形全等的合法判定条件，无法证明全等，排除；
选项C：若$AB=CD$，在$△ ABF$和$△ CDE$中：
$\{\begin{array}{l}AB=CD\\ ∠ B=∠ D\\ BF=DE\end{array} $
$\therefore △ ABF≌△ CDE(\mathrm{SAS})$，符合要求；
选项D：$∠ B=∠ D$是已由平行线性质推导得到的结论，添加后仍然只有一组边、一组角相等，无法证明全等，排除。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质、全等三角形的判定
【点评】
本题是全等三角形判定的基础应用题，解题核心是先梳理已知可得到的相等边、角，再结合判定规则验证选项，需格外注意SSA不能作为三角形全等的判定依据。
【难度系数】
0.7

11. (★★)如图,在$△ ABC$中,$∠ B=∠ C$, $BF=CD$,$BD=CE$,$∠ FDE=64°$,则$∠ A$的度数是
【】

A.$42°$
B.$52°$
C.$62°$
D.$51°$

B

【分析】
首先观察已知条件，有两组边相等：BF=CD、BD=CE，且两组边的夹角∠B=∠C，可先通过SAS判定△BFD≌△CDE，得到对应角∠BFD=∠CDE；再结合平角定义和三角形内角和定理，推导得出∠B=∠FDE，最后利用三角形内角和180°即可计算出∠A的度数。
【解析】
1. 证明△BFD≌△CDE
在$△ BFD$和$△ CDE$中：
$\begin{cases}BF=CD\quad(\mathrm{已知})\\∠ B=∠ C\quad(\mathrm{已知})\\BD=CE\quad(\mathrm{已知})\end{cases}$
$\therefore △ BFD≌△ CDE(\mathrm{SAS})$
$\therefore ∠ BFD=∠ CDE$（全等三角形对应角相等）
2. 推导∠B的度数
在$△ BFD$中，根据三角形内角和定理：
$∠ B+∠ BFD+∠ BDF=180°$
由平角的定义可知：
$∠ BDF+∠ FDE+∠ CDE=180°$
将$∠ BFD=∠ CDE$代入三角形内角和的式子可得：
$∠ B+∠ CDE+∠ BDF=180°$
对比平角的等式，可得$∠ B=∠ FDE$
已知$∠ FDE=64°$，$\therefore ∠ B=64°$
3. 计算∠A的度数
$\because ∠ B=∠ C$，$\therefore ∠ C=64°$
在$△ ABC$中，根据三角形内角和定理：
$∠ A=180°-∠ B-∠ C=180°-64°-64°=52°$
【答案】
B
【知识点】
1. 全等三角形的SAS判定
2. 全等三角形的性质
3. 三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形全等应用的典型题型，解题核心是通过全等建立角的等量关系，进而推导出三角形底角的度数，需要熟练掌握全等三角形的判定方法和角的等量代换技巧。
【难度系数】
0.7

12. (★★)如图,已知$AB ⊥ AC, AD ⊥ AE$,$AB=AC, AD=AE$.
求证:(1)$BE=CD$;
(2)$BE ⊥ CD$.

证明：
(1) ∵ $AB ⊥ AC$，$AD ⊥ AE$，
∴ $∠ BAC = ∠ DAE = 90°$，
∴ $∠ BAC + ∠ CAE = ∠ DAE + ∠ CAE$，
即 $∠ BAE = ∠ CAD$。
在$△ BAE$和$△ CAD$中，
$\begin{cases}AB = AC \\∠ BAE = ∠ CAD \\AE = AD\end{cases}$
∴ $△ BAE ≌ △ CAD$（SAS），
∴ $BE = CD$。
(2) 设$BE$交$AC$于点$M$，交$CD$于点$O$，
∵ $△ BAE ≌ △ CAD$，
∴ $∠ ABE = ∠ ACD$。
∵ $∠ BAC = 90°$，
∴ $∠ ABE + ∠ AMB = 90°$，
又∵ $∠ AMB = ∠ CMO$（对顶角相等），
∴ $∠ ACD + ∠ CMO = 90°$，
∴ 在$△ CMO$中，$∠ MOC = 180° - (∠ ACD + ∠ CMO) = 90°$，
∴ $BE ⊥ CD$。

【分析】
(1) 证明线段相等的常用思路是证明线段所在的三角形全等。观察图形可知BE、CD分别属于△BAE和△CAD，已知AB=AC、AD=AE，只需推导两组对应边的夹角相等即可：由已知的两组垂直可得∠BAC=∠DAE=90°，两个等角同时加公共角∠CAE，即可推出∠BAE=∠CAD，进而用SAS证明两个三角形全等，根据全等三角形对应边相等即可证得BE=CD。
(2) 证明两条直线垂直只需证两线夹角为90°。利用第一问的全等结论可得∠ABE=∠ACD，结合直角三角形两锐角互余的性质，再通过对顶角相等进行角的等量代换，即可推导出BE与CD的夹角为90°，完成垂直的证明。
【解析】
(1)
∵ $AB ⊥ AC$，$AD ⊥ AE$，
∴ $∠ BAC = ∠ DAE = 90°$，
∴ $∠ BAC + ∠ CAE = ∠ DAE + ∠ CAE$，
即 $∠ BAE = ∠ CAD$。
在$△ BAE$和$△ CAD$中，
$\begin{cases}AB = AC \\∠ BAE = ∠ CAD \\AE = AD\end{cases}$
∴ $△ BAE ≌ △ CAD$（SAS），
∴ $BE = CD$。
(2) 设$BE$交$AC$于点$M$，交$CD$于点$O$，
∵ $△ BAE ≌ △ CAD$，
∴ $∠ ABE = ∠ ACD$。
∵ $∠ BAC = 90°$，
∴ $∠ ABE + ∠ AMB = 90°$，
又
∵ $∠ AMB = ∠ CMO$（对顶角相等），
∴ $∠ ACD + ∠ CMO = 90°$，
∴ 在$△ CMO$中，$∠ MOC = 180° - (∠ ACD + ∠ CMO) = 90°$，
∴ $BE ⊥ CD$。
【答案】
(1) $BE=CD$得证；(2) $BE⊥CD$得证，证明过程如上。
【知识点】
SAS证全等、全等三角形性质、垂直的判定
【点评】
本题是全等三角形综合应用的基础题型，解题核心是准确锁定待证线段所属的全等三角形，通过角的和差推导全等所需的等角条件，再结合全等性质完成角的等量代换即可证明结论，熟练掌握全等的判定和性质是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7