登录
1. 如图，AB是$\odot O$的直径，且$AB=2$，弦$CD$与$AB$相交于点$E$，连接$BC$，$BD$。若$∠ ABC = 30°$，则$\overset{\frown}{BC}$的长度为（
A.$\frac{π}{6}$
B.$\frac{π}{3}$
C.$\frac{2π}{3}$
D.$\frac{π}{12}$
1题图
2题图
C
）A.$\frac{π}{6}$
B.$\frac{π}{3}$
C.$\frac{2π}{3}$
D.$\frac{π}{12}$
1题图
2题图
答案
1. C
解析
【分析】
要求$\overset{\frown}{BC}$的长度，需用到弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为弧所对圆心角的度数，$r$为圆的半径），因此分三步推导：1. 根据直径长度求出圆的半径；2. 结合已知角度求出$\overset{\frown}{BC}$对应的圆心角度数；3. 代入公式计算结果即可。
【解析】
连接$OC$，
∵$AB$是$\odot O$的直径，$AB=2$，
∴$\odot O$的半径$r=\frac{AB}{2}=1$，且$OB=OC$（同圆的半径相等），
∴$△ OBC$为等腰三角形，$∠ OCB=∠ ABC=30°$，
∴$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角$∠ BOC=180°-∠ ABC-∠ OCB=180°-30°-30°=120°$，
将$n=120$，$r=1$代入弧长公式，得：
$\overset{\frown}{BC}$的长度$=\frac{120×π×1}{180}=\frac{2π}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
弧长公式，等腰三角形性质，圆的基本性质
【点评】
本题是弧长计算的基础题，解题核心是准确找到弧对应的圆心角度数和圆的半径，熟练掌握弧长公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要求$\overset{\frown}{BC}$的长度，需用到弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为弧所对圆心角的度数，$r$为圆的半径），因此分三步推导：1. 根据直径长度求出圆的半径；2. 结合已知角度求出$\overset{\frown}{BC}$对应的圆心角度数；3. 代入公式计算结果即可。
【解析】
连接$OC$，
∵$AB$是$\odot O$的直径，$AB=2$，
∴$\odot O$的半径$r=\frac{AB}{2}=1$，且$OB=OC$（同圆的半径相等），
∴$△ OBC$为等腰三角形，$∠ OCB=∠ ABC=30°$，
∴$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角$∠ BOC=180°-∠ ABC-∠ OCB=180°-30°-30°=120°$，
将$n=120$，$r=1$代入弧长公式，得：
$\overset{\frown}{BC}$的长度$=\frac{120×π×1}{180}=\frac{2π}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
弧长公式，等腰三角形性质，圆的基本性质
【点评】
本题是弧长计算的基础题，解题核心是准确找到弧对应的圆心角度数和圆的半径，熟练掌握弧长公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
2. 如图，已知$\odot O$的半径为6，AB，BC是$\odot O$的弦. 若$∠ ABC=60°$，则$\overset{\frown}{AC}$的长是（
A.$3π$
B.$4π$
C.$10π$
D.$12π$
B
）A.$3π$
B.$4π$
C.$10π$
D.$12π$
答案
2. B
解析
【分析】
要计算弧长，首先回忆弧长计算公式为$l=\frac{nπ R}{180}$（$n$为弧所对圆心角的度数，$R$为圆的半径）。题目已给出圆半径$R=6$，因此只需先求出$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角度数即可。根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，已知$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角$∠ ABC=60°$，即可求出对应的圆心角，再代入弧长公式计算得到结果。
【解析】
解：连接$OA$、$OC$。
∵ $∠ ABC$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，$∠ AOC$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角
∴ 根据圆周角定理可得：$∠ AOC=2∠ ABC=2×60°=120°$
已知$\odot O$的半径$R=6$，代入弧长公式：
$\overset{\frown}{AC}$的长$l=\frac{nπ R}{180}=\frac{120×π×6}{180}=4π$
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理；弧长公式
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是熟练掌握圆周角定理和弧长公式，先求出弧对应的圆心角度数再代入公式计算即可。
【难度系数】
0.8
要计算弧长，首先回忆弧长计算公式为$l=\frac{nπ R}{180}$（$n$为弧所对圆心角的度数，$R$为圆的半径）。题目已给出圆半径$R=6$，因此只需先求出$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角度数即可。根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，已知$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角$∠ ABC=60°$，即可求出对应的圆心角，再代入弧长公式计算得到结果。
【解析】
解：连接$OA$、$OC$。
∵ $∠ ABC$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，$∠ AOC$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角
∴ 根据圆周角定理可得：$∠ AOC=2∠ ABC=2×60°=120°$
已知$\odot O$的半径$R=6$，代入弧长公式：
$\overset{\frown}{AC}$的长$l=\frac{nπ R}{180}=\frac{120×π×6}{180}=4π$
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理；弧长公式
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是熟练掌握圆周角定理和弧长公式，先求出弧对应的圆心角度数再代入公式计算即可。
【难度系数】
0.8
3. 如图，用一个半径为10 cm的定滑轮拉动重物上升，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动. 若重物上升$15π$ cm，则滑轮旋转的角度为（
A.$90°$
B.$180°$
C.$270°$
D.$360°$
C
）A.$90°$
B.$180°$
C.$270°$
D.$360°$
答案
3. C
解析
【分析】
解题时首先要明确：定滑轮拉重物且绳索与滑轮无滑动时，重物上升的距离等于滑轮边缘转过的弧长。要求滑轮旋转的角度，本质就是求这段弧长对应的圆心角，直接代入弧长公式求解即可。
【解析】
解：由题意得，滑轮边缘转过的弧长$l=15π \mathrm{ cm}$，滑轮半径$r=10 \mathrm{ cm}$。
根据九年级所学弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为圆心角度数，$r$为圆弧半径），将已知数据代入：
$15π=\frac{nπ × 10}{180}$
两边同时约去$π$，可得：
$15=\frac{10n}{180}$
解得：$n=\frac{15×180}{10}=270$，即滑轮旋转角度为$270°$。
【答案】
C
【知识点】
弧长公式应用，定滑轮特征
【点评】
这道题是数学公式在实际生活场景中的应用，解题关键是理解重物上升距离等于滑轮对应弧长，再代入公式计算即可，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确：定滑轮拉重物且绳索与滑轮无滑动时，重物上升的距离等于滑轮边缘转过的弧长。要求滑轮旋转的角度，本质就是求这段弧长对应的圆心角，直接代入弧长公式求解即可。
【解析】
解：由题意得，滑轮边缘转过的弧长$l=15π \mathrm{ cm}$，滑轮半径$r=10 \mathrm{ cm}$。
根据九年级所学弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为圆心角度数，$r$为圆弧半径），将已知数据代入：
$15π=\frac{nπ × 10}{180}$
两边同时约去$π$，可得：
$15=\frac{10n}{180}$
解得：$n=\frac{15×180}{10}=270$，即滑轮旋转角度为$270°$。
【答案】
C
【知识点】
弧长公式应用，定滑轮特征
【点评】
这道题是数学公式在实际生活场景中的应用，解题关键是理解重物上升距离等于滑轮对应弧长，再代入公式计算即可，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.7
4. 扇面画是中国传统书画中一种独具特色的艺术样式，将扇子的实用功能与书画的观赏功能巧妙结合.一个扇面的示意图如图所示，已知$OA=10\ \mathrm{cm}$，$AC=15\ \mathrm{cm}$，$\overset{\frown}{AB}$的长为$20\ \mathrm{cm}$，则$\overset{\frown}{CD}$的长为
50
$\mathrm{cm}.$答案
4. 50
解析
【分析】
解答本题的关键是明确弧$\overset{\frown}{AB}$和$\overset{\frown}{CD}$是同心圆中圆心角相同的两段弧，可先利用弧长公式，结合$\overset{\frown}{AB}$的长和半径$OA$求出圆心角相关的定值，再计算出大扇形的半径$OC$，最后代入弧长公式即可求出$\overset{\frown}{CD}$的长。
【解析】
设扇面对应的圆心角为$n°$，根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$解题：
1. 结合$\overset{\frown}{AB}$的条件推导定值：
已知$OA=10\ \mathrm{cm}$，$\overset{\frown}{AB}$的长为$20\ \mathrm{cm}$，代入弧长公式得：
$20=\frac{nπ×10}{180}$，整理可得$\frac{nπ}{180}=\frac{20}{10}=2$。
2. 计算大扇形半径$OC$：
$OC=OA+AC=10+15=25\ \mathrm{cm}$。
3. 计算$\overset{\frown}{CD}$的长：
将$\frac{nπ}{180}=2$、$OC=25\ \mathrm{cm}$代入弧长公式，得：
$\overset{\frown}{CD}$的长$=\frac{nπ×25}{180}=2×25=50\ \mathrm{cm}$。
【答案】
50
【知识点】
弧长公式；线段和差计算
【点评】
本题侧重考查弧长公式的灵活应用，不需要计算出圆心角的具体度数，通过整体代换的方式可以简化计算过程，也可利用“圆心角相同时，弧长与半径成正比”的规律快速求解。
【难度系数】
0.8
解答本题的关键是明确弧$\overset{\frown}{AB}$和$\overset{\frown}{CD}$是同心圆中圆心角相同的两段弧，可先利用弧长公式，结合$\overset{\frown}{AB}$的长和半径$OA$求出圆心角相关的定值，再计算出大扇形的半径$OC$，最后代入弧长公式即可求出$\overset{\frown}{CD}$的长。
【解析】
设扇面对应的圆心角为$n°$，根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$解题：
1. 结合$\overset{\frown}{AB}$的条件推导定值：
已知$OA=10\ \mathrm{cm}$，$\overset{\frown}{AB}$的长为$20\ \mathrm{cm}$，代入弧长公式得：
$20=\frac{nπ×10}{180}$，整理可得$\frac{nπ}{180}=\frac{20}{10}=2$。
2. 计算大扇形半径$OC$：
$OC=OA+AC=10+15=25\ \mathrm{cm}$。
3. 计算$\overset{\frown}{CD}$的长：
将$\frac{nπ}{180}=2$、$OC=25\ \mathrm{cm}$代入弧长公式，得：
$\overset{\frown}{CD}$的长$=\frac{nπ×25}{180}=2×25=50\ \mathrm{cm}$。
【答案】
50
【知识点】
弧长公式；线段和差计算
【点评】
本题侧重考查弧长公式的灵活应用，不需要计算出圆心角的具体度数，通过整体代换的方式可以简化计算过程，也可利用“圆心角相同时，弧长与半径成正比”的规律快速求解。
【难度系数】
0.8
5. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC=6$，以AB为直径作半圆O，交BC于点D。若$∠ BAC=40°$，则$\overset{\frown}{AD}$的长为
5题图
6题图
$\frac{7}{3}π$
（结果保留π）。5题图
6题图
答案
5. $\frac{7}{3}π$
解析
【分析】
要计算$\overset{\frown}{AD}$的长，需用到弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为弧所对圆心角的度数，$r$为圆的半径），因此解题分为三步：第一，根据AB是直径求出半圆的半径；第二，利用等腰三角形性质求出底角$∠ B$的度数，再结合同弧所对圆心角是圆周角的2倍，求出$\overset{\frown}{AD}$对应的圆心角的度数；第三，代入弧长公式计算结果。
【解析】
1. 求半圆O的半径：
∵AB是半圆O的直径，$AB=6$，
∴半圆O的半径$r=\frac{1}{2}AB=3$。
2. 求$∠ B$的度数：
∵$AB=AC$，$△ ABC$是等腰三角形，$∠ BAC=40°$，
∴$∠ B=\frac{180°-∠ BAC}{2}=\frac{180°-40°}{2}=70°$。
3. 求$\overset{\frown}{AD}$所对的圆心角$∠ AOD$的度数：
连接OD，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，$∠ B$是$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角，$∠ AOD$是$\overset{\frown}{AD}$所对的圆心角，
∴$∠ AOD=2∠ B=2×70°=140°$。
4. 代入弧长公式计算：
$\overset{\frown}{AD}$的长$l=\frac{140×π×3}{180}=\frac{7}{3}π$。
【答案】
$\frac{7}{3}π$
【知识点】
弧长公式，等腰三角形的性质，圆周角定理
【点评】
本题是弧长计算的基础综合题，解题核心是熟练掌握弧长公式，结合等腰三角形、圆周角相关定理求出弧对应的圆心角和半径，是对基础知识点综合运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
要计算$\overset{\frown}{AD}$的长，需用到弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为弧所对圆心角的度数，$r$为圆的半径），因此解题分为三步：第一，根据AB是直径求出半圆的半径；第二，利用等腰三角形性质求出底角$∠ B$的度数，再结合同弧所对圆心角是圆周角的2倍，求出$\overset{\frown}{AD}$对应的圆心角的度数；第三，代入弧长公式计算结果。
【解析】
1. 求半圆O的半径：
∵AB是半圆O的直径，$AB=6$，
∴半圆O的半径$r=\frac{1}{2}AB=3$。
2. 求$∠ B$的度数：
∵$AB=AC$，$△ ABC$是等腰三角形，$∠ BAC=40°$，
∴$∠ B=\frac{180°-∠ BAC}{2}=\frac{180°-40°}{2}=70°$。
3. 求$\overset{\frown}{AD}$所对的圆心角$∠ AOD$的度数：
连接OD，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，$∠ B$是$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角，$∠ AOD$是$\overset{\frown}{AD}$所对的圆心角，
∴$∠ AOD=2∠ B=2×70°=140°$。
4. 代入弧长公式计算：
$\overset{\frown}{AD}$的长$l=\frac{140×π×3}{180}=\frac{7}{3}π$。
【答案】
$\frac{7}{3}π$
【知识点】
弧长公式，等腰三角形的性质，圆周角定理
【点评】
本题是弧长计算的基础综合题，解题核心是熟练掌握弧长公式，结合等腰三角形、圆周角相关定理求出弧对应的圆心角和半径，是对基础知识点综合运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
6. 如图，$\odot O$的直径$AB=16$，点$C$在$\odot O$上，$OC ⊥ AB$，$D$为$\overset{\frown}{BC}$上一点，$E$为$OC$的中点，且$DE ⊥ OC$，垂足为点$E$，则$\overset{\frown}{CD}$的长为________（结果保留$π$）。
答案
6. $\frac{8π}{3}$
解析
【分析】
要求弧$\overset{\frown}{CD}$的长度，需运用弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为弧所对圆心角的度数，$r$为圆的半径）求解，因此我们需要先确定$\odot O$的半径，再求出$\overset{\frown}{CD}$对应的圆心角$∠ COD$的度数，最后代入公式计算即可。首先由直径长度可直接得到半径，再连接$OD$，结合$DE⊥ OC$、$E$是$OC$中点的条件，利用直角三角形的边角关系即可求出$∠ COD$的度数。
【解析】
解：连接$OD$，
$\because \odot O$的直径$AB=16$，
$\therefore \odot O$的半径$r=OC=OD=\frac{1}{2}AB=8$，
$\because E$是$OC$的中点，
$\therefore OE=\frac{1}{2}OC=4$，
$\because DE⊥ OC$，
$\therefore ∠ OED=90°$，
在$Rt△ OED$中，$OE=4$，$OD=8$，即$OE=\frac{1}{2}OD$，
$\therefore \cos∠ COD=\frac{OE}{OD}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，
$\therefore ∠ COD=60°$，
根据弧长公式，$\overset{\frown}{CD}$的长为：
$l_{\overset{\frown}{CD}}=\frac{nπ r}{180}=\frac{60π×8}{180}=\frac{8π}{3}$。
【答案】
$\frac{8π}{3}$
【知识点】
弧长公式；直角三角形性质；圆的基本性质
【点评】
本题属于圆的基础计算题，解题的突破口是通过作辅助线构造直角三角形，求出弧对应的圆心角度数，再结合弧长公式完成计算，要求学生熟练掌握相关基础知识点。
【难度系数】
0.7
要求弧$\overset{\frown}{CD}$的长度，需运用弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为弧所对圆心角的度数，$r$为圆的半径）求解，因此我们需要先确定$\odot O$的半径，再求出$\overset{\frown}{CD}$对应的圆心角$∠ COD$的度数，最后代入公式计算即可。首先由直径长度可直接得到半径，再连接$OD$，结合$DE⊥ OC$、$E$是$OC$中点的条件，利用直角三角形的边角关系即可求出$∠ COD$的度数。
【解析】
解：连接$OD$，
$\because \odot O$的直径$AB=16$，
$\therefore \odot O$的半径$r=OC=OD=\frac{1}{2}AB=8$，
$\because E$是$OC$的中点，
$\therefore OE=\frac{1}{2}OC=4$，
$\because DE⊥ OC$，
$\therefore ∠ OED=90°$，
在$Rt△ OED$中，$OE=4$，$OD=8$，即$OE=\frac{1}{2}OD$，
$\therefore \cos∠ COD=\frac{OE}{OD}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，
$\therefore ∠ COD=60°$，
根据弧长公式，$\overset{\frown}{CD}$的长为：
$l_{\overset{\frown}{CD}}=\frac{nπ r}{180}=\frac{60π×8}{180}=\frac{8π}{3}$。
【答案】
$\frac{8π}{3}$
【知识点】
弧长公式；直角三角形性质；圆的基本性质
【点评】
本题属于圆的基础计算题，解题的突破口是通过作辅助线构造直角三角形，求出弧对应的圆心角度数，再结合弧长公式完成计算，要求学生熟练掌握相关基础知识点。
【难度系数】
0.7
7. 如图
，在$□ ABCD$中，$∠ D=120°$，$CD=2$，以点A为圆心，AB的长为半径画弧交边AD于点E，以点B为圆心，BE的长为半径画弧交边BC于点F，则阴影部分图形的周长为
，在$□ ABCD$中，$∠ D=120°$，$CD=2$，以点A为圆心，AB的长为半径画弧交边AD于点E，以点B为圆心，BE的长为半径画弧交边BC于点F，则阴影部分图形的周长为$\frac{4}{3}π+2$
（结果保留$π$）答案
7. $\frac{4}{3}π+2$
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确阴影周长的组成，再结合图形性质逐步推导所需条件：①先利用平行四边形邻角互补、对边相等的性质，求出∠A的度数和AB的长度；②根据同圆半径相等得AE=AB，结合∠A=60°可判定△ABE是等边三角形，从而得到BE的长度和∠AEB的度数，再由平行线的内错角相等求出弧EF对应的圆心角∠EBF的度数；③最后用弧长公式分别计算两段弧的长度，加上线段BF的长度即可得到阴影周长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，∠D=120°，CD=2
∴∠A = 180° - ∠D = 60°，AB = CD = 2，AD//BC
由作图可知：AE=AB=2，BF=BE
∵AE=AB，∠A=60°
∴△ABE是等边三角形
∴BE=AB=2，∠AEB=60°
∵AD//BC
∴∠EBF = ∠AEB = 60°
阴影部分周长由弧BE的长、弧EF的长、线段BF的长三部分组成：
弧BE的长：$l_1=\frac{n_1π r_1}{180}=\frac{60π×2}{180}=\frac{2π}{3}$
弧EF的长：$l_2=\frac{n_2π r_2}{180}=\frac{60π×2}{180}=\frac{2π}{3}$
线段BF的长：$BF=BE=2$
∴阴影部分周长 = $\frac{2π}{3}+\frac{2π}{3}+2=\frac{4}{3}π+2$
【答案】
$\frac{4}{3}π+2$
【知识点】
平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，弧长计算
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题的关键是准确判断出等边三角形，确定两段弧对应的圆心角和半径，同时要注意理清阴影周长的组成部分，避免漏算线段BF的长度。
【难度系数】
0.65
要解决本题，首先需明确阴影周长的组成，再结合图形性质逐步推导所需条件：①先利用平行四边形邻角互补、对边相等的性质，求出∠A的度数和AB的长度；②根据同圆半径相等得AE=AB，结合∠A=60°可判定△ABE是等边三角形，从而得到BE的长度和∠AEB的度数，再由平行线的内错角相等求出弧EF对应的圆心角∠EBF的度数；③最后用弧长公式分别计算两段弧的长度，加上线段BF的长度即可得到阴影周长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，∠D=120°，CD=2
∴∠A = 180° - ∠D = 60°，AB = CD = 2，AD//BC
由作图可知：AE=AB=2，BF=BE
∵AE=AB，∠A=60°
∴△ABE是等边三角形
∴BE=AB=2，∠AEB=60°
∵AD//BC
∴∠EBF = ∠AEB = 60°
阴影部分周长由弧BE的长、弧EF的长、线段BF的长三部分组成：
弧BE的长：$l_1=\frac{n_1π r_1}{180}=\frac{60π×2}{180}=\frac{2π}{3}$
弧EF的长：$l_2=\frac{n_2π r_2}{180}=\frac{60π×2}{180}=\frac{2π}{3}$
线段BF的长：$BF=BE=2$
∴阴影部分周长 = $\frac{2π}{3}+\frac{2π}{3}+2=\frac{4}{3}π+2$
【答案】
$\frac{4}{3}π+2$
【知识点】
平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，弧长计算
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题的关键是准确判断出等边三角形，确定两段弧对应的圆心角和半径，同时要注意理清阴影周长的组成部分，避免漏算线段BF的长度。
【难度系数】
0.65
