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7. 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD=120°，则∠BOD的度数为
$120°$
。答案
7. $120°$
解析
【分析】
解题时先结合已知条件关联相关定理：首先看到四边形是圆的内接四边形，可利用圆内接四边形对角互补的性质，先求出∠BAD的度数；再观察∠BOD是弧BD对应的圆心角，∠BAD是弧BD对应的圆周角，根据同弧所对圆心角是圆周角的2倍的圆周角定理，即可求出∠BOD的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形
∴∠BAD + ∠BCD = 180°（圆内接四边形对角互补）
∵∠BCD=120°
∴∠BAD=180°-120°=60°
又
∵∠BAD是弧BD所对的圆周角，∠BOD是弧BD所对的圆心角
∴∠BOD=2∠BAD=2×60°=120°（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍）
【答案】
120°
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理
【点评】
本题属于基础题型，重点考查圆内接四边形性质和圆周角定理的综合运用，解题的核心是找到同弧所对的圆周角和圆心角的对应关系，熟练掌握基础定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先结合已知条件关联相关定理：首先看到四边形是圆的内接四边形，可利用圆内接四边形对角互补的性质，先求出∠BAD的度数；再观察∠BOD是弧BD对应的圆心角，∠BAD是弧BD对应的圆周角，根据同弧所对圆心角是圆周角的2倍的圆周角定理，即可求出∠BOD的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形
∴∠BAD + ∠BCD = 180°（圆内接四边形对角互补）
∵∠BCD=120°
∴∠BAD=180°-120°=60°
又
∵∠BAD是弧BD所对的圆周角，∠BOD是弧BD所对的圆心角
∴∠BOD=2∠BAD=2×60°=120°（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍）
【答案】
120°
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理
【点评】
本题属于基础题型，重点考查圆内接四边形性质和圆周角定理的综合运用，解题的核心是找到同弧所对的圆周角和圆心角的对应关系，熟练掌握基础定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
8. 如图，在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{AC}$，若$∠ BAC = 50°$，求$∠ ABC$的度数。
答案
8. 解 因为$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{AC}$，所以 $AB = AC$。
所以$∠ABC = ∠ACB$。因为$∠BAC = 50°$，
$∠ABC + ∠ACB + ∠BAC = 180°$，
所以 $∠ABC = ∠ACB = \frac{1}{2} × (180° - 50°) = 65°$。
所以$∠ABC = ∠ACB$。因为$∠BAC = 50°$，
$∠ABC + ∠ACB + ∠BAC = 180°$，
所以 $∠ABC = ∠ACB = \frac{1}{2} × (180° - 50°) = 65°$。
解析
【分析】
解题时先从已知条件$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{AC}$入手，回忆圆的基本性质：同圆中相等的弧所对的弦相等，由此可推出$AB=AC$，判断$△ ABC$为等腰三角形；再利用等腰三角形两底角相等的性质，得到$∠ ABC=∠ ACB$，最后结合三角形内角和为$180°$，代入已知的$∠ BAC=50°$即可计算出$∠ ABC$的度数。
【解析】
因为在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{AC}$，根据同圆中等弧对等弦，可得$AB = AC$，所以$△ ABC$是等腰三角形，$∠ ABC = ∠ ACB$。
又因为三角形内角和为$180°$，$∠ BAC = 50°$，所以：
$∠ ABC = \frac{1}{2} × (180° - ∠ BAC) = \frac{1}{2} × (180° - 50°) = 65°$
【答案】
$65°$
【知识点】
等弧对等弦；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础综合题，将圆的基本性质与三角形的相关知识结合考查，解题的关键是能将弧相等的条件转化为弦相等，进而利用等腰三角形和内角和的知识求解，掌握基础性质就能顺利得分。
【难度系数】
0.85
解题时先从已知条件$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{AC}$入手，回忆圆的基本性质：同圆中相等的弧所对的弦相等，由此可推出$AB=AC$，判断$△ ABC$为等腰三角形；再利用等腰三角形两底角相等的性质，得到$∠ ABC=∠ ACB$，最后结合三角形内角和为$180°$，代入已知的$∠ BAC=50°$即可计算出$∠ ABC$的度数。
【解析】
因为在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{AC}$，根据同圆中等弧对等弦，可得$AB = AC$，所以$△ ABC$是等腰三角形，$∠ ABC = ∠ ACB$。
又因为三角形内角和为$180°$，$∠ BAC = 50°$，所以：
$∠ ABC = \frac{1}{2} × (180° - ∠ BAC) = \frac{1}{2} × (180° - 50°) = 65°$
【答案】
$65°$
【知识点】
等弧对等弦；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础综合题，将圆的基本性质与三角形的相关知识结合考查，解题的关键是能将弧相等的条件转化为弦相等，进而利用等腰三角形和内角和的知识求解，掌握基础性质就能顺利得分。
【难度系数】
0.85
9. 如图，在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{AC}$，$∠ AOB = 40°$，点D在$\odot O$上，连接CD，AD，则$∠ ADC$的度数是
$20°$
。答案
9. $20°$
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，根据同圆中等弧对应的圆心角相等，结合已知$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{AC}$、$∠ AOB=40°$，先求出$\overset{\frown}{AC}$对应的圆心角$∠ AOC$的度数；第二步，明确$∠ ADC$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，根据圆周角定理，圆周角的度数为其所对圆心角度数的一半，代入$∠ AOC$的度数即可求出$∠ ADC$的大小。
【解析】
解：$\because$ 在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{AC}$，
$\therefore$ 相等的弧所对的圆心角相等，即$∠ AOC = ∠ AOB$，
$\because ∠ AOB = 40°$，
$\therefore ∠ AOC = 40°$，
又$\because ∠ ADC$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，$∠ AOC$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角，
根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，
$\therefore ∠ ADC = \frac{1}{2}∠ AOC = \frac{1}{2} × 40° = 20°$。
【答案】
$20°$
【知识点】
等弧对等圆心角；圆周角定理
【点评】
本题是圆的基础性质应用题，核心是理清同一段弧对应的圆心角和圆周角的数量关系，熟练掌握相关定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：第一步，根据同圆中等弧对应的圆心角相等，结合已知$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{AC}$、$∠ AOB=40°$，先求出$\overset{\frown}{AC}$对应的圆心角$∠ AOC$的度数；第二步，明确$∠ ADC$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，根据圆周角定理，圆周角的度数为其所对圆心角度数的一半，代入$∠ AOC$的度数即可求出$∠ ADC$的大小。
【解析】
解：$\because$ 在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{AC}$，
$\therefore$ 相等的弧所对的圆心角相等，即$∠ AOC = ∠ AOB$，
$\because ∠ AOB = 40°$，
$\therefore ∠ AOC = 40°$，
又$\because ∠ ADC$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，$∠ AOC$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角，
根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，
$\therefore ∠ ADC = \frac{1}{2}∠ AOC = \frac{1}{2} × 40° = 20°$。
【答案】
$20°$
【知识点】
等弧对等圆心角；圆周角定理
【点评】
本题是圆的基础性质应用题，核心是理清同一段弧对应的圆心角和圆周角的数量关系，熟练掌握相关定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
10. 如图，MN是$\odot O$的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧AN的中点，点P是直径MN上一动点. 连接AB，AP，BP. 若$MN=2\sqrt{2}$，$AB=\sqrt{3}-1$，则$△ PAB$的周长的最小值是
$\sqrt{3}+1$
.答案
10. $\sqrt{3}+1$
解析
【分析】
要计算△PAB周长的最小值，首先拆分周长：△PAB的周长=AB+AP+BP，其中AB是已知定值，因此只需找到AP+BP的最小值即可。根据轴对称求最短路径的思路，作点A关于直径MN的对称点A'，由圆的对称性可知A'在⊙O上，此时AP=A'P，因此AP+BP转化为A'P+BP，当A'、P、B三点共线时，A'P+BP最小，等于线段A'B的长度，后续结合圆的角度性质和勾股定理计算A'B的长度，再加AB的长度即可得到周长最小值。
【解析】
1. 分析周长构成：△PAB的周长$=AB+AP+BP$，已知$AB=\sqrt{3}-1$为定值，因此只需使$AP+BP$取得最小值，即可得到周长的最小值。
2. 作对称点转化线段：作点A关于直径MN的对称点$A'$，根据圆的对称性，$A'$在$\odot O$上，连接$A'B$，与MN交于点P，此时$AP=A'P$，因此$AP+BP=A'P+BP=A'B$，即$A'B$为$AP+BP$的最小值。
3. 计算$∠ A'OB$的度数：
∵MN是$\odot O$的直径，点A是半圆上的三等分点，
∴$∠ AON=180°÷3=60°$，由对称性质得$∠ A'ON=∠ AON=60°$。
∵点B是劣弧AN的中点，
∴$∠ BON=\frac{1}{2}∠ AON=30°$。
∴$∠ A'OB=∠ A'ON+∠ BON=60°+30°=90°$。
4. 计算$A'B$的长度：
已知$MN=2\sqrt{2}$，则$\odot O$的半径为$\sqrt{2}$，即$OA'=OB=\sqrt{2}$。
在$Rt△ A'OB$中，由勾股定理得：
$A'B=\sqrt{OA'^2+OB^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{4}=2$。
5. 计算周长最小值：
$△ PAB$周长的最小值$=AB+A'B=(\sqrt{3}-1)+2=\sqrt{3}+1$。
【答案】
$\sqrt{3}+1$
【知识点】
轴对称最短路径，圆的性质，勾股定理
【点评】
本题是最短路径问题与圆性质结合的经典题型，解题核心是通过轴对称将两条线段和转化为单条线段长度，再结合圆的角度计算和勾股定理求解，对学生的转化思维有一定要求。
【难度系数】
0.65
要计算△PAB周长的最小值，首先拆分周长：△PAB的周长=AB+AP+BP，其中AB是已知定值，因此只需找到AP+BP的最小值即可。根据轴对称求最短路径的思路，作点A关于直径MN的对称点A'，由圆的对称性可知A'在⊙O上，此时AP=A'P，因此AP+BP转化为A'P+BP，当A'、P、B三点共线时，A'P+BP最小，等于线段A'B的长度，后续结合圆的角度性质和勾股定理计算A'B的长度，再加AB的长度即可得到周长最小值。
【解析】
1. 分析周长构成：△PAB的周长$=AB+AP+BP$，已知$AB=\sqrt{3}-1$为定值，因此只需使$AP+BP$取得最小值，即可得到周长的最小值。
2. 作对称点转化线段：作点A关于直径MN的对称点$A'$，根据圆的对称性，$A'$在$\odot O$上，连接$A'B$，与MN交于点P，此时$AP=A'P$，因此$AP+BP=A'P+BP=A'B$，即$A'B$为$AP+BP$的最小值。
3. 计算$∠ A'OB$的度数：
∵MN是$\odot O$的直径，点A是半圆上的三等分点，
∴$∠ AON=180°÷3=60°$，由对称性质得$∠ A'ON=∠ AON=60°$。
∵点B是劣弧AN的中点，
∴$∠ BON=\frac{1}{2}∠ AON=30°$。
∴$∠ A'OB=∠ A'ON+∠ BON=60°+30°=90°$。
4. 计算$A'B$的长度：
已知$MN=2\sqrt{2}$，则$\odot O$的半径为$\sqrt{2}$，即$OA'=OB=\sqrt{2}$。
在$Rt△ A'OB$中，由勾股定理得：
$A'B=\sqrt{OA'^2+OB^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{4}=2$。
5. 计算周长最小值：
$△ PAB$周长的最小值$=AB+A'B=(\sqrt{3}-1)+2=\sqrt{3}+1$。
【答案】
$\sqrt{3}+1$
【知识点】
轴对称最短路径，圆的性质，勾股定理
【点评】
本题是最短路径问题与圆性质结合的经典题型，解题核心是通过轴对称将两条线段和转化为单条线段长度，再结合圆的角度计算和勾股定理求解，对学生的转化思维有一定要求。
【难度系数】
0.65
11. 如图，以$△ ABC$的边AB为直径的$\odot O$分别交AC，BC于点D，E. 连接ED，且$ED=EC$.
(1) 求证：$AB=AC$；
(2) 若$AB=4$，$BC=2\sqrt{3}$，求CD的长.
(1) 求证：$AB=AC$；
(2) 若$AB=4$，$BC=2\sqrt{3}$，求CD的长.
答案
11. (1) 证明 因为$ED=EC$，
所以$∠C=∠EDC$。
因为$∠EDC + ∠ADE = 180°$，$∠B + ∠ADE = 180°$，所以$∠EDC = ∠B$。所以$∠C=∠B$。所以$AB=AC$。
(2) 解 如图，连接BD。因为AB为$\odot O$的直径，所以$BD ⊥ AC$。设$CD=a$。
由(1)知$AC=AB=4$。则$AD=4-a$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，得$BD^2 = AB^2 - AD^2 = 4^2 - (4-a)^2$。在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$BD^2 = BC^2 - CD^2 = (2\sqrt{3})^2 - a^2$。
所以$4^2 - (4-a)^2 = (2\sqrt{3})^2 - a^2$。
解得$a=\frac{3}{2}$。所以CD的长为$\frac{3}{2}$。
解析
【分析】
(1) 要证$AB=AC$，根据等腰三角形“等角对等边”的判定，只需证明$∠B=∠C$。首先由$ED=EC$可得$∠C=∠EDC$；再结合圆内接四边形对角互补的性质，可推出$∠EDC=∠B$，等量代换得到$∠B=∠C$，即可完成证明。
(2) 求CD的长度时，看到AB是圆的直径，联想到“直径所对的圆周角是直角”，因此连接BD构造直角三角形。BD是$\mathrm{Rt}△ABD$和$\mathrm{Rt}△BCD$的公共边，我们可以设CD的长度为未知数，分别在两个直角三角形中用勾股定理表示出$BD^2$，构造方程求解即可得到CD的长。
【解析】
(1) 证明：
∵ $ED=EC$，
∴ $∠C=∠EDC$。
∵ 四边形ABED是$\odot O$的内接四边形，
∴ $∠B + ∠ADE = 180°$，
又
∵ $∠EDC + ∠ADE = 180°$，
∴ $∠EDC = ∠B$，
∴ $∠C=∠B$，
∴ $AB=AC$。
(2) 解：
如图，连接BD。
∵ AB为$\odot O$的直径，
∴ $∠ADB=90°$，即$BD ⊥ AC$。
设$CD=a$，
由(1)知$AC=AB=4$，则$AD=4-a$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$BD^2 = AB^2 - AD^2 = 4^2 - (4-a)^2$，
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，由勾股定理得：
$BD^2 = BC^2 - CD^2 = (2\sqrt{3})^2 - a^2$，
∴ $4^2 - (4-a)^2 = (2\sqrt{3})^2 - a^2$，
解得$a=\frac{3}{2}$，即CD的长为$\frac{3}{2}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) CD的长为$\boldsymbol{\frac{3}{2}}$。
【知识点】
等腰三角形判定，圆内接四边形性质，勾股定理
【点评】
本题属于圆与三角形结合的常规题型，核心考查圆的基本性质和三角形相关定理的应用，解题时注意构造直径所对的直角这一常用辅助线，第二问用到的方程思想是几何线段计算中的常用方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
(1) 要证$AB=AC$，根据等腰三角形“等角对等边”的判定，只需证明$∠B=∠C$。首先由$ED=EC$可得$∠C=∠EDC$；再结合圆内接四边形对角互补的性质，可推出$∠EDC=∠B$，等量代换得到$∠B=∠C$，即可完成证明。
(2) 求CD的长度时，看到AB是圆的直径，联想到“直径所对的圆周角是直角”，因此连接BD构造直角三角形。BD是$\mathrm{Rt}△ABD$和$\mathrm{Rt}△BCD$的公共边，我们可以设CD的长度为未知数，分别在两个直角三角形中用勾股定理表示出$BD^2$，构造方程求解即可得到CD的长。
【解析】
(1) 证明：
∵ $ED=EC$，
∴ $∠C=∠EDC$。
∵ 四边形ABED是$\odot O$的内接四边形，
∴ $∠B + ∠ADE = 180°$，
又
∵ $∠EDC + ∠ADE = 180°$，
∴ $∠EDC = ∠B$，
∴ $∠C=∠B$，
∴ $AB=AC$。
(2) 解：
如图，连接BD。
∵ AB为$\odot O$的直径，
∴ $∠ADB=90°$，即$BD ⊥ AC$。
设$CD=a$，
由(1)知$AC=AB=4$，则$AD=4-a$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$BD^2 = AB^2 - AD^2 = 4^2 - (4-a)^2$，
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，由勾股定理得：
$BD^2 = BC^2 - CD^2 = (2\sqrt{3})^2 - a^2$，
∴ $4^2 - (4-a)^2 = (2\sqrt{3})^2 - a^2$，
解得$a=\frac{3}{2}$，即CD的长为$\frac{3}{2}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) CD的长为$\boldsymbol{\frac{3}{2}}$。
【知识点】
等腰三角形判定，圆内接四边形性质，勾股定理
【点评】
本题属于圆与三角形结合的常规题型，核心考查圆的基本性质和三角形相关定理的应用，解题时注意构造直径所对的直角这一常用辅助线，第二问用到的方程思想是几何线段计算中的常用方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
