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1. 在下列图形中，$∠ ABC$ 是圆周角的是（
C
）答案
1. C
解析
【分析】
要判断∠ABC是否为圆周角，需紧扣圆周角的两个判定条件：①角的顶点在圆上；②角的两条边都与圆相交（即两条边除顶点外，各有另一个交点在圆上）。我们只需逐一对照这两个条件判断每个选项即可：首先看顶点是否在圆上，排除顶点不在圆上的选项；再看剩余选项的角的两边是否都与圆相交，最终选出符合条件的选项。
【解析】
根据圆周角的定义：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角，逐个分析选项：
选项A：∠ABC的顶点B在圆内，不满足“顶点在圆上”的条件，不是圆周角；
选项B：∠ABC的边AB、BC与圆都只有一个公共点B，不满足“两边都与圆相交”的条件，不是圆周角；
选项C：∠ABC的顶点B在圆上，边AB交圆于点A，边BC交圆于点C，完全符合圆周角的定义，是圆周角；
选项D：∠ABC的边AB与圆只有一个公共点B，不满足“两边都与圆相交”的条件，不是圆周角。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
圆周角的定义
【点评】
本题属于基础概念题，解题的核心是准确掌握圆周角的两个判定要素，做题时只要逐个验证要素就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8
要判断∠ABC是否为圆周角，需紧扣圆周角的两个判定条件：①角的顶点在圆上；②角的两条边都与圆相交（即两条边除顶点外，各有另一个交点在圆上）。我们只需逐一对照这两个条件判断每个选项即可：首先看顶点是否在圆上，排除顶点不在圆上的选项；再看剩余选项的角的两边是否都与圆相交，最终选出符合条件的选项。
【解析】
根据圆周角的定义：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角，逐个分析选项：
选项A：∠ABC的顶点B在圆内，不满足“顶点在圆上”的条件，不是圆周角；
选项B：∠ABC的边AB、BC与圆都只有一个公共点B，不满足“两边都与圆相交”的条件，不是圆周角；
选项C：∠ABC的顶点B在圆上，边AB交圆于点A，边BC交圆于点C，完全符合圆周角的定义，是圆周角；
选项D：∠ABC的边AB与圆只有一个公共点B，不满足“两边都与圆相交”的条件，不是圆周角。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
圆周角的定义
【点评】
本题属于基础概念题，解题的核心是准确掌握圆周角的两个判定要素，做题时只要逐个验证要素就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8
2. 如图，以O为中心点的量角器与直角三角尺ABC摆放在一起，量角器的0刻度线与斜边AB重合. 点D为斜边AB上一点，作射线CD交$\overset{\frown}{AB}$于点E，如果点E处量角器的读数为$50°$，那么$∠ BDE$的大小为（
A.$100°$
B.$110°$
C.$115°$
D.$130°$
2题图 3题图
B
）A.$100°$
B.$110°$
C.$115°$
D.$130°$
2题图 3题图
答案
2. B
解析
【分析】
解题思路可分为三步：①先挖掘隐含条件：直角三角尺ABC中∠ACB=90°，量角器以O为中心且0刻度线与AB重合，可知AB是⊙O的直径，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可推出C在⊙O上，即A、B、C、E四点共圆；②根据点E的读数得到圆心角∠AOE=50°，结合圆周角定理求出∠BCE的度数；③结合等腰直角三角尺的锐角为45°，利用三角形内角和求出∠BDC的度数，再根据邻补角的性质即可求出∠BDE的大小。
【解析】
连接OC、OE：
1. 因为Rt△ABC中∠ACB=90°，O是AB中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得OC=OA=OB，又OE是量角器的半径，即OE=OA=OB，因此A、B、C、E四点均在以O为圆心、AB为直径的圆上。
2. 已知点E处量角器读数为50°，即圆心角∠AOE=50°，因此弧BE的度数为180°-50°=130°。
3. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得弧BE对应的圆周角∠BCE=½×130°=65°。
4. 三角尺ABC为等腰直角三角尺，因此∠ABC=45°。
5. 在△BCD中，由三角形内角和为180°，得∠BDC=180°-∠BCE-∠ABC=180°-65°-45°=70°。
6. 因为∠BDE与∠BDC互为邻补角，所以∠BDE=180°-∠BDC=180°-70°=110°。
【答案】
B
【知识点】
1. 圆周角定理
2. 直角三角形斜边中线性质
3. 邻补角定义
【点评】
本题综合考查了圆的相关性质与三角形的基础知识，解题的关键是判断出A、B、C、E四点共圆，将量角器的读数转化为圆心角的度数，再逐步推导所求角，能较好地考查学生对基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解题思路可分为三步：①先挖掘隐含条件：直角三角尺ABC中∠ACB=90°，量角器以O为中心且0刻度线与AB重合，可知AB是⊙O的直径，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可推出C在⊙O上，即A、B、C、E四点共圆；②根据点E的读数得到圆心角∠AOE=50°，结合圆周角定理求出∠BCE的度数；③结合等腰直角三角尺的锐角为45°，利用三角形内角和求出∠BDC的度数，再根据邻补角的性质即可求出∠BDE的大小。
【解析】
连接OC、OE：
1. 因为Rt△ABC中∠ACB=90°，O是AB中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得OC=OA=OB，又OE是量角器的半径，即OE=OA=OB，因此A、B、C、E四点均在以O为圆心、AB为直径的圆上。
2. 已知点E处量角器读数为50°，即圆心角∠AOE=50°，因此弧BE的度数为180°-50°=130°。
3. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得弧BE对应的圆周角∠BCE=½×130°=65°。
4. 三角尺ABC为等腰直角三角尺，因此∠ABC=45°。
5. 在△BCD中，由三角形内角和为180°，得∠BDC=180°-∠BCE-∠ABC=180°-65°-45°=70°。
6. 因为∠BDE与∠BDC互为邻补角，所以∠BDE=180°-∠BDC=180°-70°=110°。
【答案】
B
【知识点】
1. 圆周角定理
2. 直角三角形斜边中线性质
3. 邻补角定义
【点评】
本题综合考查了圆的相关性质与三角形的基础知识，解题的关键是判断出A、B、C、E四点共圆，将量角器的读数转化为圆心角的度数，再逐步推导所求角，能较好地考查学生对基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
3. 如图，AC，BC为$\odot O$的弦，连接OA，OB，OC. 若$∠ AOB = 40°$，$∠ OCA = 30°$，则$∠ BCO$的度数为（
A.$40°$
B.$45°$
C.$50°$
D.$55°$
C
）A.$40°$
B.$45°$
C.$50°$
D.$55°$
答案
3. C
解析
【分析】
解题时首先要挖掘圆的隐含性质：圆的所有半径相等，由此可得△OAC和△OBC均为等腰三角形。第一步先在等腰△OAC中，利用已知底角∠OCA的度数，结合三角形内角和定理求出顶角∠AOC的度数；第二步用∠AOC减去已知的∠AOB的度数，得到∠BOC的度数；最后在等腰△OBC中，再次利用三角形内角和定理计算底角∠BCO的度数即可。
【解析】
解：
∵OA、OC都是⊙O的半径
∴OA=OC，△OAC为等腰三角形
∴∠OAC=∠OCA=30°
根据三角形内角和为180°，可得：
∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=180°-30°-30°=120°
已知∠AOB=40°，则：
∠BOC=∠AOC-∠AOB=120°-40°=80°
又
∵OB、OC都是⊙O的半径
∴OB=OC，△OBC为等腰三角形，∠BCO=∠OBC
∴∠BCO=(180°-∠BOC)÷2=(180°-80°)÷2=50°
【答案】
C
【知识点】
圆的基本性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题核心是灵活运用圆半径相等的隐含条件，结合等腰三角形和三角形内角和的基础知识点求解，解题的关键是先求出∠BOC的度数。
【难度系数】
0.7
解题时首先要挖掘圆的隐含性质：圆的所有半径相等，由此可得△OAC和△OBC均为等腰三角形。第一步先在等腰△OAC中，利用已知底角∠OCA的度数，结合三角形内角和定理求出顶角∠AOC的度数；第二步用∠AOC减去已知的∠AOB的度数，得到∠BOC的度数；最后在等腰△OBC中，再次利用三角形内角和定理计算底角∠BCO的度数即可。
【解析】
解：
∵OA、OC都是⊙O的半径
∴OA=OC，△OAC为等腰三角形
∴∠OAC=∠OCA=30°
根据三角形内角和为180°，可得：
∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=180°-30°-30°=120°
已知∠AOB=40°，则：
∠BOC=∠AOC-∠AOB=120°-40°=80°
又
∵OB、OC都是⊙O的半径
∴OB=OC，△OBC为等腰三角形，∠BCO=∠OBC
∴∠BCO=(180°-∠BOC)÷2=(180°-80°)÷2=50°
【答案】
C
【知识点】
圆的基本性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题核心是灵活运用圆半径相等的隐含条件，结合等腰三角形和三角形内角和的基础知识点求解，解题的关键是先求出∠BOC的度数。
【难度系数】
0.7
4. 如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，延长CO交$\odot O$于点E，连接BE。若$∠ A = 110°$，$∠ E = 70°$，则$∠ OCD$的度数是（
A.$40°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$70°$
B
）A.$40°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$70°$
答案
4. B
解析
【分析】
解题可按三步推导：第一步，看到四边形内接于圆，优先用圆内接四边形对角互补的性质，结合已知∠A的度数求出∠BCD的度数；第二步，CE是延长CO得到的弦，即CE为圆的直径，根据直径所对的圆周角是直角，结合已知∠E的度数求出∠BCE的度数；第三步，观察角度关系，∠BCD由∠BCE和∠OCD组成，用∠BCD减去∠BCE即可得到∠OCD的度数。
【解析】
1. 因为四边形ABCD内接于$\odot O$，根据圆内接四边形对角互补，可得$∠ A + ∠ BCD = 180°$，已知$∠ A=110°$，所以$∠ BCD=180°-110°=70°$。
2. CE是$\odot O$的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得$∠ EBC=90°$。在$Rt△ EBC$中，$∠ E=70°$，所以$∠ BCE=90°-∠ E=90°-70°=20°$。
3. 因为$∠ BCD=∠ BCE+∠ OCD$，所以$∠ OCD=∠ BCD-∠ BCE=70°-20°=50°$。
【答案】
B
【知识点】
圆内接四边形的性质、圆周角定理、直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础的圆周角相关角度计算题，需要熟练掌握圆内接四边形性质和圆周角定理的推论，解题时先找直径对应的直角，再结合角度和差关系推导即可。
【难度系数】
0.7
解题可按三步推导：第一步，看到四边形内接于圆，优先用圆内接四边形对角互补的性质，结合已知∠A的度数求出∠BCD的度数；第二步，CE是延长CO得到的弦，即CE为圆的直径，根据直径所对的圆周角是直角，结合已知∠E的度数求出∠BCE的度数；第三步，观察角度关系，∠BCD由∠BCE和∠OCD组成，用∠BCD减去∠BCE即可得到∠OCD的度数。
【解析】
1. 因为四边形ABCD内接于$\odot O$，根据圆内接四边形对角互补，可得$∠ A + ∠ BCD = 180°$，已知$∠ A=110°$，所以$∠ BCD=180°-110°=70°$。
2. CE是$\odot O$的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得$∠ EBC=90°$。在$Rt△ EBC$中，$∠ E=70°$，所以$∠ BCE=90°-∠ E=90°-70°=20°$。
3. 因为$∠ BCD=∠ BCE+∠ OCD$，所以$∠ OCD=∠ BCD-∠ BCE=70°-20°=50°$。
【答案】
B
【知识点】
圆内接四边形的性质、圆周角定理、直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础的圆周角相关角度计算题，需要熟练掌握圆内接四边形性质和圆周角定理的推论，解题时先找直径对应的直角，再结合角度和差关系推导即可。
【难度系数】
0.7
5. 如图，四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，$BC = CD$，$∠ C = 120°$，$∠ D = 80°$，则$∠ AOB$的度数为（
A.$100°$
B.$115°$
C.$120°$
D.$135°$
A
）A.$100°$
B.$115°$
C.$120°$
D.$135°$
答案
5. A
解析
【分析】
要计算圆心角∠AOB的度数，根据圆心角与所对弧度数相等的性质，只需先求出弧AB的度数即可。解题思路如下：1. 利用圆内接四边形对角互补的性质，求出∠BAD的度数；2. 结合圆周角定理，得到∠BAD所对弧BCD的度数；3. 由BC=CD推出弧BC与弧CD相等，进而求出弧BC的度数；4. 再根据∠ADC的度数，求出它所对弧ABC的度数，用弧ABC的度数减去弧BC的度数，即可得到弧AB的度数，也就得到了∠AOB的度数。
【解析】
解：
1.
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，圆内接四边形对角互补
∴ ∠BAD + ∠BCD = 180°
已知∠BCD=120°，代入得：∠BAD = 180° - 120° = 60°
2. 根据圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，∠BAD所对的弧为弧BCD
∴ 弧BCD的度数 = 2×∠BAD = 2×60° = 120°
3.
∵ BC=CD，相等的弦所对的劣弧相等
∴ 弧BC = 弧CD = 120°÷2 = 60°
4. 已知∠ADC=80°，∠ADC所对的弧为弧ABC
∴ 弧ABC的度数 = 2×∠ADC = 2×80° = 160°
5. 又
∵ 弧ABC的度数 = 弧AB的度数 + 弧BC的度数
∴ 弧AB的度数 = 160° - 60° = 100°
6. 圆心角的度数等于其所对弧的度数，因此∠AOB = 100°
【答案】
A
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；圆心角弧弦的关系
【点评】
本题是圆的性质综合基础题，解题的关键是理清圆周角、圆心角、弧、弦之间的对应关系，结合已知条件逐步推导即可得到结果。
【难度系数】
0.7
要计算圆心角∠AOB的度数，根据圆心角与所对弧度数相等的性质，只需先求出弧AB的度数即可。解题思路如下：1. 利用圆内接四边形对角互补的性质，求出∠BAD的度数；2. 结合圆周角定理，得到∠BAD所对弧BCD的度数；3. 由BC=CD推出弧BC与弧CD相等，进而求出弧BC的度数；4. 再根据∠ADC的度数，求出它所对弧ABC的度数，用弧ABC的度数减去弧BC的度数，即可得到弧AB的度数，也就得到了∠AOB的度数。
【解析】
解：
1.
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，圆内接四边形对角互补
∴ ∠BAD + ∠BCD = 180°
已知∠BCD=120°，代入得：∠BAD = 180° - 120° = 60°
2. 根据圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，∠BAD所对的弧为弧BCD
∴ 弧BCD的度数 = 2×∠BAD = 2×60° = 120°
3.
∵ BC=CD，相等的弦所对的劣弧相等
∴ 弧BC = 弧CD = 120°÷2 = 60°
4. 已知∠ADC=80°，∠ADC所对的弧为弧ABC
∴ 弧ABC的度数 = 2×∠ADC = 2×80° = 160°
5. 又
∵ 弧ABC的度数 = 弧AB的度数 + 弧BC的度数
∴ 弧AB的度数 = 160° - 60° = 100°
6. 圆心角的度数等于其所对弧的度数，因此∠AOB = 100°
【答案】
A
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；圆心角弧弦的关系
【点评】
本题是圆的性质综合基础题，解题的关键是理清圆周角、圆心角、弧、弦之间的对应关系，结合已知条件逐步推导即可得到结果。
【难度系数】
0.7
6. 如图，AB是$\odot O$的直径，CD是$\odot O$的弦. 若$∠ DCB=45°$，$AD=1$，则$AB=$
$\sqrt{2}$
. 答案
6. $\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题时先结合已知条件和图形特征思考：首先，∠DCB和∠DAB都是弧BD所对的圆周角，根据同弧所对圆周角相等，可得∠DAB=∠DCB=45°；其次，AB是圆的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可知∠ADB=90°，由此可判断△ADB是等腰直角三角形，已知直角边AD的长度，用勾股定理即可求出斜边AB的长度。
【解析】
解：
∵ 同弧BD所对的圆周角相等，
∴ $∠ DAB = ∠ DCB = 45°$，
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ADB = 90°$（直径所对的圆周角为直角），
∴ $△ ADB$为等腰直角三角形，$BD = AD = 1$，
由勾股定理得：
$AB = \sqrt{AD^2 + BD^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
同弧所对圆周角相等；直径所对圆周角为直角；勾股定理
【点评】
本题是圆周角性质的基础应用题型，解题的关键是通过圆周角定理的推论得到等腰直角三角形，再结合勾股定理计算线段长度，是圆中求线段长度的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知条件和图形特征思考：首先，∠DCB和∠DAB都是弧BD所对的圆周角，根据同弧所对圆周角相等，可得∠DAB=∠DCB=45°；其次，AB是圆的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可知∠ADB=90°，由此可判断△ADB是等腰直角三角形，已知直角边AD的长度，用勾股定理即可求出斜边AB的长度。
【解析】
解：
∵ 同弧BD所对的圆周角相等，
∴ $∠ DAB = ∠ DCB = 45°$，
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ADB = 90°$（直径所对的圆周角为直角），
∴ $△ ADB$为等腰直角三角形，$BD = AD = 1$，
由勾股定理得：
$AB = \sqrt{AD^2 + BD^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
同弧所对圆周角相等；直径所对圆周角为直角；勾股定理
【点评】
本题是圆周角性质的基础应用题型，解题的关键是通过圆周角定理的推论得到等腰直角三角形，再结合勾股定理计算线段长度，是圆中求线段长度的典型题型。
【难度系数】
0.7
