登录
1. 下图中∠ACB是圆心角的是(
B
) 答案
1. B
解析
【分析】
要判断哪个角是圆心角，首先要明确圆心角的判定条件：①角的顶点必须在圆的圆心位置；②角的两条边都要和圆相交。我们只需要对照这两个条件逐一检查四个选项里的∠ACB即可。
【解析】
根据圆心角的定义：顶点在圆心，且两边均与圆相交的角叫做圆心角，对各选项逐一判断：
选项A：∠ACB的顶点C不在圆心处，不符合圆心角的定义，排除；
选项B：∠ACB的顶点C是圆心，两条边CA、CB分别与圆交于A、B两点，满足圆心角的全部判定条件；
选项C：∠ACB的顶点C不在圆心处，不符合圆心角的定义，排除；
选项D：∠ACB的顶点C不在圆心处，不符合圆心角的定义，排除。
【答案】
B
【知识点】
圆心角的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，只要准确掌握圆心角的判定要素就能快速解题，注意不要和圆周角的定义混淆。
【难度系数】
0.9
要判断哪个角是圆心角，首先要明确圆心角的判定条件：①角的顶点必须在圆的圆心位置；②角的两条边都要和圆相交。我们只需要对照这两个条件逐一检查四个选项里的∠ACB即可。
【解析】
根据圆心角的定义：顶点在圆心，且两边均与圆相交的角叫做圆心角，对各选项逐一判断：
选项A：∠ACB的顶点C不在圆心处，不符合圆心角的定义，排除；
选项B：∠ACB的顶点C是圆心，两条边CA、CB分别与圆交于A、B两点，满足圆心角的全部判定条件；
选项C：∠ACB的顶点C不在圆心处，不符合圆心角的定义，排除；
选项D：∠ACB的顶点C不在圆心处，不符合圆心角的定义，排除。
【答案】
B
【知识点】
圆心角的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，只要准确掌握圆心角的判定要素就能快速解题，注意不要和圆周角的定义混淆。
【难度系数】
0.9
2. 如图，在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{CD}$，$∠ AOB = 45°$，则$∠ COD$的度数为（
A.$30°$
B.$40°$
C.$45°$
D.$60°$
C
）A.$30°$
B.$40°$
C.$45°$
D.$60°$
答案
2. C
解析
【分析】
本题考查同圆中弧与圆心角的对应关系，解题时首先回忆相关定理：在同一个圆中，相等的弧所对的圆心角相等。结合题目给出的$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{CD}$的条件，可知两段弧对应的圆心角$∠ COD$和$∠ AOB$相等，再代入已知$∠ AOB$的度数即可直接得出结果。
【解析】
解：在$\odot O$中，根据同圆中圆心角与弧的关系定理：相等的弧所对的圆心角相等。
∵ $\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{CD}$，
∴ $∠ COD = ∠ AOB$，
又
∵ $∠ AOB = 45°$，
∴ $∠ COD = 45°$。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
同圆中等弧对等圆心角
【点评】
本题属于基础概念题，仅考查圆心角和对应弧的关系，无需复杂计算，牢记相关定理即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查同圆中弧与圆心角的对应关系，解题时首先回忆相关定理：在同一个圆中，相等的弧所对的圆心角相等。结合题目给出的$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{CD}$的条件，可知两段弧对应的圆心角$∠ COD$和$∠ AOB$相等，再代入已知$∠ AOB$的度数即可直接得出结果。
【解析】
解：在$\odot O$中，根据同圆中圆心角与弧的关系定理：相等的弧所对的圆心角相等。
∵ $\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{CD}$，
∴ $∠ COD = ∠ AOB$，
又
∵ $∠ AOB = 45°$，
∴ $∠ COD = 45°$。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
同圆中等弧对等圆心角
【点评】
本题属于基础概念题，仅考查圆心角和对应弧的关系，无需复杂计算，牢记相关定理即可快速作答。
【难度系数】
0.9
3. 如图，A，B是半径为2的$\odot O$上的两点，若$∠ AOB=120°$，C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，则四边形AOBC的周长为
8
。答案
3. 8
解析
【分析】
首先根据圆的基本性质，同圆的所有半径都相等，可先确定OA、OB、OC的长度都等于半径2；再利用弧中点的性质，等弧对应的圆心角相等，可推出∠AOC和∠BOC均为60°；最后结合“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”，判定△AOC和△BOC都是等边三角形，得到AC、BC的长度，将四边形四条边长度相加即可求出周长。
【解析】
解：
∵⊙O的半径为2，A、B、C都在⊙O上，
∴OA=OB=OC=2。
∵C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴∠AOC=∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOB。
又
∵∠AOB=120°，
∴∠AOC=∠BOC=60°。
在△AOC中，OA=OC且∠AOC=60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴AC=OA=2。
同理可证△BOC是等边三角形，BC=OB=2。
∴四边形AOBC的周长=OA+OB+BC+AC=2+2+2+2=8。
【答案】
8
【知识点】
圆的基本性质；等弧对等圆心角；等边三角形的判定
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是利用弧中点的性质得到相等的圆心角，进而判定出等边三角形求得未知边长，解题时结合图形梳理边角关系会更直观。
【难度系数】
0.8
首先根据圆的基本性质，同圆的所有半径都相等，可先确定OA、OB、OC的长度都等于半径2；再利用弧中点的性质，等弧对应的圆心角相等，可推出∠AOC和∠BOC均为60°；最后结合“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”，判定△AOC和△BOC都是等边三角形，得到AC、BC的长度，将四边形四条边长度相加即可求出周长。
【解析】
解：
∵⊙O的半径为2，A、B、C都在⊙O上，
∴OA=OB=OC=2。
∵C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴∠AOC=∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOB。
又
∵∠AOB=120°，
∴∠AOC=∠BOC=60°。
在△AOC中，OA=OC且∠AOC=60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴AC=OA=2。
同理可证△BOC是等边三角形，BC=OB=2。
∴四边形AOBC的周长=OA+OB+BC+AC=2+2+2+2=8。
【答案】
8
【知识点】
圆的基本性质；等弧对等圆心角；等边三角形的判定
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是利用弧中点的性质得到相等的圆心角，进而判定出等边三角形求得未知边长，解题时结合图形梳理边角关系会更直观。
【难度系数】
0.8
4. 已知弦AB把圆周分成1：5的两部分，则弦AB所对的圆心角的度数为
60°
。答案
4. 60°
解析
【分析】
解题时首先明确核心知识点：整个圆周对应的圆心角为周角360°，弦分圆周得到的两段弧的度数比等于它们各自所对的圆心角的度数比。已知弦AB分圆周的比例为1:5，我们可以先求出两段圆心角的总份数，再计算占1份的劣弧对应的圆心角度数，就是弦AB所对的圆心角的度数。
【解析】
解：
∵ 整个圆周对应的圆心角为周角，度数为360°，
弦AB把圆周分成1:5的两部分，即弦AB所对的两段弧的圆心角的度数比为1:5，
∴ 两段圆心角的总份数为1+5=6，
∴ 弦AB所对的圆心角（劣弧对应的圆心角）的度数为：$360° × \frac{1}{1+5}=60°$。
【答案】
60°
【知识点】
1. 弧与圆心角的关系
2. 周角的性质
【点评】
本题是基础类题型，核心考查圆心角和对应弧的比例关系，解题的关键是牢记周角为360°，结合题目给出的比例计算即可，不容易出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确核心知识点：整个圆周对应的圆心角为周角360°，弦分圆周得到的两段弧的度数比等于它们各自所对的圆心角的度数比。已知弦AB分圆周的比例为1:5，我们可以先求出两段圆心角的总份数，再计算占1份的劣弧对应的圆心角度数，就是弦AB所对的圆心角的度数。
【解析】
解：
∵ 整个圆周对应的圆心角为周角，度数为360°，
弦AB把圆周分成1:5的两部分，即弦AB所对的两段弧的圆心角的度数比为1:5，
∴ 两段圆心角的总份数为1+5=6，
∴ 弦AB所对的圆心角（劣弧对应的圆心角）的度数为：$360° × \frac{1}{1+5}=60°$。
【答案】
60°
【知识点】
1. 弧与圆心角的关系
2. 周角的性质
【点评】
本题是基础类题型，核心考查圆心角和对应弧的比例关系，解题的关键是牢记周角为360°，结合题目给出的比例计算即可，不容易出错。
【难度系数】
0.8
5. 如图，在$\odot O$中，弦AB与CD相交于点E，AB=CD，连接AD，BC. 求证：AE=CE. 
答案
5. 证明 因为 $AB=CD$，
所以$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
即$\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{AD}$。
所以$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$。所以 $AD=BC$。
在$△ ADE$ 和$△ CBE$ 中，
$\begin{cases}∠ ADE=∠ CBE,\\AD=CB,\\∠ A=∠ C,\end{cases}$
所以$△ ADE≌△ CBE$（ASA）。
所以 $AE=CE$。
所以$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
即$\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{AD}$。
所以$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$。所以 $AD=BC$。
在$△ ADE$ 和$△ CBE$ 中，
$\begin{cases}∠ ADE=∠ CBE,\\AD=CB,\\∠ A=∠ C,\end{cases}$
所以$△ ADE≌△ CBE$（ASA）。
所以 $AE=CE$。
解析
【分析】
要证明AE=CE，可通过证明AE、CE所在的$△ ADE$和$△ CBE$全等推导。首先结合已知条件AB=CD，利用同圆中相等的弦对应相等的弧，推出$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，减去公共弧$\overset{\frown}{AC}$可得$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，进而得到AD=BC；再根据同弧所对的圆周角相等，得到两组对应角相等，即可用ASA判定两个三角形全等，最终得到对应边相等。
【解析】
证明：$\because$在$\odot O$中，$AB=CD$，
$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
即$\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{AD}$，
$\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，$\therefore AD=BC$。
在$△ ADE$和$△ CBE$中，
$\begin{cases}∠ADE=∠CBE,\\AD=CB,\\∠A=∠C,\end{cases}$
$\therefore △ ADE≌△ CBE(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AE=CE$。
【答案】
$AE=CE$
【知识点】
弦与弧的关系，圆周角定理，全等三角形判定
【点评】
本题是圆的性质与三角形全等结合的基础题，解题的关键是利用弦相等推导得到等弧、等弦，为三角形全等创造条件，需要熟练掌握圆的基本性质和全等三角形的判定方法。
【难度系数】
0.7
要证明AE=CE，可通过证明AE、CE所在的$△ ADE$和$△ CBE$全等推导。首先结合已知条件AB=CD，利用同圆中相等的弦对应相等的弧，推出$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，减去公共弧$\overset{\frown}{AC}$可得$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，进而得到AD=BC；再根据同弧所对的圆周角相等，得到两组对应角相等，即可用ASA判定两个三角形全等，最终得到对应边相等。
【解析】
证明：$\because$在$\odot O$中，$AB=CD$，
$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
即$\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{AD}$，
$\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，$\therefore AD=BC$。
在$△ ADE$和$△ CBE$中，
$\begin{cases}∠ADE=∠CBE,\\AD=CB,\\∠A=∠C,\end{cases}$
$\therefore △ ADE≌△ CBE(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AE=CE$。
【答案】
$AE=CE$
【知识点】
弦与弧的关系，圆周角定理，全等三角形判定
【点评】
本题是圆的性质与三角形全等结合的基础题，解题的关键是利用弦相等推导得到等弧、等弦，为三角形全等创造条件，需要熟练掌握圆的基本性质和全等三角形的判定方法。
【难度系数】
0.7
6. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB = 90°$，$∠ A=26°$，以点$C$为圆心，$BC$为半径的圆分别交$AB$，$AC$于点$D$，$E$，则$∠ BCD$的度数为（
A.$26°$
B.$64°$
C.$52°$
D.$128°$
C
）A.$26°$
B.$64°$
C.$52°$
D.$128°$
答案
6. C
解析
【分析】
解题时先从已知直角三角形的内角条件入手：首先在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，利用直角三角形两锐角互余的性质求出$∠ B$的度数；再结合圆的半径相等，可得$CB=CD$，即$△ BCD$为等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等的性质得到$∠ CDB=∠ B$；最后利用三角形内角和为$180°$，即可算出$∠ BCD$的度数。
【解析】
1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=26°$，根据直角三角形两锐角互余可得：
$∠ B = 90° - ∠ A = 90° - 26° = 64°$
2. 因为$CB$、$CD$都是$\odot C$的半径，所以$CB=CD$，$△ BCD$是等腰三角形，因此：
$∠ CDB = ∠ B = 64°$
3. 在$△ BCD$中，根据三角形内角和为$180°$可得：
$∠ BCD = 180° - ∠ B - ∠ CDB = 180° - 64° - 64° = 52°$
【答案】
C
【知识点】
1. 直角三角形性质
2. 等腰三角形性质
3. 三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何综合题，将圆的基本性质和三角形内角相关性质结合考查，解题的核心是通过半径相等构造等腰三角形，再结合角度关系计算结果，是角度计算类的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知直角三角形的内角条件入手：首先在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，利用直角三角形两锐角互余的性质求出$∠ B$的度数；再结合圆的半径相等，可得$CB=CD$，即$△ BCD$为等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等的性质得到$∠ CDB=∠ B$；最后利用三角形内角和为$180°$，即可算出$∠ BCD$的度数。
【解析】
1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=26°$，根据直角三角形两锐角互余可得：
$∠ B = 90° - ∠ A = 90° - 26° = 64°$
2. 因为$CB$、$CD$都是$\odot C$的半径，所以$CB=CD$，$△ BCD$是等腰三角形，因此：
$∠ CDB = ∠ B = 64°$
3. 在$△ BCD$中，根据三角形内角和为$180°$可得：
$∠ BCD = 180° - ∠ B - ∠ CDB = 180° - 64° - 64° = 52°$
【答案】
C
【知识点】
1. 直角三角形性质
2. 等腰三角形性质
3. 三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何综合题，将圆的基本性质和三角形内角相关性质结合考查，解题的核心是通过半径相等构造等腰三角形，再结合角度关系计算结果，是角度计算类的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
7. 如图，AB为$\odot O$的直径，$△ PAB$的边$PA$，$PB$与$\odot O$的交点分别为$C$，$D$。若$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$，则$∠ P$的大小为
60°
。答案
7. 60°
解析
【分析】
解题时首先结合已知条件中三个弧相等的特征，联想到“同圆中等弧所对的圆心角相等”的性质；由于AB是圆的直径，对应总圆心角为180°，可先求出每段弧对应的圆心角度数；再连接OC、OD，利用半径相等可判定△AOC、△BOD为等边三角形，得到∠A和∠B的度数，最后利用三角形内角和即可求出∠P的大小。
【解析】
连接OC、OD。
∵AB为$\odot O$的直径，
∴$∠ AOB=180°$，
∵$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$，
∴$∠ AOC=∠ COD=∠ DOB=\frac{180°}{3}=60°$，
又
∵OA=OC，OB=OD（同圆半径相等），
∴$△ AOC$、$△ BOD$均为等边三角形，
∴$∠ A=60°$，$∠ B=60°$，
在$△ PAB$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ P=180°-∠ A-∠ B=180°-60°-60°=60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
圆心角与弧的关系；等边三角形的判定与性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是合理添加辅助线，利用等弧与圆心角的对应关系推导角度，结合等边三角形和三角形内角和的性质求解，对学生的基础几何应用能力有一定考查。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合已知条件中三个弧相等的特征，联想到“同圆中等弧所对的圆心角相等”的性质；由于AB是圆的直径，对应总圆心角为180°，可先求出每段弧对应的圆心角度数；再连接OC、OD，利用半径相等可判定△AOC、△BOD为等边三角形，得到∠A和∠B的度数，最后利用三角形内角和即可求出∠P的大小。
【解析】
连接OC、OD。
∵AB为$\odot O$的直径，
∴$∠ AOB=180°$，
∵$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$，
∴$∠ AOC=∠ COD=∠ DOB=\frac{180°}{3}=60°$，
又
∵OA=OC，OB=OD（同圆半径相等），
∴$△ AOC$、$△ BOD$均为等边三角形，
∴$∠ A=60°$，$∠ B=60°$，
在$△ PAB$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ P=180°-∠ A-∠ B=180°-60°-60°=60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
圆心角与弧的关系；等边三角形的判定与性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是合理添加辅助线，利用等弧与圆心角的对应关系推导角度，结合等边三角形和三角形内角和的性质求解，对学生的基础几何应用能力有一定考查。
【难度系数】
0.7
