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一、填空。
1. 把6米长的绳子平均分成5份，每份是这根绳的$\frac{( )}{( )}$，每份长$\frac{( )}{( )}$米。
1. 把6米长的绳子平均分成5份，每份是这根绳的$\frac{( )}{( )}$，每份长$\frac{( )}{( )}$米。
答案
1. $\frac{1}{5}$ $\frac{6}{5}$
解析
【分析】
这道题有两个问题，要注意区分两类问题的解法：①求每份是这根绳的几分之几，是求分率，需要把绳子的总长度看作单位“1”，用单位“1”除以平均分成的份数即可；②求每份长多少米，是求具体的长度，需要用绳子的实际总长度除以平均分成的份数。
【解析】
1. 求每份占这根绳的分率：
把这根绳子的总长度看作单位“1”，平均分成5份，每份占整体的：$1÷5=\frac{1}{5}$
2. 求每份的实际长度：
绳子总长度为6米，平均分成5份，每份的长度为：$6÷5=\frac{6}{5}$（米）
【答案】
$\frac{1}{5}$；$\frac{6}{5}$
【知识点】
1. 分数的意义
2. 分数与除法的关系
3. 分率与具体量的区分
【点评】
本题是分数相关的基础常考题，解题核心是明确求分率和求具体数量的差异：求分率时是把单位“1”进行平均分，结果不带单位；求具体数量时是把实际的总数量进行平均分，结果要带单位，理清二者区别即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
这道题有两个问题，要注意区分两类问题的解法：①求每份是这根绳的几分之几，是求分率，需要把绳子的总长度看作单位“1”，用单位“1”除以平均分成的份数即可；②求每份长多少米，是求具体的长度，需要用绳子的实际总长度除以平均分成的份数。
【解析】
1. 求每份占这根绳的分率：
把这根绳子的总长度看作单位“1”，平均分成5份，每份占整体的：$1÷5=\frac{1}{5}$
2. 求每份的实际长度：
绳子总长度为6米，平均分成5份，每份的长度为：$6÷5=\frac{6}{5}$（米）
【答案】
$\frac{1}{5}$；$\frac{6}{5}$
【知识点】
1. 分数的意义
2. 分数与除法的关系
3. 分率与具体量的区分
【点评】
本题是分数相关的基础常考题，解题核心是明确求分率和求具体数量的差异：求分率时是把单位“1”进行平均分，结果不带单位；求具体数量时是把实际的总数量进行平均分，结果要带单位，理清二者区别即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
2. 计算小数乘除法时,可以从计数单位的角度思考。例如,$0.3×0.2=(0.1×3)×(0.1×2)=(0.1×0.1)×(3×2)$。照这样计算,$0.18×0.6=( )×( )=( )×( )$
答案
2. $0.01×18$ $0.1×6$ $0.01×0.1$ $18×6$
解析
【分析】
解题时需按照题目给出的计数单位思路逐步推导：第一步先确定两个小数的计数单位，0.18的计数单位是0.01，它包含18个0.01，可写成$0.01×18$；0.6的计数单位是0.1，它包含6个0.1，可写成$0.1×6$。第二步仿照示例，利用乘法交换律和结合律，把计数单位部分和计数单位的个数部分分别组合，就能得到最终的式子。
【解析】
首先根据计数单位拆分两个乘数：
$0.18$是18个$0.01$，即$0.18=0.01×18$
$0.6$是6个$0.1$，即$0.6=0.1×6$
因此$0.18×0.6=(0.01×18)×(0.1×6)$
再根据乘法交换律、结合律重组：
$(0.01×18)×(0.1×6)=(0.01×0.1)×(18×6)$
将对应结果填入空格即可。
【答案】
$0.01×18$；$0.1×6$；$0.01×0.1$；$18×6$
【知识点】
小数计数单位；乘法运算定律；小数乘法算理
【点评】
本题从计数单位的本质出发考察小数乘法的原理，避免了死记硬背计算法则的机械学习模式，能很好地锻炼知识迁移和对运算本质的理解能力。
【难度系数】
0.7
解题时需按照题目给出的计数单位思路逐步推导：第一步先确定两个小数的计数单位，0.18的计数单位是0.01，它包含18个0.01，可写成$0.01×18$；0.6的计数单位是0.1，它包含6个0.1，可写成$0.1×6$。第二步仿照示例，利用乘法交换律和结合律，把计数单位部分和计数单位的个数部分分别组合，就能得到最终的式子。
【解析】
首先根据计数单位拆分两个乘数：
$0.18$是18个$0.01$，即$0.18=0.01×18$
$0.6$是6个$0.1$，即$0.6=0.1×6$
因此$0.18×0.6=(0.01×18)×(0.1×6)$
再根据乘法交换律、结合律重组：
$(0.01×18)×(0.1×6)=(0.01×0.1)×(18×6)$
将对应结果填入空格即可。
【答案】
$0.01×18$；$0.1×6$；$0.01×0.1$；$18×6$
【知识点】
小数计数单位；乘法运算定律；小数乘法算理
【点评】
本题从计数单位的本质出发考察小数乘法的原理，避免了死记硬背计算法则的机械学习模式，能很好地锻炼知识迁移和对运算本质的理解能力。
【难度系数】
0.7
3. 在○里填“＞”“＜”或“=”。
0.45×0.8 ○ 0.45 $\quad$ $\frac{11}{12}×\frac{8}{19}$ ○ $\frac{11}{12}$
$\frac{2}{3}$ ○ 0.66 $\quad$ 3.18÷1.9 ○ 3.18
$3×\frac{4}{5}$ ○ $4×\frac{3}{5}$ $\quad$ $\frac{5}{100}$米 ○ 3厘米
0.45×0.8 ○ 0.45 $\quad$ $\frac{11}{12}×\frac{8}{19}$ ○ $\frac{11}{12}$
$\frac{2}{3}$ ○ 0.66 $\quad$ 3.18÷1.9 ○ 3.18
$3×\frac{4}{5}$ ○ $4×\frac{3}{5}$ $\quad$ $\frac{5}{100}$米 ○ 3厘米
答案
3. ＜ ＜ ＞ ＜ = ＞
解析
【分析】
做这类大小比较题时，我们可以优先用运算规律快速判断，不用逐个计算：①一个非0数乘小于1的数，所得的积比原数小；②一个非0数除以大于1的数，所得的商比原数小。如果规律不适用，就通过分数小数互化、计算结果、统一单位等方法再比较。我们逐个分析每道题：
1. 第一、第二题符合乘小于1的数，直接用积的变化规律判断；
2. 第三题把分数化成小数再比较；
3. 第四题符合除以大于1的数，用商的变化规律判断；
4. 第五题分别计算两边的结果再比较；
5. 第六题先统一长度单位再比较。
【解析】
1. 比较0.45×0.8和0.45：0.8＜1，根据“一个非0数乘小于1的数，积小于原数，所以0.45×0.8 ＜ 0.45；
2. 比较$\frac{11}{12}×\frac{8}{19}$和$\frac{11}{12}$：$\frac{8}{19}$＜1，同理可得$\frac{11}{12}×\frac{8}{19}$ ＜ $\frac{11}{12}$；
3. 比较$\frac{2}{3}$和0.66：$\frac{2}{3}$≈0.666……，0.666……＞0.66，所以$\frac{2}{3}$ ＞ 0.66；
4. 比较3.18÷1.9和3.18：1.9＞1，根据“一个非0数除以大于1的数，商小于原数，所以3.18÷1.9 ＜ 3.18；
5. 比较$3×\frac{4}{5}$和$4×\frac{3}{5}$：左边$3×\frac{4}{5}=\frac{12}{5}$，右边$4×\frac{3}{5}=\frac{12}{5}$，所以$3×\frac{4}{5}$ = $4×\frac{3}{5}$；
6. 比较$\frac{5}{100}$米和3厘米：1米=100厘米，$\frac{5}{100}$米=5厘米，5厘米＞3厘米，所以$\frac{5}{100}$米 ＞ 3厘米。
【答案】
＜ ＜ ＞ ＜ = ＞
【知识点】
积的变化规律、商的变化规律、单位换算
【点评】
本题考查数的大小比较的常用方法，多数题目可以通过规律快速判断，既考查了对运算规律的掌握程度，也考查了分数小数互化、单位换算等基础能力，是比较综合的基础题型。
【难度系数】
0.8
做这类大小比较题时，我们可以优先用运算规律快速判断，不用逐个计算：①一个非0数乘小于1的数，所得的积比原数小；②一个非0数除以大于1的数，所得的商比原数小。如果规律不适用，就通过分数小数互化、计算结果、统一单位等方法再比较。我们逐个分析每道题：
1. 第一、第二题符合乘小于1的数，直接用积的变化规律判断；
2. 第三题把分数化成小数再比较；
3. 第四题符合除以大于1的数，用商的变化规律判断；
4. 第五题分别计算两边的结果再比较；
5. 第六题先统一长度单位再比较。
【解析】
1. 比较0.45×0.8和0.45：0.8＜1，根据“一个非0数乘小于1的数，积小于原数，所以0.45×0.8 ＜ 0.45；
2. 比较$\frac{11}{12}×\frac{8}{19}$和$\frac{11}{12}$：$\frac{8}{19}$＜1，同理可得$\frac{11}{12}×\frac{8}{19}$ ＜ $\frac{11}{12}$；
3. 比较$\frac{2}{3}$和0.66：$\frac{2}{3}$≈0.666……，0.666……＞0.66，所以$\frac{2}{3}$ ＞ 0.66；
4. 比较3.18÷1.9和3.18：1.9＞1，根据“一个非0数除以大于1的数，商小于原数，所以3.18÷1.9 ＜ 3.18；
5. 比较$3×\frac{4}{5}$和$4×\frac{3}{5}$：左边$3×\frac{4}{5}=\frac{12}{5}$，右边$4×\frac{3}{5}=\frac{12}{5}$，所以$3×\frac{4}{5}$ = $4×\frac{3}{5}$；
6. 比较$\frac{5}{100}$米和3厘米：1米=100厘米，$\frac{5}{100}$米=5厘米，5厘米＞3厘米，所以$\frac{5}{100}$米 ＞ 3厘米。
【答案】
＜ ＜ ＞ ＜ = ＞
【知识点】
积的变化规律、商的变化规律、单位换算
【点评】
本题考查数的大小比较的常用方法，多数题目可以通过规律快速判断，既考查了对运算规律的掌握程度，也考查了分数小数互化、单位换算等基础能力，是比较综合的基础题型。
【难度系数】
0.8
4. 先用分数表示图中涂色部分占整个图形的几分之几，再填空。
$\frac{(\quad)}{(\quad)}=12÷(\quad)=(\quad):12=(\quad)$(填小数)
$\frac{(\quad)}{(\quad)}=12÷(\quad)=(\quad):12=(\quad)$(填小数)
答案
4. $\frac{3}{4}$ 16 9 0.75
解析
【分析】
解题第一步先确定涂色部分占整个图形的分率：把大正方形看作单位“1”，观察图形分割方式，整个正方形被横竖中线分成4个完全相同的小正方形，右边2个小正方形全涂色，占整体的$\frac{2}{4}$；左边2个小正方形的涂色部分是2个三角形，面积之和恰好等于1个小正方形的面积，占整体的$\frac{1}{4}$，相加即可得到涂色部分总占比。接下来利用分数与除法、比的关系，结合分数的基本性质计算：分数的分子对应除法的被除数、比的前项，分母对应除法的除数、比的后项，分子扩大多少倍，分母也要扩大相同的倍数保证分数大小不变，最后用分子除以分母得到小数即可。
【解析】
1. 求涂色部分占比：
将大正方形面积看作单位“1”，右边2个全涂色的小正方形占$\frac{2}{4}$，左边涂色部分面积和为1个小正方形的面积，占$\frac{1}{4}$，因此涂色部分总占比为$\frac{2}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$。
2. 计算$12÷( )$：
根据分数与除法的关系$\frac{3}{4}=3÷4$，被除数3变为12扩大了4倍，除数4也需扩大4倍，$4×4=16$，即$\frac{3}{4}=12÷16$。
3. 计算$( ):12$：
根据分数与比的关系$\frac{3}{4}=3:4$，比的后项4变为12扩大了3倍，前项3也需扩大3倍，$3×3=9$，即$\frac{3}{4}=9:12$。
4. 计算小数：
$3÷4=0.75$。
【答案】
$\frac{3}{4}$；16；9；0.75
【知识点】
分数的意义；分数与除法、比的互化；分数化小数
【点评】
本题结合直观图形考查分数的意义，以及分数、除法、比和小数之间的转化，需要先准确判断涂色部分占比，再利用相关性质计算，能很好地考查学生对基础知识的掌握和灵活运用能力。
【难度系数】
0.75
解题第一步先确定涂色部分占整个图形的分率：把大正方形看作单位“1”，观察图形分割方式，整个正方形被横竖中线分成4个完全相同的小正方形，右边2个小正方形全涂色，占整体的$\frac{2}{4}$；左边2个小正方形的涂色部分是2个三角形，面积之和恰好等于1个小正方形的面积，占整体的$\frac{1}{4}$，相加即可得到涂色部分总占比。接下来利用分数与除法、比的关系，结合分数的基本性质计算：分数的分子对应除法的被除数、比的前项，分母对应除法的除数、比的后项，分子扩大多少倍，分母也要扩大相同的倍数保证分数大小不变，最后用分子除以分母得到小数即可。
【解析】
1. 求涂色部分占比：
将大正方形面积看作单位“1”，右边2个全涂色的小正方形占$\frac{2}{4}$，左边涂色部分面积和为1个小正方形的面积，占$\frac{1}{4}$，因此涂色部分总占比为$\frac{2}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$。
2. 计算$12÷( )$：
根据分数与除法的关系$\frac{3}{4}=3÷4$，被除数3变为12扩大了4倍，除数4也需扩大4倍，$4×4=16$，即$\frac{3}{4}=12÷16$。
3. 计算$( ):12$：
根据分数与比的关系$\frac{3}{4}=3:4$，比的后项4变为12扩大了3倍，前项3也需扩大3倍，$3×3=9$，即$\frac{3}{4}=9:12$。
4. 计算小数：
$3÷4=0.75$。
【答案】
$\frac{3}{4}$；16；9；0.75
【知识点】
分数的意义；分数与除法、比的互化；分数化小数
【点评】
本题结合直观图形考查分数的意义，以及分数、除法、比和小数之间的转化，需要先准确判断涂色部分占比，再利用相关性质计算，能很好地考查学生对基础知识的掌握和灵活运用能力。
【难度系数】
0.75
5. 用下图的方法测量圆的直径的依据是：（
）。
）。答案
5. 直径是圆内最长的线段
解析
【分析】
要推导该测量方法的依据，首先回忆圆的直径的相关特征：直径是两端都在圆上、且经过圆心的线段。我们的测量目标是得到圆的直径长度，而在所有两端都在圆上的线段中，直径是最长的，因此只要测量出圆内最长的两端在圆上的线段长度，就能得到直径，这就是思考本题的核心逻辑。
【解析】
圆中两端都落在圆周上的线段有无数条，其中最长的线段就是圆的直径，因此只要测量出圆内的最长线段的长度，即可得到圆的直径，这就是该测量方法的依据。
【答案】
直径是圆内最长的线段
【知识点】
圆的直径特征
【点评】
本题将圆的基础性质和实际测量操作结合，考查对几何图形基本特征的理解与应用能力，大家可以结合生活中的测量场景加深对圆相关性质的记忆。
【难度系数】
0.8
要推导该测量方法的依据，首先回忆圆的直径的相关特征：直径是两端都在圆上、且经过圆心的线段。我们的测量目标是得到圆的直径长度，而在所有两端都在圆上的线段中，直径是最长的，因此只要测量出圆内最长的两端在圆上的线段长度，就能得到直径，这就是思考本题的核心逻辑。
【解析】
圆中两端都落在圆周上的线段有无数条，其中最长的线段就是圆的直径，因此只要测量出圆内的最长线段的长度，即可得到圆的直径，这就是该测量方法的依据。
【答案】
直径是圆内最长的线段
【知识点】
圆的直径特征
【点评】
本题将圆的基础性质和实际测量操作结合，考查对几何图形基本特征的理解与应用能力，大家可以结合生活中的测量场景加深对圆相关性质的记忆。
【难度系数】
0.8
6. 做一套衣服需要用布1.6米，60米布可以做(
37
)套这样的衣服。一个箱子能装10套这样的衣服，装完这些衣服需要(4
)个箱子。答案
6. 37 4
解析
【分析】
这道题需要结合生活实际场景选择合适的取近似值的方法解题。第一步求能做多少套衣服，就是求60米里包含多少个1.6米，用除法计算，因为剩余的布如果不够做1套衣服，就要舍去，所以要用去尾法取整数商；第二步求需要多少个箱子，就是求总套数里包含多少个10套，同样用除法计算，因为剩余的衣服哪怕不足10套，也需要多1个箱子来装，所以要用进一法取整数商。
【解析】
1. 计算可以做的衣服套数：
求60米布能做多少套1.6米/套的衣服，列除法算式：
$60÷1.6 = 37.5$（套）
衣服套数必须是整数，剩余的0.5套对应的布不够做1套完整的衣服，所以舍去小数部分，得到可以做37套衣服。
2. 计算需要的箱子数量：
求37套衣服需要多少个能装10套的箱子，列除法算式：
$37÷10 = 3.7$（个）
箱子数量必须是整数，3个箱子只能装30套，剩余7套还需要1个箱子，所以向整数部分进1，得到需要4个箱子。
【答案】
37；4
【知识点】
小数除法计算；去尾法取近似值；进一法取近似值
【点评】
本题是小数除法的实际应用类题目，核心易错点是不能直接用四舍五入法取商的近似值，需要结合具体的生活场景判断选择去尾法还是进一法，做题时要多联系生活经验分析问题。
【难度系数】
0.7
这道题需要结合生活实际场景选择合适的取近似值的方法解题。第一步求能做多少套衣服，就是求60米里包含多少个1.6米，用除法计算，因为剩余的布如果不够做1套衣服，就要舍去，所以要用去尾法取整数商；第二步求需要多少个箱子，就是求总套数里包含多少个10套，同样用除法计算，因为剩余的衣服哪怕不足10套，也需要多1个箱子来装，所以要用进一法取整数商。
【解析】
1. 计算可以做的衣服套数：
求60米布能做多少套1.6米/套的衣服，列除法算式：
$60÷1.6 = 37.5$（套）
衣服套数必须是整数，剩余的0.5套对应的布不够做1套完整的衣服，所以舍去小数部分，得到可以做37套衣服。
2. 计算需要的箱子数量：
求37套衣服需要多少个能装10套的箱子，列除法算式：
$37÷10 = 3.7$（个）
箱子数量必须是整数，3个箱子只能装30套，剩余7套还需要1个箱子，所以向整数部分进1，得到需要4个箱子。
【答案】
37；4
【知识点】
小数除法计算；去尾法取近似值；进一法取近似值
【点评】
本题是小数除法的实际应用类题目，核心易错点是不能直接用四舍五入法取商的近似值，需要结合具体的生活场景判断选择去尾法还是进一法，做题时要多联系生活经验分析问题。
【难度系数】
0.7
7. 有三块边长都相等的正方形铁皮，分别按图中的方式剪下不同规格的圆片。每种剪法剪掉的圆片总面积(
相等
)。（填“相等”或“不相等”）答案
7. 相等
解析
【分析】
要判断三种剪法剪掉的圆片总面积是否相等，我们可以通过分步计算对比结果：首先因为三块正方形边长相等，我们可以给正方形边长设一个方便计算的具体数值；再分别找出每种剪法里圆的直径、半径，计算出对应剪法所有圆的总面积；最后对比三个总面积的大小即可得出结论。
【解析】
设正方形铁皮的边长为4厘米。
1. 计算第一种剪法的圆总面积：
圆的直径等于正方形边长4厘米，半径为 $4÷2=2$ 厘米
总面积 $S_1=3.14×2^2=12.56$ 平方厘米
2. 计算第二种剪法的圆总面积：
共4个相同的圆，每排摆2个，每个圆的直径为 $4÷2=2$ 厘米，半径为 $2÷2=1$ 厘米
总面积 $S_2=4×3.14×1^2=12.56$ 平方厘米
3. 计算第三种剪法的圆总面积：
共16个相同的圆，每排摆4个，每个圆的直径为 $4÷4=1$ 厘米，半径为 $1÷2=0.5$ 厘米
总面积 $S_3=16×3.14×0.5^2=12.56$ 平方厘米
对比可知 $S_1=S_2=S_3$，因此三种剪法剪掉的圆片总面积相等。
【答案】
相等
【知识点】
圆的面积计算、正方形特征、面积比较
【点评】
本题是几何中常见的面积比较类题型，解题核心是找准不同剪法中圆的直径与正方形边长的对应关系，通过设具体数值的方法可以简化计算过程，能有效锻炼学生的逻辑推理和运算能力。
【难度系数】
0.7
要判断三种剪法剪掉的圆片总面积是否相等，我们可以通过分步计算对比结果：首先因为三块正方形边长相等，我们可以给正方形边长设一个方便计算的具体数值；再分别找出每种剪法里圆的直径、半径，计算出对应剪法所有圆的总面积；最后对比三个总面积的大小即可得出结论。
【解析】
设正方形铁皮的边长为4厘米。
1. 计算第一种剪法的圆总面积：
圆的直径等于正方形边长4厘米，半径为 $4÷2=2$ 厘米
总面积 $S_1=3.14×2^2=12.56$ 平方厘米
2. 计算第二种剪法的圆总面积：
共4个相同的圆，每排摆2个，每个圆的直径为 $4÷2=2$ 厘米，半径为 $2÷2=1$ 厘米
总面积 $S_2=4×3.14×1^2=12.56$ 平方厘米
3. 计算第三种剪法的圆总面积：
共16个相同的圆，每排摆4个，每个圆的直径为 $4÷4=1$ 厘米，半径为 $1÷2=0.5$ 厘米
总面积 $S_3=16×3.14×0.5^2=12.56$ 平方厘米
对比可知 $S_1=S_2=S_3$，因此三种剪法剪掉的圆片总面积相等。
【答案】
相等
【知识点】
圆的面积计算、正方形特征、面积比较
【点评】
本题是几何中常见的面积比较类题型，解题核心是找准不同剪法中圆的直径与正方形边长的对应关系，通过设具体数值的方法可以简化计算过程，能有效锻炼学生的逻辑推理和运算能力。
【难度系数】
0.7
8. 如图，大正方形与小正方形的面积之差是11平方厘米，涂色圆环的面积是（
11π
）平方厘米。答案
8. $11π$
解析
【分析】
首先观察图形可得：大正方形的边长等于外圆的半径R，小正方形的边长等于内圆的半径r。已知大正方形与小正方形的面积差是11平方厘米，也就是$R^2 - r^2 = 11$。圆环的面积计算公式为$S = π(R^2 - r^2)$，不需要单独求出R和r的数值，直接将$R^2 - r^2$作为整体代入公式就能算出涂色圆环的面积。
【解析】
设外圆半径为$R$，内圆半径为$r$。
由图可知：大正方形边长 = 外圆半径$R$，小正方形边长 = 内圆半径$r$。
大正方形面积：$S_大 = R^2$，小正方形面积：$S_小 = r^2$。
根据题意：$S_大 - S_小 = 11\ \mathrm{cm}^2$，即$R^2 - r^2 = 11$。
圆环面积公式：$S_{圆环} = π(R^2 - r^2)$，将$R^2 - r^2 =11$代入得：
$S_{圆环} = π × 11 = 11π\ \mathrm{平方厘米}$
【答案】
$11π$
【知识点】
圆环面积计算、正方形面积计算、整体代入求值
【点评】
本题核心考查整体代入的解题思想，不需要分别求解两个半径的具体值，只需要利用已知条件得到半径平方的差，直接代入面积公式即可，避免了不必要的计算，能够提升学生对整体思想的运用能力。
【难度系数】
0.6
首先观察图形可得：大正方形的边长等于外圆的半径R，小正方形的边长等于内圆的半径r。已知大正方形与小正方形的面积差是11平方厘米，也就是$R^2 - r^2 = 11$。圆环的面积计算公式为$S = π(R^2 - r^2)$，不需要单独求出R和r的数值，直接将$R^2 - r^2$作为整体代入公式就能算出涂色圆环的面积。
【解析】
设外圆半径为$R$，内圆半径为$r$。
由图可知：大正方形边长 = 外圆半径$R$，小正方形边长 = 内圆半径$r$。
大正方形面积：$S_大 = R^2$，小正方形面积：$S_小 = r^2$。
根据题意：$S_大 - S_小 = 11\ \mathrm{cm}^2$，即$R^2 - r^2 = 11$。
圆环面积公式：$S_{圆环} = π(R^2 - r^2)$，将$R^2 - r^2 =11$代入得：
$S_{圆环} = π × 11 = 11π\ \mathrm{平方厘米}$
【答案】
$11π$
【知识点】
圆环面积计算、正方形面积计算、整体代入求值
【点评】
本题核心考查整体代入的解题思想，不需要分别求解两个半径的具体值，只需要利用已知条件得到半径平方的差，直接代入面积公式即可，避免了不必要的计算，能够提升学生对整体思想的运用能力。
【难度系数】
0.6
9. 一块地有$\frac{2}{3}$公顷，其中$\frac{3}{5}$种小麦，$\frac{1}{4}$种玉米，剩下的种青菜。种青菜的面积占这块地的$\frac{(\quad)}{(\quad)}$。
答案
9. $\frac{3}{20}$
解析
【分析】
解题时首先明确问题求的是种青菜的面积占这块地的分率，因此要把这块地的总面积看作单位“1”，题目给出的$\frac{2}{3}$公顷是这块地的具体面积，属于无关干扰条件，计算分率时不需要用到。解题思路为：用单位“1”依次减去种小麦的占比、种玉米的占比，即可得到种青菜的面积占比，计算异分母分数减法时先通分再计算。
【解析】
把这块地的总面积看作单位“1”。
$1-\frac{3}{5}-\frac{1}{4}$
$=\frac{20}{20}-\frac{12}{20}-\frac{5}{20}$
$=\frac{3}{20}$
【答案】
$\frac{3}{20}$
【知识点】
单位“1”的应用；异分母分数减法；分率计算
【点评】
本题容易出错的点是误将$\frac{2}{3}$公顷当作计算分率的条件，解题时要先区分分率和具体数量，找准单位“1”，计算异分母分数减法时注意先通分再计算，保证计算准确率。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确问题求的是种青菜的面积占这块地的分率，因此要把这块地的总面积看作单位“1”，题目给出的$\frac{2}{3}$公顷是这块地的具体面积，属于无关干扰条件，计算分率时不需要用到。解题思路为：用单位“1”依次减去种小麦的占比、种玉米的占比，即可得到种青菜的面积占比，计算异分母分数减法时先通分再计算。
【解析】
把这块地的总面积看作单位“1”。
$1-\frac{3}{5}-\frac{1}{4}$
$=\frac{20}{20}-\frac{12}{20}-\frac{5}{20}$
$=\frac{3}{20}$
【答案】
$\frac{3}{20}$
【知识点】
单位“1”的应用；异分母分数减法；分率计算
【点评】
本题容易出错的点是误将$\frac{2}{3}$公顷当作计算分率的条件，解题时要先区分分率和具体数量，找准单位“1”，计算异分母分数减法时注意先通分再计算，保证计算准确率。
【难度系数】
0.7
10. 2026年江苏省城市足球联赛的常规赛阶段，13支球队采用主客场单循环赛制(每两支球队之间只踢1场比赛)。整个常规赛阶段，一共要进行(
78
)场比赛。答案
10. 78
解析
【分析】
要计算单循环赛制的总比赛场数，首先明确赛制规则：每两支球队之间只踢1场比赛。我们可以先思考：每支球队要和除自身外的其余12支球队各赛1场，13支球队初步计算共会得到13×12场记录，但每场比赛会被参赛的两支球队各统计1次，也就是每场比赛被重复计算了1次，因此最终总场数需要把初步计算的结果除以2，就能得到实际的比赛总场数。
【解析】
第一步：计算每支球队需要参加的比赛场数：
$13 - 1 = 12$（场）
第二步：计算不考虑重复时的总记录场次：
$13 × 12 = 156$（场）
第三步：由于每场比赛被重复统计了1次，因此实际总场次为：
$156 ÷ 2 = 78$（场）
【答案】
78
【知识点】
1. 搭配问题
2. 单循环场次计算
3. 重复计数处理
【点评】
这道题是生活中常见的比赛场次计算类题型，解题核心是理解单循环赛制的规则，规避重复计数的误区，也可以类比数线段的方法来解题，把13支球队看作线段上的13个点，总场次就是所有点之间的线段总条数，逻辑是相通的。
【难度系数】
0.7
要计算单循环赛制的总比赛场数，首先明确赛制规则：每两支球队之间只踢1场比赛。我们可以先思考：每支球队要和除自身外的其余12支球队各赛1场，13支球队初步计算共会得到13×12场记录，但每场比赛会被参赛的两支球队各统计1次，也就是每场比赛被重复计算了1次，因此最终总场数需要把初步计算的结果除以2，就能得到实际的比赛总场数。
【解析】
第一步：计算每支球队需要参加的比赛场数：
$13 - 1 = 12$（场）
第二步：计算不考虑重复时的总记录场次：
$13 × 12 = 156$（场）
第三步：由于每场比赛被重复统计了1次，因此实际总场次为：
$156 ÷ 2 = 78$（场）
【答案】
78
【知识点】
1. 搭配问题
2. 单循环场次计算
3. 重复计数处理
【点评】
这道题是生活中常见的比赛场次计算类题型，解题核心是理解单循环赛制的规则，规避重复计数的误区，也可以类比数线段的方法来解题，把13支球队看作线段上的13个点，总场次就是所有点之间的线段总条数，逻辑是相通的。
【难度系数】
0.7
11. 若$\frac{12}{m}=\frac{9}{n}(m,n≠0)$，则$m:n=(\ \ ):(\ \ )$；若$m:n=\frac{7}{12}$，则$m×(\ \ )=n×(\ \ )$
答案
11. 4 3 12 7
解析
【分析】
本题主要应用比例的基本性质解题，解题思路如下：首先回忆比例的基本性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积。第一问先将分数形式的等式通过交叉相乘转化为乘积等式，再改写为m:n的形式，最后化简得到最简整数比；第二问先将分数形式的比转化为整数比例，再根据比例的基本性质写出乘积相等的式子即可。
【解析】
1. 计算$m:n$的结果：
已知$\frac{12}{m}=\frac{9}{n}$（$m、n≠0$），根据比例的基本性质交叉相乘可得：$9m=12n$。
将等式改写成比例形式，$m$为外项时，和$m$相乘的9同时作为外项，$n$为内项时，和$n$相乘的12同时作为内项，即$m:n=12:9$。
化简比：$12:9=(12÷3):(9÷3)=4:3$。
2. 计算乘积相等的式子：
已知$m:n=\frac{7}{12}$，可转化为整数比例$m:n=7:12$。
根据比例的基本性质，外项乘积等于内项乘积，可得$m×12 = n×7$。
【答案】
4；3；12；7
【知识点】
比例的基本性质；比的化简
【点评】
本题属于比例相关的基础常考题，重点考察对比例内外项对应关系的理解和应用，熟练掌握比例的基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题主要应用比例的基本性质解题，解题思路如下：首先回忆比例的基本性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积。第一问先将分数形式的等式通过交叉相乘转化为乘积等式，再改写为m:n的形式，最后化简得到最简整数比；第二问先将分数形式的比转化为整数比例，再根据比例的基本性质写出乘积相等的式子即可。
【解析】
1. 计算$m:n$的结果：
已知$\frac{12}{m}=\frac{9}{n}$（$m、n≠0$），根据比例的基本性质交叉相乘可得：$9m=12n$。
将等式改写成比例形式，$m$为外项时，和$m$相乘的9同时作为外项，$n$为内项时，和$n$相乘的12同时作为内项，即$m:n=12:9$。
化简比：$12:9=(12÷3):(9÷3)=4:3$。
2. 计算乘积相等的式子：
已知$m:n=\frac{7}{12}$，可转化为整数比例$m:n=7:12$。
根据比例的基本性质，外项乘积等于内项乘积，可得$m×12 = n×7$。
【答案】
4；3；12；7
【知识点】
比例的基本性质；比的化简
【点评】
本题属于比例相关的基础常考题，重点考察对比例内外项对应关系的理解和应用，熟练掌握比例的基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
12. 小华和小军同时从学校出发前往图书馆，小华每分钟走50米，小军每分钟走45米。经过多少分钟他们之间相距250米？下面列式正确的是(
A.$250÷(50-45)$
B.$250÷(50+45)$
C.$250×(50-45)$
D.$250÷45 - 250÷50$
A
)。A.$250÷(50-45)$
B.$250÷(50+45)$
C.$250×(50-45)$
D.$250÷45 - 250÷50$
答案
12. A
解析
【分析】
这是一道行程类应用题，解题时首先明确两人的运动状态：同时从同一地点出发，同向前往图书馆，小华速度比小军快，所以两人的距离会随着时间逐渐拉大。两人每分钟拉开的距离等于两人的速度差，要求相距250米的时间，本质就是求总路程差250米里包含多少个每分钟的速度差，用除法计算即可。
【解析】
首先，两人同向行驶，速度快的小华每分钟比小军多走的距离为：$50 - 45 = 5$（米），即每分钟两人的距离增加5米。
要使两人相距250米，所需时间 = 总路程差 ÷ 每分钟的路程差（速度差），列式为：$250÷(50 - 45)$，对应选项A。
其他选项分析：B选项用速度和，是相向而行求相遇时间的用法，不符合本题同向的条件；C选项用乘法，逻辑错误；D选项是两人各自走250米的时间差，和本题同时出发后拉开250米的题意不符。
【答案】
A
【知识点】
行程问题、速度差、路程差
【点评】
本题主要考查同向行驶时路程差、速度差与时间三者的关系，解题的核心是先判断运动方向，区分同向用速度差、相向用速度和的不同应用场景，避免公式混淆。
【难度系数】
0.8
这是一道行程类应用题，解题时首先明确两人的运动状态：同时从同一地点出发，同向前往图书馆，小华速度比小军快，所以两人的距离会随着时间逐渐拉大。两人每分钟拉开的距离等于两人的速度差，要求相距250米的时间，本质就是求总路程差250米里包含多少个每分钟的速度差，用除法计算即可。
【解析】
首先，两人同向行驶，速度快的小华每分钟比小军多走的距离为：$50 - 45 = 5$（米），即每分钟两人的距离增加5米。
要使两人相距250米，所需时间 = 总路程差 ÷ 每分钟的路程差（速度差），列式为：$250÷(50 - 45)$，对应选项A。
其他选项分析：B选项用速度和，是相向而行求相遇时间的用法，不符合本题同向的条件；C选项用乘法，逻辑错误；D选项是两人各自走250米的时间差，和本题同时出发后拉开250米的题意不符。
【答案】
A
【知识点】
行程问题、速度差、路程差
【点评】
本题主要考查同向行驶时路程差、速度差与时间三者的关系，解题的核心是先判断运动方向，区分同向用速度差、相向用速度和的不同应用场景，避免公式混淆。
【难度系数】
0.8
