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由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作
相等的圆心角
就可以等分圆周，从而得到相应的正多边形。答案
相等的圆心角
解析
【分析】
解题时可结合正多边形和圆的关系推导：要得到正多边形，首先需要等分圆周，题目已经给出前提“同圆中相等的圆心角所对的弧相等”，若要得到相等的弧（即等分圆周），只需作出相等的圆心角即可，由此可推出横线处应填的内容。
【解析】
整个圆周对应的周角为360°，根据同圆中相等的圆心角所对的弧相等的性质，当我们作出若干个相等的圆心角时，这些圆心角所对的弧也对应相等，即可完成圆周的等分，顺次连接各等分点就能得到对应的正多边形，因此横线处应填相等的圆心角。
【答案】
相等的圆心角
【知识点】
圆心角与弧的关系、正多边形和圆
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考察圆周等分的原理，熟练掌握同圆中圆心角和弧的对应等量关系即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时可结合正多边形和圆的关系推导：要得到正多边形，首先需要等分圆周，题目已经给出前提“同圆中相等的圆心角所对的弧相等”，若要得到相等的弧（即等分圆周），只需作出相等的圆心角即可，由此可推出横线处应填的内容。
【解析】
整个圆周对应的周角为360°，根据同圆中相等的圆心角所对的弧相等的性质，当我们作出若干个相等的圆心角时，这些圆心角所对的弧也对应相等，即可完成圆周的等分，顺次连接各等分点就能得到对应的正多边形，因此横线处应填相等的圆心角。
【答案】
相等的圆心角
【知识点】
圆心角与弧的关系、正多边形和圆
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考察圆周等分的原理，熟练掌握同圆中圆心角和弧的对应等量关系即可快速作答。
【难度系数】
0.9
1. 下列正多边形中，不能仅用直尺和圆规通过“等分圆周”直接作出的是（
A.正三角形
B.正四边形
C.正五边形
D.正六边形
C
）.A.正三角形
B.正四边形
C.正五边形
D.正六边形
答案
1. C
解析
【分析】
拿到这道题，我们首先要明确题干要求：判断哪个正多边形无法通过尺规“等分圆周”的简单操作直接作出。解题时我们可以逐个分析每个选项对应的正多边形的常见尺规作图方法，结合正多边形和圆的关系判断是否可直接作出：先回忆可通过简单等分圆周得到的正多边形的作图逻辑，再逐一排除可直接作出的选项即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 正三角形：先用圆规以半径长在圆周上依次截取，得到圆的6个等分点，再顺次连接第1、3、5个等分点就能得到正三角形，可直接作出，不符合题意；
B. 正四边形：过圆心作两条互相垂直的直径，即可将圆四等分，顺次连接四个等分点就得到正四边形，可直接作出，不符合题意；
C. 正五边形：无法通过上述简单的等分圆周操作直接作出，其尺规作图步骤繁琐，不属于直接通过等分圆周可作出的图形，符合题意；
D. 正六边形：圆的半径长度等于同圆内接正六边形的边长，用圆规以半径长在圆周上依次截弧，就能得到6个等分点，顺次连接即可得到正六边形，可直接作出，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
正多边形和圆；尺规作图
【点评】
本题考查常见正多边形的尺规作图方法，核心是理解正多边形与圆的对应关系，属于基础类题型，只要熟悉基本的尺规等分圆周的操作就能快速作答。
【难度系数】
0.7
拿到这道题，我们首先要明确题干要求：判断哪个正多边形无法通过尺规“等分圆周”的简单操作直接作出。解题时我们可以逐个分析每个选项对应的正多边形的常见尺规作图方法，结合正多边形和圆的关系判断是否可直接作出：先回忆可通过简单等分圆周得到的正多边形的作图逻辑，再逐一排除可直接作出的选项即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 正三角形：先用圆规以半径长在圆周上依次截取，得到圆的6个等分点，再顺次连接第1、3、5个等分点就能得到正三角形，可直接作出，不符合题意；
B. 正四边形：过圆心作两条互相垂直的直径，即可将圆四等分，顺次连接四个等分点就得到正四边形，可直接作出，不符合题意；
C. 正五边形：无法通过上述简单的等分圆周操作直接作出，其尺规作图步骤繁琐，不属于直接通过等分圆周可作出的图形，符合题意；
D. 正六边形：圆的半径长度等于同圆内接正六边形的边长，用圆规以半径长在圆周上依次截弧，就能得到6个等分点，顺次连接即可得到正六边形，可直接作出，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
正多边形和圆；尺规作图
【点评】
本题考查常见正多边形的尺规作图方法，核心是理解正多边形与圆的对应关系，属于基础类题型，只要熟悉基本的尺规等分圆周的操作就能快速作答。
【难度系数】
0.7
2. 如图30.3-10，若用圆内接正十二边形的面积$ S_1 $来近似估计$ \odot O $的面积$ S $，设$ \odot O $的半径为1，则$ S - S_1 = (\quad) $。
A.$ π - 3 $
B.$ π - 1 $
C.$ π - 2 $
D.$ 2π - 3 $
A.$ π - 3 $
B.$ π - 1 $
C.$ π - 2 $
D.$ 2π - 3 $
答案
A
解析
【分析】
解题时首先计算圆的面积，已知圆半径为1，直接用圆面积公式即可得到S；再计算正十二边形的面积：可将正十二边形分割为12个全等的等腰三角形，每个三角形的腰长等于圆的半径，顶角为周角除以12，用含夹角的三角形面积公式算出单个三角形面积，乘12得到S₁，最后求两者的差值即可得到结果。
【解析】
已知⊙O的半径r=1：
1. 计算圆的面积：根据圆面积公式$S = π r^2$，代入r=1得$S = π × 1^2 = π$。
2. 计算正十二边形的面积$S_1$：
圆内接正十二边形可分割为12个全等的等腰三角形，每个三角形的腰长等于圆的半径1，每个三角形的顶角为$360° ÷ 12 = 30°$。
根据两边及夹角的三角形面积公式$S_{\mathrm{三角形}} = \frac{1}{2}ab\sinθ$（a、b为两边长，θ为两边夹角），单个等腰三角形的面积为$\frac{1}{2} × 1 × 1 × \sin30° = \frac{1}{2} × \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$。
因此正十二边形的面积$S_1 = 12 × \frac{1}{4} = 3$。
3. 计算差值：$S - S_1 = π - 3$。
【答案】
A
【知识点】
圆的面积计算；正多边形与圆；三角形面积计算
【点评】
本题重点考查正多边形和圆的相关计算，解题的核心是利用割补法将正多边形面积转化为多个等腰三角形的面积之和，解题思路清晰，熟练掌握相关公式就能快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先计算圆的面积，已知圆半径为1，直接用圆面积公式即可得到S；再计算正十二边形的面积：可将正十二边形分割为12个全等的等腰三角形，每个三角形的腰长等于圆的半径，顶角为周角除以12，用含夹角的三角形面积公式算出单个三角形面积，乘12得到S₁，最后求两者的差值即可得到结果。
【解析】
已知⊙O的半径r=1：
1. 计算圆的面积：根据圆面积公式$S = π r^2$，代入r=1得$S = π × 1^2 = π$。
2. 计算正十二边形的面积$S_1$：
圆内接正十二边形可分割为12个全等的等腰三角形，每个三角形的腰长等于圆的半径1，每个三角形的顶角为$360° ÷ 12 = 30°$。
根据两边及夹角的三角形面积公式$S_{\mathrm{三角形}} = \frac{1}{2}ab\sinθ$（a、b为两边长，θ为两边夹角），单个等腰三角形的面积为$\frac{1}{2} × 1 × 1 × \sin30° = \frac{1}{2} × \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$。
因此正十二边形的面积$S_1 = 12 × \frac{1}{4} = 3$。
3. 计算差值：$S - S_1 = π - 3$。
【答案】
A
【知识点】
圆的面积计算；正多边形与圆；三角形面积计算
【点评】
本题重点考查正多边形和圆的相关计算，解题的核心是利用割补法将正多边形面积转化为多个等腰三角形的面积之和，解题思路清晰，熟练掌握相关公式就能快速求解。
【难度系数】
0.7
3. 要作一个圆的内接正九边形，需要将圆周进行
九
等分，每个圆心角的度数是40°
。图30.3-10答案
3. 九 40°
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆圆内接正多边形的作图原理：作圆的内接正n边形，本质是把圆周平均分成n等份，每等份弧对应的弦就是正n边形的边，因此正多边形的边数和圆周的等分数相等。其次，整个圆周对应的周角为360°，将圆周n等分的同时，周角也被平均分成n份，每份的度数就是每个圆心角的度数，用总周角度数除以等分数即可计算。本题是正九边形，对应n=9，代入推导即可。
【解析】
1. 圆内接正多边形的边数等于圆周的等分数，因此作圆的内接正九边形，需要将圆周进行九等分。
2. 周角的度数为360°，九等分后每个圆心角的度数为：$360° ÷ 9 = 40°$
【答案】
九；40°
【知识点】
1. 圆内接正多边形性质
2. 圆心角计算
【点评】
本题是基础概念题，主要考查圆内接正多边形与圆周等分的对应关系，计算难度低，只要掌握正多边形边数和圆周等分数的对应规律就能快速作答。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆圆内接正多边形的作图原理：作圆的内接正n边形，本质是把圆周平均分成n等份，每等份弧对应的弦就是正n边形的边，因此正多边形的边数和圆周的等分数相等。其次，整个圆周对应的周角为360°，将圆周n等分的同时，周角也被平均分成n份，每份的度数就是每个圆心角的度数，用总周角度数除以等分数即可计算。本题是正九边形，对应n=9，代入推导即可。
【解析】
1. 圆内接正多边形的边数等于圆周的等分数，因此作圆的内接正九边形，需要将圆周进行九等分。
2. 周角的度数为360°，九等分后每个圆心角的度数为：$360° ÷ 9 = 40°$
【答案】
九；40°
【知识点】
1. 圆内接正多边形性质
2. 圆心角计算
【点评】
本题是基础概念题，主要考查圆内接正多边形与圆周等分的对应关系，计算难度低，只要掌握正多边形边数和圆周等分数的对应规律就能快速作答。
【难度系数】
0.9
4. 如图30.3-11，已知AC为$\odot O$的直径. 请用尺规作出$\odot O$的内接正方形ABCD（保留作图痕迹，不写作法）. 
图30.3-11
图30.3-11答案
解：如图，正方形ABCD即为所作。
解析
【分析】
要作⊙O的内接正方形ABCD，已知AC是直径，正方形的对角线具备相等且互相垂直平分的性质，因此另一条对角线需要同时满足两个条件：①过圆心O，②与AC互相垂直。我们只需要先作出AC的垂直平分线，该线与⊙O的交点就是正方形的另外两个顶点B、D，最后顺次连接四个顶点即可得到所求的内接正方形。
【解析】
首先作线段AC的垂直平分线，该垂直平分线经过圆心O，与⊙O交于B、D两点；再顺次连接A、B、C、D四点，所得四边形ABCD就是⊙O的内接正方形，作图痕迹同参考答案所示。
【答案】
解：如图，正方形ABCD即为所作。
【知识点】
1. 尺规作垂直平分线
2. 圆内接正方形性质
3. 正方形判定
【点评】
本题属于基础尺规作图题，核心是结合正方形对角线互相垂直且相等的特征与圆的直径性质确定四个顶点的位置，熟练掌握特殊几何图形的性质是解决这类作图题的关键。
【难度系数】
0.7
要作⊙O的内接正方形ABCD，已知AC是直径，正方形的对角线具备相等且互相垂直平分的性质，因此另一条对角线需要同时满足两个条件：①过圆心O，②与AC互相垂直。我们只需要先作出AC的垂直平分线，该线与⊙O的交点就是正方形的另外两个顶点B、D，最后顺次连接四个顶点即可得到所求的内接正方形。
【解析】
首先作线段AC的垂直平分线，该垂直平分线经过圆心O，与⊙O交于B、D两点；再顺次连接A、B、C、D四点，所得四边形ABCD就是⊙O的内接正方形，作图痕迹同参考答案所示。
【答案】
解：如图，正方形ABCD即为所作。
【知识点】
1. 尺规作垂直平分线
2. 圆内接正方形性质
3. 正方形判定
【点评】
本题属于基础尺规作图题，核心是结合正方形对角线互相垂直且相等的特征与圆的直径性质确定四个顶点的位置，熟练掌握特殊几何图形的性质是解决这类作图题的关键。
【难度系数】
0.7
