5. 如图30.3-12，AB，CD是$\odot O$中互相垂直的两条直径，以点A为圆心、OA为半径画弧，与$\odot O$交于E，F两点.
（1）求证：AE是正六边形的一边；
（2）请在图上以AE为一边，画出$\odot O$的内接正六边形（保留作图痕迹，不写作法）；
（3）若第（2）小题画出的正六边形边长为3，求该正六边形的边心距.

（1）证明：连接OE，如图。
∵AE=OA=OE，
∴△AOE是等边三角形。
∴∠AOE=60°。
∴AE是正六边形的一边。
（2）解：如图，正六边形AEGBHF即为所作。
（3）解：如图，过点O作OI⊥AE，垂足为I。
∵六边形AEGBHF是圆内接正六边形，△OAE是等边三角形，
∴OA=OE=AE=3。
∵OI⊥AE，
∴EI=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{3}{2}$。
∴OI=$\sqrt{OE^2-EI^2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
即该正六边形的边心距为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$。

【分析】
（1）要证明AE是⊙O内接正六边形的一边，需明确正六边形的中心角为$360°÷6=60°$，因此只需证明AE对应的中心角$∠ AOE=60°$即可。结合已知AE=OA，且OA、OE均为⊙O半径，可推出$△ AOE$为等边三角形，从而得到$∠ AOE=60°$，完成证明。
（2）正六边形每条边对应的中心角均为$60°$，在已确定顶点A、E的基础上，以AE长为半径，依次在⊙O上截取等弧得到剩余顶点，顺次连接即可得到内接正六边形。
（3）正六边形的边心距是圆心到边的距离，已知正六边形边长为3，结合（1）可知$△ AOE$是边长为3的等边三角形，过O作AE的垂线，利用勾股定理即可求出边心距。
【解析】
（1）证明：连接OE，如图。
∵ 以A为圆心、OA为半径画弧得到AE，$\therefore AE=OA$，
又
∵ OA、OE都是$\odot O$的半径，$\therefore OA=OE$，
$\therefore AE=OA=OE$，即$△ AOE$是等边三角形，
$\therefore ∠ AOE=60°$。
∵ 圆内接正六边形的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，
$\therefore AE$是正六边形的一边。
（2）解：如图，正六边形AEGBHF即为所作。
（3）解：过点O作$OI⊥ AE$，垂足为I，OI即为正六边形的边心距。
∵ 六边形AEGBHF是$\odot O$的内接正六边形，
$\therefore OA=OE=AE=3$，$△ AOE$为等边三角形，
∵ $OI⊥ AE$，根据等腰三角形三线合一的性质，得$EI=\frac{1}{2}AE=\frac{3}{2}$，
在$Rt△ OIE$中，由勾股定理得：
$OI=\sqrt{OE^2-EI^2}=\sqrt{3^2-(\frac{3}{2})^2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
（1）证明：连接OE，如图。
∵AE=OA=OE，
∴△AOE是等边三角形。
∴∠AOE=60°。
∴AE是正六边形的一边。
（2）解：如图，正六边形AEGBHF即为所作。
（3）解：该正六边形的边心距为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$。
【知识点】
正多边形和圆，等边三角形性质，勾股定理
【点评】
本题围绕正六边形与圆的关系设置问题，解题核心是掌握圆内接正六边形中心角为$60°$、边长等于圆半径的性质，侧重基础能力考查，作图题需注意保留清晰的作图痕迹。
【难度系数】
0.7

6. 如图 30.3-13，在$\odot O$中，$MF$为直径，$OA⊥ MF$，圆内接正五边形$ABCDE$的部分尺规作图步骤如下：
①作出半径$OF$的中点$H$.
②以点$H$为圆心，$HA$为半径作弧，交直径$MF$于点$G$.
③$AG$长即为正五边形的边长，依次作出各等分点$B$，$C$，$D$，$E$.
已知$\odot O$的半径$R=2$，则$AB^2=$（结果保留根号）.

6. $10-2\sqrt{5}$

【分析】
要求$AB^2$，由题可知$AG$是正五边形的边长，即$AB=AG$，因此只需计算$AG^2$即可。首先结合已知条件先求线段$HA$的长度：$OA$垂直直径$MF$，$△ AOH$是直角三角形，已知半径$R=2$，$H$是$OF$中点，可先用勾股定理求出$HA$；再根据作图性质得$HG=HA$，进而求出$OG$的长度；最后在$Rt△ AOG$中再次利用勾股定理计算$AG^2$，即为所求的$AB^2$。
【解析】
已知$\odot O$的半径$R=2$，因此$OA=OF=2$，
$\because OA⊥ MF$，$\therefore ∠ AOH=90°$，
$\because H$是$OF$的中点，$\therefore OH=\frac{1}{2}OF=1$，
在$Rt△ AOH$中，由勾股定理得：
$HA^2=OA^2+OH^2=2^2+1^2=5$，$\therefore HA=\sqrt{5}$，
由作图步骤②可知，$HG=HA=\sqrt{5}$，
$\therefore OG=HG-OH=\sqrt{5}-1$，
在$Rt△ AOG$中，由勾股定理得：
$AG^2=OA^2+OG^2=2^2+(\sqrt{5}-1)^2=4+(5-2\sqrt{5}+1)=10-2\sqrt{5}$，
由题可知$AG$为正五边形的边长，即$AB=AG$，
$\therefore AB^2=AG^2=10-2\sqrt{5}$。
【答案】
$10-2\sqrt{5}$
【知识点】
勾股定理，尺规作图的性质，正多边形与圆
【点评】
本题结合正多边形的尺规作图考查勾股定理的应用，解题的关键是读懂作图步骤，明确各线段之间的等量关系，将所求边长转化为直角三角形的边进行计算。
【难度系数】
0.7

7. 如图30.3-14，在$10×10$的正方形网格中（每个小正方形的边长都为1个单位长度），$△ ABC$的三个顶点都在格点上.
（1）请在图中标出$△ ABC$的外接圆的圆心$P$的位置，并写出圆心$P$的坐标：；
（2）尺规作图：画出$\odot P$，并作它的一个内接三角形，要求该三角形为等边三角形.

图30.3-14

7. 解：(1) 如图所示，点P即为所求，坐标为(5, 3)。
(2) 如图，$\odot P$，$△ AEF$即为所作。

【分析】
（1）要确定△ABC外接圆的圆心，需明确三角形外接圆的圆心（外心）是三角形三边垂直平分线的交点，因此只需找到两条边的垂直平分线，其交点即为圆心P。首先观察三个顶点坐标：A(3,7)、B(1,5)、C(1,1)，先找BC的垂直平分线：BC是竖直线段，它的垂直平分线为水平线，再找AB的垂直平分线，联立两条垂直平分线的方程即可得到交点坐标。（2）作⊙P只需以P为圆心、PA长为半径画圆即可；作圆内接等边三角形，可利用同圆中相等的圆心角对应弦长相等的性质，构造三个120°的圆心角，对应三个点顺次连接即可得到等边三角形。
【解析】
（1）步骤1：确定△ABC三个顶点的坐标：A(3,7)，B(1,5)，C(1,1)。
步骤2：作BC的垂直平分线：BC为x=1的竖直线段，中点坐标为(1,3)，因此BC的垂直平分线为直线$y=3$。
步骤3：作AB的垂直平分线：AB的中点坐标为$(\frac{3+1}{2},\frac{7+5}{2})=(2,6)$，AB的斜率为$\frac{7-5}{3-1}=1$，因此其垂直平分线的斜率为-1，方程为$y-6=-(x-2)$，整理得$y=-x+8$。
步骤4：联立两条垂直平分线的方程$\begin{cases}y=3\\y=-x+8\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=5\\y=3\end{cases}$，即圆心P的坐标为(5,3)，在图中对应位置标出点P即可。
（2）步骤1：以P为圆心，PA的长度为半径画弧，得到$\odot P$。
步骤2：构造120°的圆心角：以P为顶点，PA为一边，分别作∠APE=120°、∠APF=120°，交$\odot P$于点E、F，顺次连接A、E、F，得到的$△ AEF$就是所求的⊙P内接等边三角形。
【答案】
(1) 如图所示，点P即为所求，坐标为(5, 3)。
(2) 如图，$\odot P$，$△ AEF$即为所作。
【知识点】
三角形外心的定义，垂直平分线的性质，圆内接多边形作图
【点评】
本题结合网格考查了三角形外心的确定和圆内接特殊三角形的作图，解题关键是掌握外心的性质，熟悉圆的基本性质在作图中的应用，作图时要符合尺规作图的规范要求。
【难度系数】
0.7