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1. 经过圆外一点的圆的切线上，这点和
切点
之间线段的长，叫做这点到圆的切线长
。答案
1. 切点 切线长
解析
【分析】
这是一道考查基础概念的题目，解题时需要回忆切线长的定义内容：首先明确圆的切线与圆唯一的公共点叫做切点，再对应切线长的定义描述，就能直接匹配题目空缺的内容。
【解析】
根据切线长的定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。因此第一处空缺对应“切点”，第二处空缺对应“切线长”。
【答案】
切点；切线长
【知识点】
切线长的定义
【点评】
本题属于基础识记类题目，核心考查对教材基础定义的掌握情况，熟练记忆相关概念即可快速准确作答。
【难度系数】
0.9
这是一道考查基础概念的题目，解题时需要回忆切线长的定义内容：首先明确圆的切线与圆唯一的公共点叫做切点，再对应切线长的定义描述，就能直接匹配题目空缺的内容。
【解析】
根据切线长的定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。因此第一处空缺对应“切点”，第二处空缺对应“切线长”。
【答案】
切点；切线长
【知识点】
切线长的定义
【点评】
本题属于基础识记类题目，核心考查对教材基础定义的掌握情况，熟练记忆相关概念即可快速准确作答。
【难度系数】
0.9
2. 从圆外一点引圆的
两条切线
，它们的切线长相等
，并且这一点和圆心的连线平分
两条切线的夹角。答案
2. 两条切线 相等 平分
解析
【分析】
本题是对切线长定理内容的直接考查，解题时只需准确回忆切线长定理的完整表述即可逐一匹配空缺内容。首先明确定理的前提条件：从圆外一点引圆的两条切线；其次是切线长的性质：两条切线的长度相等；最后是圆外一点与圆心连线的作用：这条连线平分两条切线的夹角，依次对应三个空缺填写即可。
【解析】
根据切线长定理的完整内容：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角，因此三个空依次填入对应内容即可。
【答案】
两条切线；相等；平分
【知识点】
切线长定理
【点评】
本题属于基础概念识记类题型，主要考查对几何核心定理内容的记忆掌握，是切线相关知识的基础常考题。
【难度系数】
0.9
本题是对切线长定理内容的直接考查，解题时只需准确回忆切线长定理的完整表述即可逐一匹配空缺内容。首先明确定理的前提条件：从圆外一点引圆的两条切线；其次是切线长的性质：两条切线的长度相等；最后是圆外一点与圆心连线的作用：这条连线平分两条切线的夹角，依次对应三个空缺填写即可。
【解析】
根据切线长定理的完整内容：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角，因此三个空依次填入对应内容即可。
【答案】
两条切线；相等；平分
【知识点】
切线长定理
【点评】
本题属于基础概念识记类题型，主要考查对几何核心定理内容的记忆掌握，是切线相关知识的基础常考题。
【难度系数】
0.9
1. 如图 30.1-17，PA，PB 为$\odot O$的两条切线，切点分别为 A，B，连接 OP 交$\odot O$于点 C，交弦 AB 于点 D.下列结论中错误的是（
A.$PA=PB$
B.$OP⊥ AB$
C.$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$
D.$△ APB$是等边三角形
图 30.1-17
图 30.1-18
图 30.1-19
图 30.1-20
D
）.A.$PA=PB$
B.$OP⊥ AB$
C.$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$
D.$△ APB$是等边三角形
图 30.1-17
图 30.1-18
图 30.1-19
图 30.1-20
答案
1. D
解析
【分析】
解题时先回忆与圆的切线相关的定理，逐个分析选项：1. 由切线长定理可直接判断PA和PB的长度关系；2. 结合等腰三角形三线合一的性质判断OP与AB的位置关系；3. 再结合垂径定理判断两段弧是否相等；4. 最后看等边三角形的判定条件是否满足，题目没有给出∠APB为60°或边长相等的额外条件，无法判定△APB是等边三角形，即可找到错误结论。
【解析】
解：
∵PA、PB是$\odot O$的两条切线，切点分别为A、B，
∴根据切线长定理可得：$PA=PB$，$OP$平分$∠ APB$，故A选项结论正确，不符合题意；
∵$PA=PB$，$△ APB$为等腰三角形，$OP$平分$∠ APB$，
∴根据等腰三角形“三线合一”的性质可得：$OP⊥ AB$，故B选项结论正确，不符合题意；
∵$OP$过圆心$O$，且$OP⊥ AB$，
∴根据垂径定理，可得$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，故C选项结论正确，不符合题意；
∵仅能推出$PA=PB$，即$△ APB$是等腰三角形，没有条件证明$∠ APB=60°$或$AB=PA=PB$，
∴无法判定$△ APB$是等边三角形，故D选项结论错误，符合题意。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
切线长定理；垂径定理；等边三角形判定
【点评】
本题属于基础题，主要考查圆的切线相关性质、垂径定理以及特殊三角形的判定，解题时注意审题，明确题目要求选出错误的结论，避免因看错题意丢分。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆与圆的切线相关的定理，逐个分析选项：1. 由切线长定理可直接判断PA和PB的长度关系；2. 结合等腰三角形三线合一的性质判断OP与AB的位置关系；3. 再结合垂径定理判断两段弧是否相等；4. 最后看等边三角形的判定条件是否满足，题目没有给出∠APB为60°或边长相等的额外条件，无法判定△APB是等边三角形，即可找到错误结论。
【解析】
解：
∵PA、PB是$\odot O$的两条切线，切点分别为A、B，
∴根据切线长定理可得：$PA=PB$，$OP$平分$∠ APB$，故A选项结论正确，不符合题意；
∵$PA=PB$，$△ APB$为等腰三角形，$OP$平分$∠ APB$，
∴根据等腰三角形“三线合一”的性质可得：$OP⊥ AB$，故B选项结论正确，不符合题意；
∵$OP$过圆心$O$，且$OP⊥ AB$，
∴根据垂径定理，可得$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，故C选项结论正确，不符合题意；
∵仅能推出$PA=PB$，即$△ APB$是等腰三角形，没有条件证明$∠ APB=60°$或$AB=PA=PB$，
∴无法判定$△ APB$是等边三角形，故D选项结论错误，符合题意。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
切线长定理；垂径定理；等边三角形判定
【点评】
本题属于基础题，主要考查圆的切线相关性质、垂径定理以及特殊三角形的判定，解题时注意审题，明确题目要求选出错误的结论，避免因看错题意丢分。
【难度系数】
0.8
2. 如图30.1-18，AB是$\odot O$的直径，点C是$\odot O$外一点，过点C的两条直线分别与$\odot O$相切于点B，D，点E是圆周上任意一点，连接AE，DE，AD。若$∠ C=70°$，则$∠ AED$的度数是（
A.$50°$
B.$40°$
C.$25°$
D.$35°$
D
）。A.$50°$
B.$40°$
C.$25°$
D.$35°$
答案
2. D
解析
【分析】
解题可按4步进行：1. 连接辅助线OD，利用切线性质得到两个直角；2. 根据四边形内角和为360°，结合已知∠C的度数，求出圆心角∠BOD的大小；3. 由AB是直径，计算出弧AD对应的圆心角∠AOD的度数；4. 依据圆周角定理，同弧所对圆周角是圆心角的一半，最终求出∠AED的度数。
【解析】
连接OD，
∵ CB、CD分别与⊙O相切于点B、D，
∴ OB⊥BC，OD⊥CD，即∠OBC=∠ODC=90°，
∵ 四边形OBCD的内角和为360°，∠C=70°，
∴ ∠BOD = 360° - ∠OBC - ∠ODC - ∠C = 360° - 90° - 90° - 70° = 110°，
∵ AB是⊙O的直径，∠AOB=180°，
∴ ∠AOD = 180° - ∠BOD = 180° - 110° = 70°，
∵ ∠AED是弧AD所对的圆周角，∠AOD是弧AD所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴ ∠AED = $\frac{1}{2}$∠AOD = $\frac{1}{2}$×70° = 35°。
【答案】
D
【知识点】
切线的性质；四边形内角和；圆周角定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，核心考查圆的相关性质，解题的关键是合理作出辅助线，建立待求角与已知角的数量关系，熟练掌握基础定理就能快速求解。
【难度系数】
0.7
解题可按4步进行：1. 连接辅助线OD，利用切线性质得到两个直角；2. 根据四边形内角和为360°，结合已知∠C的度数，求出圆心角∠BOD的大小；3. 由AB是直径，计算出弧AD对应的圆心角∠AOD的度数；4. 依据圆周角定理，同弧所对圆周角是圆心角的一半，最终求出∠AED的度数。
【解析】
连接OD，
∵ CB、CD分别与⊙O相切于点B、D，
∴ OB⊥BC，OD⊥CD，即∠OBC=∠ODC=90°，
∵ 四边形OBCD的内角和为360°，∠C=70°，
∴ ∠BOD = 360° - ∠OBC - ∠ODC - ∠C = 360° - 90° - 90° - 70° = 110°，
∵ AB是⊙O的直径，∠AOB=180°，
∴ ∠AOD = 180° - ∠BOD = 180° - 110° = 70°，
∵ ∠AED是弧AD所对的圆周角，∠AOD是弧AD所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴ ∠AED = $\frac{1}{2}$∠AOD = $\frac{1}{2}$×70° = 35°。
【答案】
D
【知识点】
切线的性质；四边形内角和；圆周角定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，核心考查圆的相关性质，解题的关键是合理作出辅助线，建立待求角与已知角的数量关系，熟练掌握基础定理就能快速求解。
【难度系数】
0.7
3. 如图30.1-19，AB，BC，CD是$\odot O$的三条切线，E，F，G是切点.若$BE=4$，$CG=6$，则BC的长为（
A.8
B.10
C.12
D.14
B
）.A.8
B.10
C.12
D.14
答案
3. B
解析
【分析】
遇到圆外一点引圆的两条切线的问题，首先想到切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。本题中，点B是圆外一点，引了切线BA、BC，对应切线长BE、BF相等；点C是圆外一点，引了切线CB、CD，对应切线长CF、CG相等。要求BC的长，可将BC拆分为BF+CF，再替换为已知的BE和CG的长度即可求解。
【解析】
根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。
∵点B向⊙O引的两条切线为BA、BC，切点分别为E、F，
∴BF = BE = 4，
∵点C向⊙O引的两条切线为CB、CD，切点分别为F、G，
∴CF = CG = 6，
∴BC = BF + CF = 4 + 6 = 10。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
切线长定理
【点评】
本题是切线长定理的基础应用题型，解题的核心是找准从同一圆外点引出的两条切线对应的等长线段，熟练掌握定理即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
遇到圆外一点引圆的两条切线的问题，首先想到切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。本题中，点B是圆外一点，引了切线BA、BC，对应切线长BE、BF相等；点C是圆外一点，引了切线CB、CD，对应切线长CF、CG相等。要求BC的长，可将BC拆分为BF+CF，再替换为已知的BE和CG的长度即可求解。
【解析】
根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。
∵点B向⊙O引的两条切线为BA、BC，切点分别为E、F，
∴BF = BE = 4，
∵点C向⊙O引的两条切线为CB、CD，切点分别为F、G，
∴CF = CG = 6，
∴BC = BF + CF = 4 + 6 = 10。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
切线长定理
【点评】
本题是切线长定理的基础应用题型，解题的核心是找准从同一圆外点引出的两条切线对应的等长线段，熟练掌握定理即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
4. 如图30.1-20，PA，PB，DC是$\odot O$的三条切线，A，B，E是切点. 若$PA=10\ \mathrm{cm}$，则$△ PCD$的周长为
20 cm
；若$∠ P=40°$，则$∠ COD$的度数为70°
.答案
4. 20 cm 70°
解析
【分析】
1. 求△PCD的周长时，优先运用切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，可将△PCD的边长拆分替换为已知的PA、PB的长度，直接计算周长。
2. 求∠COD的度数时，先连接OA、OB、OE，利用切线的性质（切线垂直于过切点的半径）得到两个直角，先在四边形OAPB中求出∠AOB的度数，再结合切线长定理对应的角平分线性质，可得OC平分∠AOE、OD平分∠BOE，即可推出∠COD是∠AOB的一半，代入计算即可。
【解析】
①计算△PCD的周长：
∵PA、PB、DC都是$\odot O$的切线，A、B、E为切点，根据切线长定理可得：
$PA=PB=10\ \mathrm{cm}$，$CA=CE$，$DB=DE$，
$△ PCD$的周长$=PC+CD+PD=PC+CE+ED+PD$，
将$CE=CA$、$ED=DB$代入得：
周长$=PC+CA+PD+DB=PA+PB=10+10=20\ \mathrm{cm}$。
②计算$∠ COD$的度数：
连接OA、OB、OE，
∵PA、PB是$\odot O$的切线，$\therefore OA⊥ PA$，$OB⊥ PB$，即$∠ OAP=∠ OBP=90°$，
四边形OAPB内角和为$360°$，因此：
$∠ AOB=360°-∠ OAP-∠ OBP-∠ P=360°-90°-90°-40°=140°$，
又
∵CA、CE是$\odot O$的切线，$\therefore OC$平分$∠ AOE$，即$∠ COE=\frac{1}{2}∠ AOE$，
同理DB、DE是$\odot O$的切线，$\therefore OD$平分$∠ BOE$，即$∠ DOE=\frac{1}{2}∠ BOE$，
$\therefore ∠ COD=∠ COE+∠ DOE=\frac{1}{2}(∠ AOE+∠ BOE)=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×140°=70°$。
【答案】
$20\ \mathrm{cm}$；$70°$
【知识点】
切线长定理；切线的性质；四边形内角和
【点评】
本题是圆的切线相关的基础常考题，解题核心是熟练运用切线长定理对线段和角进行转化，计算难度较低。
【难度系数】
0.7
1. 求△PCD的周长时，优先运用切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，可将△PCD的边长拆分替换为已知的PA、PB的长度，直接计算周长。
2. 求∠COD的度数时，先连接OA、OB、OE，利用切线的性质（切线垂直于过切点的半径）得到两个直角，先在四边形OAPB中求出∠AOB的度数，再结合切线长定理对应的角平分线性质，可得OC平分∠AOE、OD平分∠BOE，即可推出∠COD是∠AOB的一半，代入计算即可。
【解析】
①计算△PCD的周长：
∵PA、PB、DC都是$\odot O$的切线，A、B、E为切点，根据切线长定理可得：
$PA=PB=10\ \mathrm{cm}$，$CA=CE$，$DB=DE$，
$△ PCD$的周长$=PC+CD+PD=PC+CE+ED+PD$，
将$CE=CA$、$ED=DB$代入得：
周长$=PC+CA+PD+DB=PA+PB=10+10=20\ \mathrm{cm}$。
②计算$∠ COD$的度数：
连接OA、OB、OE，
∵PA、PB是$\odot O$的切线，$\therefore OA⊥ PA$，$OB⊥ PB$，即$∠ OAP=∠ OBP=90°$，
四边形OAPB内角和为$360°$，因此：
$∠ AOB=360°-∠ OAP-∠ OBP-∠ P=360°-90°-90°-40°=140°$，
又
∵CA、CE是$\odot O$的切线，$\therefore OC$平分$∠ AOE$，即$∠ COE=\frac{1}{2}∠ AOE$，
同理DB、DE是$\odot O$的切线，$\therefore OD$平分$∠ BOE$，即$∠ DOE=\frac{1}{2}∠ BOE$，
$\therefore ∠ COD=∠ COE+∠ DOE=\frac{1}{2}(∠ AOE+∠ BOE)=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×140°=70°$。
【答案】
$20\ \mathrm{cm}$；$70°$
【知识点】
切线长定理；切线的性质；四边形内角和
【点评】
本题是圆的切线相关的基础常考题，解题核心是熟练运用切线长定理对线段和角进行转化，计算难度较低。
【难度系数】
0.7
