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8. 如图30.1-14，$\odot O$的半径为1，点O到直线l的距离为4，点P是直线l上的一个动点，PQ与$\odot O$相切于点Q，则PQ的最小值为
$\sqrt{15}$
。答案
8. $\sqrt{15}$
解析
【分析】
要解决PQ最小值的问题，首先根据切线的性质，可得OQ⊥PQ，即△OPQ为直角三角形。在直角三角形中，OQ是⊙O的半径，长度固定为1，根据勾股定理可知$PQ=\sqrt{OP^2-OQ^2}$，因此要让PQ最小，只需让OP最小即可。根据点到直线的距离中垂线段最短的性质，已知点O到直线l的距离为4，可得OP的最小值就是4，代入计算即可得到PQ的最小值。
【解析】
∵PQ是⊙O的切线，切点为Q
∴OQ⊥PQ，即△OQP是直角三角形
由勾股定理得：$PQ^2 = OP^2 - OQ^2$
已知⊙O半径$OQ=1$，因此$PQ=\sqrt{OP^2 - 1}$
要使PQ最小，需OP最小
根据点到直线的距离垂线段最短，已知点O到直线l的距离为4，可得OP的最小值为4
将OP=4代入得：
$PQ_{最小}=\sqrt{4^2 - 1^2}=\sqrt{16 - 1}=\sqrt{15}$
【答案】
$\sqrt{15}$
【知识点】
切线的性质；勾股定理；垂线段最短
【点评】
本题属于几何最值类问题，解题的关键是利用切线性质和勾股定理将PQ的最值转化为OP的最值，体现了转化思想在几何解题中的应用，熟练掌握基础性质是解题的前提。
【难度系数】
0.7
要解决PQ最小值的问题，首先根据切线的性质，可得OQ⊥PQ，即△OPQ为直角三角形。在直角三角形中，OQ是⊙O的半径，长度固定为1，根据勾股定理可知$PQ=\sqrt{OP^2-OQ^2}$，因此要让PQ最小，只需让OP最小即可。根据点到直线的距离中垂线段最短的性质，已知点O到直线l的距离为4，可得OP的最小值就是4，代入计算即可得到PQ的最小值。
【解析】
∵PQ是⊙O的切线，切点为Q
∴OQ⊥PQ，即△OQP是直角三角形
由勾股定理得：$PQ^2 = OP^2 - OQ^2$
已知⊙O半径$OQ=1$，因此$PQ=\sqrt{OP^2 - 1}$
要使PQ最小，需OP最小
根据点到直线的距离垂线段最短，已知点O到直线l的距离为4，可得OP的最小值为4
将OP=4代入得：
$PQ_{最小}=\sqrt{4^2 - 1^2}=\sqrt{16 - 1}=\sqrt{15}$
【答案】
$\sqrt{15}$
【知识点】
切线的性质；勾股定理；垂线段最短
【点评】
本题属于几何最值类问题，解题的关键是利用切线性质和勾股定理将PQ的最值转化为OP的最值，体现了转化思想在几何解题中的应用，熟练掌握基础性质是解题的前提。
【难度系数】
0.7
9. 如图30.1-15，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF//BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF.
（1）试判断AF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为4，AF＝3，求AC的长.
图30.1-14
图30.1-15
（1）试判断AF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为4，AF＝3，求AC的长.
图30.1-14
图30.1-15
答案
9. 解：(1) AF与⊙O相切. 理由如下：
如图，连接OC.
∵OF//BC，
∴∠1=∠2，∠B=∠3.
∵OC=OB，
∴∠B=∠1.
∴∠3=∠2.
∵OA=OC，OF=OF，
∴△OAF≌△OCF.
∴∠OAF=∠OCF.
∵PC是⊙O的切线，
∴∠OCF=90°.
∴∠OAF=90°.
∴FA⊥OA.
∴AF与⊙O相切.
(2)
∵⊙O的半径为4，AF=3，∠OAF=90°，
∴OF=$\sqrt{AF^2+OA^2}$=$\sqrt{3^2+4^2}$=5.
∵△OAF≌△OCF，
∴CF=AF=3.
∵OA=OC，
∴OF⊥AC.
∴AC=2AE.
∵AF⊥OA，
∴$S_{△ OAF}=\frac{1}{2}AF· OA=\frac{1}{2}OF· AE$.
∴$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× AE$. 解得$AE=\frac{12}{5}$.
∴$AC=2AE=\frac{24}{5}$.
解析
【分析】
（1）要判断AF与⊙O的位置关系，依据切线的判定定理，只需证明AF垂直于⊙O的半径OA即可。首先连接辅助线OC，先利用PC是切线的性质得到∠OCF=90°，再结合OF//BC的性质推导角相等，证明△OAF和△OCF全等，即可得到∠OAF=∠OCF=90°，从而证明AF是⊙O的切线。
（2）已知⊙O半径和AF的长度，先在Rt△OAF中用勾股定理求出OF的长；再利用全等三角形的性质得CF=AF，结合OA=OC，根据等腰三角形三线合一可知OF垂直平分AC，即AC=2AE；最后利用△OAF面积的两种计算方式列等式求出AE的长度，即可求得AC的长。
【解析】
(1) AF与⊙O相切，理由如下：
如图，连接OC。
∵OF//BC，
∴∠1=∠2，∠B=∠3。
∵OC=OB，
∴∠B=∠1。
∴∠3=∠2。
∵OA=OC，OF=OF，
∴△OAF≌△OCF（SAS）。
∴∠OAF=∠OCF。
∵PC是⊙O的切线，
∴∠OCF=90°。
∴∠OAF=90°，即FA⊥OA。
又
∵OA是⊙O的半径，
∴AF与⊙O相切。
(2)
∵⊙O的半径为4，
∴OA=4。
∵AF=3，∠OAF=90°，
由勾股定理得：$OF=\sqrt{AF^2+OA^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
∵△OAF≌△OCF，
∴CF=AF=3。
∵OA=OC，
∴OF⊥AC，AC=2AE。
∵$S_{△OAF}=\frac{1}{2}AF·OA=\frac{1}{2}OF·AE$，
代入得：$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5×AE$，
解得$AE=\frac{12}{5}$，
∴$AC=2AE=2×\frac{12}{5}=\frac{24}{5}$。
【答案】
(1) AF与⊙O相切. 理由如下：
如图，连接OC.
∵OF//BC，
∴∠1=∠2，∠B=∠3.
∵OC=OB，
∴∠B=∠1.
∴∠3=∠2.
∵OA=OC，OF=OF，
∴△OAF≌△OCF.
∴∠OAF=∠OCF.
∵PC是⊙O的切线，
∴∠OCF=90°.
∴∠OAF=90°.
∴FA⊥OA.
∴AF与⊙O相切.
(2)
∵⊙O的半径为4，AF=3，∠OAF=90°，
∴OF=$\sqrt{AF^2+OA^2}$=$\sqrt{3^2+4^2}$=5.
∵△OAF≌△OCF，
∴CF=AF=3.
∵OA=OC，
∴OF⊥AC.
∴AC=2AE.
∵AF⊥OA，
∴$S_{△ OAF}=\frac{1}{2}AF· OA=\frac{1}{2}OF· AE$.
∴$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× AE$. 解得$AE=\frac{12}{5}$.
∴$AC=2AE=\frac{24}{5}$.
【知识点】
切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题属于圆的综合应用题，融合了切线判定、全等三角形证明、勾股定理、等面积法求线段长等多个考点，解题的核心是正确添加辅助线构造全等三角形，灵活运用面积法简化线段长度的计算，能够有效锻炼几何综合分析能力。
【难度系数】
0.6
（1）要判断AF与⊙O的位置关系，依据切线的判定定理，只需证明AF垂直于⊙O的半径OA即可。首先连接辅助线OC，先利用PC是切线的性质得到∠OCF=90°，再结合OF//BC的性质推导角相等，证明△OAF和△OCF全等，即可得到∠OAF=∠OCF=90°，从而证明AF是⊙O的切线。
（2）已知⊙O半径和AF的长度，先在Rt△OAF中用勾股定理求出OF的长；再利用全等三角形的性质得CF=AF，结合OA=OC，根据等腰三角形三线合一可知OF垂直平分AC，即AC=2AE；最后利用△OAF面积的两种计算方式列等式求出AE的长度，即可求得AC的长。
【解析】
(1) AF与⊙O相切，理由如下：
如图，连接OC。
∵OF//BC，
∴∠1=∠2，∠B=∠3。
∵OC=OB，
∴∠B=∠1。
∴∠3=∠2。
∵OA=OC，OF=OF，
∴△OAF≌△OCF（SAS）。
∴∠OAF=∠OCF。
∵PC是⊙O的切线，
∴∠OCF=90°。
∴∠OAF=90°，即FA⊥OA。
又
∵OA是⊙O的半径，
∴AF与⊙O相切。
(2)
∵⊙O的半径为4，
∴OA=4。
∵AF=3，∠OAF=90°，
由勾股定理得：$OF=\sqrt{AF^2+OA^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
∵△OAF≌△OCF，
∴CF=AF=3。
∵OA=OC，
∴OF⊥AC，AC=2AE。
∵$S_{△OAF}=\frac{1}{2}AF·OA=\frac{1}{2}OF·AE$，
代入得：$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5×AE$，
解得$AE=\frac{12}{5}$，
∴$AC=2AE=2×\frac{12}{5}=\frac{24}{5}$。
【答案】
(1) AF与⊙O相切. 理由如下：
如图，连接OC.
∵OF//BC，
∴∠1=∠2，∠B=∠3.
∵OC=OB，
∴∠B=∠1.
∴∠3=∠2.
∵OA=OC，OF=OF，
∴△OAF≌△OCF.
∴∠OAF=∠OCF.
∵PC是⊙O的切线，
∴∠OCF=90°.
∴∠OAF=90°.
∴FA⊥OA.
∴AF与⊙O相切.
(2)
∵⊙O的半径为4，AF=3，∠OAF=90°，
∴OF=$\sqrt{AF^2+OA^2}$=$\sqrt{3^2+4^2}$=5.
∵△OAF≌△OCF，
∴CF=AF=3.
∵OA=OC，
∴OF⊥AC.
∴AC=2AE.
∵AF⊥OA，
∴$S_{△ OAF}=\frac{1}{2}AF· OA=\frac{1}{2}OF· AE$.
∴$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× AE$. 解得$AE=\frac{12}{5}$.
∴$AC=2AE=\frac{24}{5}$.
【知识点】
切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题属于圆的综合应用题，融合了切线判定、全等三角形证明、勾股定理、等面积法求线段长等多个考点，解题的核心是正确添加辅助线构造全等三角形，灵活运用面积法简化线段长度的计算，能够有效锻炼几何综合分析能力。
【难度系数】
0.6
10. 如图30.1-16，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线交⊙O于点D，DE⊥AC，垂足为E.
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）如图30.1-16①，若AB=13，AC=5，求ED的长；
（3）如图30.1-16②，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点F. 若ED=DF=x，AD=y，求$\frac{y}{x}$的值.
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）如图30.1-16①，若AB=13，AC=5，求ED的长；
（3）如图30.1-16②，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点F. 若ED=DF=x，AD=y，求$\frac{y}{x}$的值.
答案
（1）证明：如图，连接OD.
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA.
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠BAD.
∴∠ADO=∠EAD.
∴OD//AE.
∴∠E+∠ODE=180°.
∵DE⊥AC，
∴∠E=90°.
∴∠ODE=90°.
又OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线.
（2）解：如图，连接BC，与OD交于点H.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠BCE=90°.
在Rt△ABC中，AB=13，AC=5，
∴BC=$\sqrt{AB^2-AC^2}$=12.
又∠E=∠HDE=90°，
∴四边形ECHD是矩形.
∴DE=CH，∠CHD=90°.
∴CH=BH=$\frac{1}{2}$BC=6.
∴DE=CH=6.
（3）解：如图，连接BD.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BDA=∠BDF=90°.
∴∠F+∠FBD=90°.
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠BAD.
∵BF是⊙O的切线，
∴∠ABF=90°.
∴∠F+∠FAB=90°.
∴∠EAD=∠BAD=∠FBD.
∵∠E=∠BDF=90°，ED=FD，
∴△AED≌△BDF.
∴AD=BF.
∵BD²=AB²-AD²=BF²-DF²，AB²=AF²-BF²，
∴AF²-BF²-AD²=BF²-DF².
∴(AD+DF)²-AD²-AD²=AD²-DF².
∴DF²+AD·DF-AD²=0，
即DE²+AD·DE-AD²=0.
∴$(\frac{DE}{AD})^2 + \frac{DE}{AD} -1=0$.
设$\frac{DE}{AD}=t$，
∴$t^2 + t -1=0$.
解方程，得$t=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$或$t=-\frac{1+\sqrt{5}}{2}$(舍去).
∴$\frac{DE}{AD}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
∵ED=DF=x，AD=y，
∴$\frac{y}{x}=\frac{AD}{DE}=\frac{2}{\sqrt{5}-1}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$.
解析
【分析】
（1）要证DE是⊙O的切线，根据切线判定定理，需证明DE垂直于过切点的半径，因此先连接OD，利用等腰三角形等边对等角、角平分线的性质推出OD//AE，结合DE⊥AE即可得到OD⊥DE，完成证明。
（2）求ED的长时，由AB是直径，根据圆周角定理可得∠ACB=90°，连接BC交OD于H，结合（1）中OD//AE可推出OD⊥BC，由垂径定理得H是BC中点，再证明四边形ECHD是矩形，即可得DE=CH=$\frac{1}{2}$BC，最后用勾股定理算出BC长度即可求解。
（3）求$\frac{y}{x}$的值时，先连接BD，根据直径所对圆周角是直角、切线的性质推出角相等，证明△AED≌△BDF，再结合勾股定理列出关于x、y的方程，化简后解关于比值的一元二次方程即可得到结果。
【解析】
（1）证明：如图，连接OD.
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA.
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠BAD.
∴∠ADO=∠EAD.
∴OD//AE.
∴∠E+∠ODE=180°.
∵DE⊥AC，
∴∠E=90°.
∴∠ODE=90°.
又OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线.
（2）解：如图，连接BC，与OD交于点H.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠BCE=90°.
在Rt△ABC中，AB=13，AC=5，
∴BC=$\sqrt{AB^2-AC^2}$=12.
又∠E=∠HDE=90°，
∴四边形ECHD是矩形.
∴DE=CH，∠CHD=90°.
∴CH=BH=$\frac{1}{2}$BC=6.
∴DE=CH=6.
（3）解：如图，连接BD.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BDA=∠BDF=90°.
∴∠F+∠FBD=90°.
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠BAD.
∵BF是⊙O的切线，
∴∠ABF=90°.
∴∠F+∠FAB=90°.
∴∠EAD=∠BAD=∠FBD.
∵∠E=∠BDF=90°，ED=FD，
∴△AED≌△BDF.
∴AD=BF.
∵BD²=AB²-AD²=BF²-DF²，AB²=AF²-BF²，
∴AF²-BF²-AD²=BF²-DF².
∴(AD+DF)²-AD²-AD²=AD²-DF².
∴DF²+AD·DF-AD²=0，
即DE²+AD·DE-AD²=0.
∴$(\frac{DE}{AD})^2 + \frac{DE}{AD} -1=0$.
设$\frac{DE}{AD}=t$，
∴$t^2 + t -1=0$.
解方程，得$t=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$或$t=-\frac{1+\sqrt{5}}{2}$(舍去).
∴$\frac{DE}{AD}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
∵ED=DF=x，AD=y，
∴$\frac{y}{x}=\frac{AD}{DE}=\frac{2}{\sqrt{5}-1}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$.
【答案】
（1）DE是⊙O的切线，证明成立；
（2）ED的长为6；
（3）$\frac{y}{x}$的值为$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
【知识点】
切线的判定与性质；圆周角定理；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆的综合题型，三个小问梯度设置合理，既考查了切线判定、圆周角性质、垂径定理等基础知识点的应用，也结合了全等证明、勾股定理、方程思想考查综合分析与运算能力，是圆章节的经典考查题型。
【难度系数】
0.5
（1）要证DE是⊙O的切线，根据切线判定定理，需证明DE垂直于过切点的半径，因此先连接OD，利用等腰三角形等边对等角、角平分线的性质推出OD//AE，结合DE⊥AE即可得到OD⊥DE，完成证明。
（2）求ED的长时，由AB是直径，根据圆周角定理可得∠ACB=90°，连接BC交OD于H，结合（1）中OD//AE可推出OD⊥BC，由垂径定理得H是BC中点，再证明四边形ECHD是矩形，即可得DE=CH=$\frac{1}{2}$BC，最后用勾股定理算出BC长度即可求解。
（3）求$\frac{y}{x}$的值时，先连接BD，根据直径所对圆周角是直角、切线的性质推出角相等，证明△AED≌△BDF，再结合勾股定理列出关于x、y的方程，化简后解关于比值的一元二次方程即可得到结果。
【解析】
（1）证明：如图，连接OD.
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA.
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠BAD.
∴∠ADO=∠EAD.
∴OD//AE.
∴∠E+∠ODE=180°.
∵DE⊥AC，
∴∠E=90°.
∴∠ODE=90°.
又OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线.
（2）解：如图，连接BC，与OD交于点H.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠BCE=90°.
在Rt△ABC中，AB=13，AC=5，
∴BC=$\sqrt{AB^2-AC^2}$=12.
又∠E=∠HDE=90°，
∴四边形ECHD是矩形.
∴DE=CH，∠CHD=90°.
∴CH=BH=$\frac{1}{2}$BC=6.
∴DE=CH=6.
（3）解：如图，连接BD.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BDA=∠BDF=90°.
∴∠F+∠FBD=90°.
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠BAD.
∵BF是⊙O的切线，
∴∠ABF=90°.
∴∠F+∠FAB=90°.
∴∠EAD=∠BAD=∠FBD.
∵∠E=∠BDF=90°，ED=FD，
∴△AED≌△BDF.
∴AD=BF.
∵BD²=AB²-AD²=BF²-DF²，AB²=AF²-BF²，
∴AF²-BF²-AD²=BF²-DF².
∴(AD+DF)²-AD²-AD²=AD²-DF².
∴DF²+AD·DF-AD²=0，
即DE²+AD·DE-AD²=0.
∴$(\frac{DE}{AD})^2 + \frac{DE}{AD} -1=0$.
设$\frac{DE}{AD}=t$，
∴$t^2 + t -1=0$.
解方程，得$t=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$或$t=-\frac{1+\sqrt{5}}{2}$(舍去).
∴$\frac{DE}{AD}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
∵ED=DF=x，AD=y，
∴$\frac{y}{x}=\frac{AD}{DE}=\frac{2}{\sqrt{5}-1}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$.
【答案】
（1）DE是⊙O的切线，证明成立；
（2）ED的长为6；
（3）$\frac{y}{x}$的值为$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
【知识点】
切线的判定与性质；圆周角定理；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆的综合题型，三个小问梯度设置合理，既考查了切线判定、圆周角性质、垂径定理等基础知识点的应用，也结合了全等证明、勾股定理、方程思想考查综合分析与运算能力，是圆章节的经典考查题型。
【难度系数】
0.5
