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3. 如图30.1-9，AB是$\odot O$的直径，点P为BA延长线上一点，经过点P作$\odot O$的切线，点C为切点，连接OC，BC.若$∠ P＝50°$，则$∠ B$的度数为
$20°$
.答案
3. $20°$
解析
【分析】
解题时首先结合切线的性质得到垂直关系，先在直角三角形中求出∠POC的度数；再利用同圆半径相等得到等腰三角形，结合三角形外角的性质即可推导出∠B的度数。具体思考步骤：①看到切线和切点，优先联想到切线垂直于过切点的半径，得到直角△OCP；②已知∠P的度数，利用直角三角形两锐角互余计算∠POC；③OC、OB都是圆的半径，因此△OBC为等腰三角形，∠B=∠OCB；④∠POC是△OBC的外角，等于两个底角之和，即可求出∠B。
【解析】
∵PC是⊙O的切线，C为切点
∴OC⊥PC，即∠OCP=90°
在Rt△OCP中，∠P=50°
∴∠POC=90°-∠P=90°-50°=40°
∵OB=OC（同圆的半径相等）
∴∠B=∠OCB
又
∵∠POC是△OBC的外角
∴∠POC=∠B+∠OCB=2∠B
∴∠B=$\frac{1}{2}$∠POC=$\frac{1}{2}$×40°=20°
【答案】
20°
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是圆相关角度计算的基础题型，解题的突破口是熟练运用切线的性质得到垂直关系，再结合三角形的相关性质推导角度，是圆章节的常考基础题。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合切线的性质得到垂直关系，先在直角三角形中求出∠POC的度数；再利用同圆半径相等得到等腰三角形，结合三角形外角的性质即可推导出∠B的度数。具体思考步骤：①看到切线和切点，优先联想到切线垂直于过切点的半径，得到直角△OCP；②已知∠P的度数，利用直角三角形两锐角互余计算∠POC；③OC、OB都是圆的半径，因此△OBC为等腰三角形，∠B=∠OCB；④∠POC是△OBC的外角，等于两个底角之和，即可求出∠B。
【解析】
∵PC是⊙O的切线，C为切点
∴OC⊥PC，即∠OCP=90°
在Rt△OCP中，∠P=50°
∴∠POC=90°-∠P=90°-50°=40°
∵OB=OC（同圆的半径相等）
∴∠B=∠OCB
又
∵∠POC是△OBC的外角
∴∠POC=∠B+∠OCB=2∠B
∴∠B=$\frac{1}{2}$∠POC=$\frac{1}{2}$×40°=20°
【答案】
20°
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是圆相关角度计算的基础题型，解题的突破口是熟练运用切线的性质得到垂直关系，再结合三角形的相关性质推导角度，是圆章节的常考基础题。
【难度系数】
0.8
4. 如图30.1-10，当宽为2 cm的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的数字分别是2和8，则该圆的半径为
$\frac{13}{4}\ \mathrm{cm}$
。答案
4. $\frac{13}{4}\ \mathrm{cm}$
解析
【分析】
本题可结合切线性质与垂径定理，利用勾股定理列方程求解。首先明确已知条件：刻度尺宽为2cm，与圆相交的两个交点读数为2和8，可先算出弦长；再根据切线性质，圆心到切线的距离等于半径，结合刻度尺的宽度可得圆心到弦的距离与半径的关系；最后在由半径、半弦长、圆心到弦的距离构成的直角三角形中，用勾股定理列方程即可求出半径。
【解析】
设该圆的半径为$ r\ \mathrm{cm} $。
1. 计算弦长：两个交点处的数字为2和8，因此弦长为$ 8 - 2 = 6\ \mathrm{cm} $，根据垂径定理，弦长的一半为$ 6÷2 = 3\ \mathrm{cm} $。
2. 确定圆心到弦的距离：由于刻度尺一边与圆相切，根据切线的性质，圆心到该切线的距离等于半径$ r $；刻度尺的两条边平行，间距为2cm，因此圆心到弦所在直线的距离为$ (r - 2)\ \mathrm{cm} $。
3. 列方程求解：由勾股定理可得，半弦长的平方与圆心到弦的距离的平方和等于半径的平方，即：
$3^2 + (r - 2)^2 = r^2$
展开计算：
$9 + r^2 - 4r + 4 = r^2$
化简得：
$13 - 4r = 0$
解得$ r = \frac{13}{4} $。
【答案】
$\frac{13}{4}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
垂径定理；切线的性质；勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题的关键是结合切线性质和垂径定理构造直角三角形，运用方程思想求解，是圆章节的常见题型。
【难度系数】
0.7
本题可结合切线性质与垂径定理，利用勾股定理列方程求解。首先明确已知条件：刻度尺宽为2cm，与圆相交的两个交点读数为2和8，可先算出弦长；再根据切线性质，圆心到切线的距离等于半径，结合刻度尺的宽度可得圆心到弦的距离与半径的关系；最后在由半径、半弦长、圆心到弦的距离构成的直角三角形中，用勾股定理列方程即可求出半径。
【解析】
设该圆的半径为$ r\ \mathrm{cm} $。
1. 计算弦长：两个交点处的数字为2和8，因此弦长为$ 8 - 2 = 6\ \mathrm{cm} $，根据垂径定理，弦长的一半为$ 6÷2 = 3\ \mathrm{cm} $。
2. 确定圆心到弦的距离：由于刻度尺一边与圆相切，根据切线的性质，圆心到该切线的距离等于半径$ r $；刻度尺的两条边平行，间距为2cm，因此圆心到弦所在直线的距离为$ (r - 2)\ \mathrm{cm} $。
3. 列方程求解：由勾股定理可得，半弦长的平方与圆心到弦的距离的平方和等于半径的平方，即：
$3^2 + (r - 2)^2 = r^2$
展开计算：
$9 + r^2 - 4r + 4 = r^2$
化简得：
$13 - 4r = 0$
解得$ r = \frac{13}{4} $。
【答案】
$\frac{13}{4}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
垂径定理；切线的性质；勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题的关键是结合切线性质和垂径定理构造直角三角形，运用方程思想求解，是圆章节的常见题型。
【难度系数】
0.7
5. 如图30.1-11，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$∠ BAC$的平分线交$BC$于点$D$，以点$D$为圆心、$DB$长为半径作$\odot D$. 求证：$AC$与$\odot D$相切.
答案
5. 证明：如图，过点D作 $DF⊥ AC$，垂足为F.
$\because ∠ABC=90°$，$\therefore AB⊥ BC$.
$\because AD$平分$∠BAC$，$DF⊥ AC$，$\therefore BD=DF$.
$\therefore DF$为$\odot D$的半径，
$\therefore AC$与$\odot D$相切.
解析
【分析】
要证明直线与圆相切，依据切线的判定定理，需证明圆心到直线的距离等于圆的半径。本题中⊙D的半径为DB，因此我们先过圆心D作AC的垂线DF，再证明DF的长度等于半径DB即可。已知AD是∠BAC的角平分线，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，DB是D到AB的距离（由∠B=90°得AB⊥BC），DF是D到AC的距离，因此可推出DB=DF，满足切线判定的条件，即可得证。
【解析】
过点D作 $DF⊥ AC$，垂足为F。
∵ $∠ABC=90°$，
∴ $AB⊥ BC$，即DB是点D到AB的距离。
∵ $AD$平分$∠BAC$，$DF⊥ AC$，
根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，可得 $BD=DF$。
∵ ⊙D的半径为DB，
∴ DF也为$\odot D$的半径，且$DF⊥AC$，
根据切线的判定定理，可得$AC$与$\odot D$相切。
【答案】
证明：如图，过点D作 $DF⊥ AC$，垂足为F.
$\because ∠ABC=90°$，$\therefore AB⊥ BC$.
$\because AD$平分$∠BAC$，$DF⊥ AC$，$\therefore BD=DF$.
$\therefore DF$为$\odot D$的半径，
$\therefore AC$与$\odot D$相切.
【知识点】
角平分线的性质，切线的判定定理
【点评】
本题是圆的切线判定的基础题型，核心考查“作垂直、证半径”的切线证明思路，结合角平分线的性质即可快速解题，掌握这类常规辅助线的做法是解决同类题的关键。
【难度系数】
0.8
要证明直线与圆相切，依据切线的判定定理，需证明圆心到直线的距离等于圆的半径。本题中⊙D的半径为DB，因此我们先过圆心D作AC的垂线DF，再证明DF的长度等于半径DB即可。已知AD是∠BAC的角平分线，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，DB是D到AB的距离（由∠B=90°得AB⊥BC），DF是D到AC的距离，因此可推出DB=DF，满足切线判定的条件，即可得证。
【解析】
过点D作 $DF⊥ AC$，垂足为F。
∵ $∠ABC=90°$，
∴ $AB⊥ BC$，即DB是点D到AB的距离。
∵ $AD$平分$∠BAC$，$DF⊥ AC$，
根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，可得 $BD=DF$。
∵ ⊙D的半径为DB，
∴ DF也为$\odot D$的半径，且$DF⊥AC$，
根据切线的判定定理，可得$AC$与$\odot D$相切。
【答案】
证明：如图，过点D作 $DF⊥ AC$，垂足为F.
$\because ∠ABC=90°$，$\therefore AB⊥ BC$.
$\because AD$平分$∠BAC$，$DF⊥ AC$，$\therefore BD=DF$.
$\therefore DF$为$\odot D$的半径，
$\therefore AC$与$\odot D$相切.
【知识点】
角平分线的性质，切线的判定定理
【点评】
本题是圆的切线判定的基础题型，核心考查“作垂直、证半径”的切线证明思路，结合角平分线的性质即可快速解题，掌握这类常规辅助线的做法是解决同类题的关键。
【难度系数】
0.8
6. 如图 30.1-12，已知 AB 是$\odot O$的直径，点 C，D 在$\odot O$上，点 E 在$\odot O$外，$∠ EAC = ∠ D = 60°$. 求证：AE 是$\odot O$的切线. 
答案
6. 证明：$\because AB$是$\odot O$的直径，$\therefore ∠ACB=90°$.
$\because ∠D=60°$，$\therefore ∠B=60°$.
$\therefore ∠BAC=90°-∠B=30°$.
$\therefore ∠BAE = ∠BAC + ∠EAC = 30° + 60° = 90°$. $\therefore BA⊥ AE$.
$\therefore AE$是$\odot O$的切线.
$\because ∠D=60°$，$\therefore ∠B=60°$.
$\therefore ∠BAC=90°-∠B=30°$.
$\therefore ∠BAE = ∠BAC + ∠EAC = 30° + 60° = 90°$. $\therefore BA⊥ AE$.
$\therefore AE$是$\odot O$的切线.
解析
【分析】
要证明AE是$\odot O$的切线，根据切线的判定定理：过圆上一点且垂直于过该点的半径的直线是圆的切线，已知点A在$\odot O$上，AB是直径，因此只需证明$BA⊥ AE$（即$∠ BAE=90°$）即可。首先由直径所对圆周角为直角得到$∠ ACB=90°$，再根据同弧所对圆周角相等，由$∠ D=60°$推出$∠ B=60°$，即可算出$∠ BAC$的度数，最后结合已知$∠ EAC=60°$，验证$∠ BAE$为直角即可得证。
【解析】
证明：
$\because AB$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ACB=90°$。
$\because ∠ D=60°$，$∠ B$与$∠ D$都是弧AC所对的圆周角，
$\therefore ∠ B=60°$。
$\therefore ∠ BAC=90°-∠ B=30°$。
$\therefore ∠ BAE = ∠ BAC + ∠ EAC = 30° + 60° = 90°$，
$\therefore BA⊥ AE$。
$\because $点A在$\odot O$上，且$BA⊥ AE$，
$\therefore AE$是$\odot O$的切线。
【答案】
证明：$\because AB$是$\odot O$的直径，$\therefore ∠ACB=90°$.$\because ∠D=60°$，$\therefore ∠B=60°$.$\therefore ∠BAC=90°-∠B=30°$.$\therefore ∠BAE = ∠BAC + ∠EAC = 30° + 60° = 90°$. $\therefore BA⊥ AE$.$\therefore AE$是$\odot O$的切线.
【知识点】
圆周角定理，切线判定定理，同弧圆周角相等
【点评】
本题属于切线判定的基础常规题，核心考查对基础定理的应用能力，解题的关键是结合圆周角性质推导角度关系，进而得到垂直条件，熟练掌握相关定理即可快速解答。
【难度系数】
0.7
要证明AE是$\odot O$的切线，根据切线的判定定理：过圆上一点且垂直于过该点的半径的直线是圆的切线，已知点A在$\odot O$上，AB是直径，因此只需证明$BA⊥ AE$（即$∠ BAE=90°$）即可。首先由直径所对圆周角为直角得到$∠ ACB=90°$，再根据同弧所对圆周角相等，由$∠ D=60°$推出$∠ B=60°$，即可算出$∠ BAC$的度数，最后结合已知$∠ EAC=60°$，验证$∠ BAE$为直角即可得证。
【解析】
证明：
$\because AB$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ACB=90°$。
$\because ∠ D=60°$，$∠ B$与$∠ D$都是弧AC所对的圆周角，
$\therefore ∠ B=60°$。
$\therefore ∠ BAC=90°-∠ B=30°$。
$\therefore ∠ BAE = ∠ BAC + ∠ EAC = 30° + 60° = 90°$，
$\therefore BA⊥ AE$。
$\because $点A在$\odot O$上，且$BA⊥ AE$，
$\therefore AE$是$\odot O$的切线。
【答案】
证明：$\because AB$是$\odot O$的直径，$\therefore ∠ACB=90°$.$\because ∠D=60°$，$\therefore ∠B=60°$.$\therefore ∠BAC=90°-∠B=30°$.$\therefore ∠BAE = ∠BAC + ∠EAC = 30° + 60° = 90°$. $\therefore BA⊥ AE$.$\therefore AE$是$\odot O$的切线.
【知识点】
圆周角定理，切线判定定理，同弧圆周角相等
【点评】
本题属于切线判定的基础常规题，核心考查对基础定理的应用能力，解题的关键是结合圆周角性质推导角度关系，进而得到垂直条件，熟练掌握相关定理即可快速解答。
【难度系数】
0.7
7. 如图30.1-13，点A(1，0)，B(0，2)，O(0，0)，点M为线段AB的中点，以点O为圆心、$\frac{2\sqrt{5}}{5}$为半径作$\odot O$，则下列结论中正确的是（
A.AB与$\odot O$相切
B.点A在$\odot O$上
C.点B在$\odot O$上
D.点M在$\odot O$上
A
）.A.AB与$\odot O$相切
B.点A在$\odot O$上
C.点B在$\odot O$上
D.点M在$\odot O$上
答案
7. A
解析
【分析】
要判断各选项是否正确，需分别验证：①直线AB与⊙O的位置关系：计算原点O到直线AB的距离，与⊙O半径比较，若距离等于半径则相切；②点与圆的位置关系：分别计算点A、B、M到原点O的距离，与半径比较，距离等于半径则点在圆上。首先先求线段AB的长度，再用面积法求O到AB的距离，再依次验证各点到O的距离即可。
【解析】
1. 计算线段AB的长度：已知A(1,0)，B(0,2)，∠AOB=90°，由勾股定理得$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
2. 求点O到直线AB的距离d：△OAB的面积$S=\frac{1}{2}· OA· OB=\frac{1}{2}×1×2=1$，同时$S=\frac{1}{2}· AB· d$，代入得$1=\frac{1}{2}×\sqrt{5}· d$，解得$d=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，与⊙O的半径相等，因此AB与⊙O相切，A选项正确。
3. 验证其余选项：
B选项：OA=1，$1＞\frac{2\sqrt{5}}{5}$，点A在⊙O外，错误；
C选项：OB=2，$2＞\frac{2\sqrt{5}}{5}$，点B在⊙O外，错误；
D选项：M是Rt△OAB斜边AB的中点，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得$OM=\frac{1}{2}AB=\frac{\sqrt{5}}{2}$，$\frac{\sqrt{5}}{2}＞\frac{2\sqrt{5}}{5}$，点M在⊙O外，错误。
综上，正确答案为A。
【答案】
A
【知识点】
直线与圆的位置关系；点与圆的位置关系；直角三角形的性质
【点评】
本题是位置关系判定的基础综合题，核心是掌握“距离与半径的大小关系对应位置关系”的判定规则，用面积法求点到直线的距离是简化计算的常用技巧。
【难度系数】
0.7
要判断各选项是否正确，需分别验证：①直线AB与⊙O的位置关系：计算原点O到直线AB的距离，与⊙O半径比较，若距离等于半径则相切；②点与圆的位置关系：分别计算点A、B、M到原点O的距离，与半径比较，距离等于半径则点在圆上。首先先求线段AB的长度，再用面积法求O到AB的距离，再依次验证各点到O的距离即可。
【解析】
1. 计算线段AB的长度：已知A(1,0)，B(0,2)，∠AOB=90°，由勾股定理得$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
2. 求点O到直线AB的距离d：△OAB的面积$S=\frac{1}{2}· OA· OB=\frac{1}{2}×1×2=1$，同时$S=\frac{1}{2}· AB· d$，代入得$1=\frac{1}{2}×\sqrt{5}· d$，解得$d=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，与⊙O的半径相等，因此AB与⊙O相切，A选项正确。
3. 验证其余选项：
B选项：OA=1，$1＞\frac{2\sqrt{5}}{5}$，点A在⊙O外，错误；
C选项：OB=2，$2＞\frac{2\sqrt{5}}{5}$，点B在⊙O外，错误；
D选项：M是Rt△OAB斜边AB的中点，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得$OM=\frac{1}{2}AB=\frac{\sqrt{5}}{2}$，$\frac{\sqrt{5}}{2}＞\frac{2\sqrt{5}}{5}$，点M在⊙O外，错误。
综上，正确答案为A。
【答案】
A
【知识点】
直线与圆的位置关系；点与圆的位置关系；直角三角形的性质
【点评】
本题是位置关系判定的基础综合题，核心是掌握“距离与半径的大小关系对应位置关系”的判定规则，用面积法求点到直线的距离是简化计算的常用技巧。
【难度系数】
0.7
