登录
5. 如图 30.1-21，PA，PB 是⊙O 的切线，A，B 是切点. 若∠AOB＝130°，则∠APO 的度数是
图 30.1-21 图 30.1-22 图 30.1-23
25°
. 图 30.1-21 图 30.1-22 图 30.1-23
答案
5. 25°
解析
【分析】
解题时先结合已知条件回忆切线相关性质：首先，圆的切线垂直于过切点的半径，因此可得△OAP是直角三角形，要计算∠APO，只需先求出∠AOP的度数；再根据切线长定理，圆外一点与圆心的连线平分该点所引两条切线对应的圆心角，因此∠AOP为∠AOB的一半，求出∠AOP后，利用直角三角形两锐角互余即可算出∠APO的度数。
【解析】
解：
∵PA是⊙O的切线，A为切点，
∴OA⊥PA，即∠OAP=90°，
∵PA、PB是⊙O的两条切线，
∴OP平分∠AOB，
∴∠AOP=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×130°=65°，
在Rt△AOP中，∠APO+∠AOP=90°，
∴∠APO=90°-65°=25°。
【答案】
25°
【知识点】
1.切线的性质 2.切线长定理 3.直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查圆的切线相关性质的应用，解题的关键是熟练掌握切线性质与切线长定理，结合直角三角形的内角性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先结合已知条件回忆切线相关性质：首先，圆的切线垂直于过切点的半径，因此可得△OAP是直角三角形，要计算∠APO，只需先求出∠AOP的度数；再根据切线长定理，圆外一点与圆心的连线平分该点所引两条切线对应的圆心角，因此∠AOP为∠AOB的一半，求出∠AOP后，利用直角三角形两锐角互余即可算出∠APO的度数。
【解析】
解：
∵PA是⊙O的切线，A为切点，
∴OA⊥PA，即∠OAP=90°，
∵PA、PB是⊙O的两条切线，
∴OP平分∠AOB，
∴∠AOP=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×130°=65°，
在Rt△AOP中，∠APO+∠AOP=90°，
∴∠APO=90°-65°=25°。
【答案】
25°
【知识点】
1.切线的性质 2.切线长定理 3.直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查圆的切线相关性质的应用，解题的关键是熟练掌握切线性质与切线长定理，结合直角三角形的内角性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
6. 如图30.1-22，AB，AC，BD是$\odot O$的切线，切点分别是P，C，D. 若$AB=8$，$AC=5$，则BD的长是
3
.答案
6. 3
解析
【分析】
本题可利用切线长定理求解，解题思路如下：首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。第一步先找到从点A引出的两条⊙O的切线AC、AP，可得二者长度相等，由此算出AP的长度；第二步用AB的长度减去AP的长度得到BP的长度；第三步找到从点B引出的两条⊙O的切线BP、BD，可得二者长度相等，即可求出BD的长。
【解析】
∵AC、AP都是⊙O的切线，切点分别为C、P，根据切线长定理可得：
$AC=AP=5$
又
∵$AB=8$
∴$BP=AB-AP=8-5=3$
∵BP、BD都是⊙O的切线，切点分别为P、D，根据切线长定理可得：
$BD=BP=3$
【答案】
3
【知识点】
切线长定理
【点评】
本题是切线长定理的基础应用题型，解题的关键是准确识别从同一点出发的两条圆的切线，对应切线长相等，熟练掌握定理即可快速得出答案。
【难度系数】
0.85
本题可利用切线长定理求解，解题思路如下：首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。第一步先找到从点A引出的两条⊙O的切线AC、AP，可得二者长度相等，由此算出AP的长度；第二步用AB的长度减去AP的长度得到BP的长度；第三步找到从点B引出的两条⊙O的切线BP、BD，可得二者长度相等，即可求出BD的长。
【解析】
∵AC、AP都是⊙O的切线，切点分别为C、P，根据切线长定理可得：
$AC=AP=5$
又
∵$AB=8$
∴$BP=AB-AP=8-5=3$
∵BP、BD都是⊙O的切线，切点分别为P、D，根据切线长定理可得：
$BD=BP=3$
【答案】
3
【知识点】
切线长定理
【点评】
本题是切线长定理的基础应用题型，解题的关键是准确识别从同一点出发的两条圆的切线，对应切线长相等，熟练掌握定理即可快速得出答案。
【难度系数】
0.85
7. 如图30.1-23，PA，PB分别与$\odot O$相切于点A，B，AC是$\odot O$的直径，连接OP，OB，BC.若$∠ APB=60°$，则下列结论中，一定正确的是
①$OB=BC$；②$BC// PO$；③$PO=AC$；④$∠ PBC=∠ POC$.
①②③
.①$OB=BC$；②$BC// PO$；③$PO=AC$；④$∠ PBC=∠ POC$.
答案
7. ①②③
解析
【分析】
解题时可从切线的性质出发：①PA、PB是⊙O的切线，因此OA⊥PA、OB⊥PB、PA=PB、OP平分∠APB，结合已知∠APB=60°可先推出∠AOB的度数，再由AC是直径得到∠BOC的度数，进而判断△OBC的形状，验证结论①；②再通过计算内错角的度数，判断BC与PO是否平行，验证结论②；③利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质，可得PO与半径的关系，再结合AC是直径等于2倍半径，验证结论③；④最后分别计算∠PBC和∠POC的度数，判断二者是否相等，验证结论④。
【解析】
∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B
∴OA⊥PA，OB⊥PB，PA=PB，OP平分∠APB
∵∠APB=60°，
∴∠APO=∠BPO=30°
在四边形OAPB中，∠OAP=∠OBP=90°，∠APB=60°
∴∠AOB=360°-90°-90°-60°=120°
∵AC是⊙O的直径，
∴∠AOC=180°，则∠BOC=180°-120°=60°
又
∵OB=OC（均为⊙O半径），
∴△OBC是等边三角形
∴OB=BC，∠OBC=60°，故①正确；
在Rt△OBP中，∠OBP=90°，∠BPO=30°，
∴∠POB=90°-30°=60°
∴∠POB=∠OBC=60°，内错角相等两直线平行，可得BC//PO，故②正确；
在Rt△OBP中，∠BPO=30°，
∴PO=2OB（直角三角形中30°角所对直角边是斜边的一半）
∵AC是⊙O直径，
∴AC=2OB，因此PO=AC，故③正确；
∵∠OBP=90°，∠OBC=60°，
∴∠PBC=90°-60°=30°
在Rt△OAP中，∠APO=30°，
∴∠POA=60°，则∠POC=180°-60°=120°
显然∠PBC≠∠POC，故④错误。
【答案】
①②③
【知识点】
切线的性质、等边三角形判定与性质、直角三角形30°角性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题关键是熟练运用切线性质推导角的数量关系，再结合特殊三角形、平行线判定等知识逐个验证结论，能有效考查逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
解题时可从切线的性质出发：①PA、PB是⊙O的切线，因此OA⊥PA、OB⊥PB、PA=PB、OP平分∠APB，结合已知∠APB=60°可先推出∠AOB的度数，再由AC是直径得到∠BOC的度数，进而判断△OBC的形状，验证结论①；②再通过计算内错角的度数，判断BC与PO是否平行，验证结论②；③利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质，可得PO与半径的关系，再结合AC是直径等于2倍半径，验证结论③；④最后分别计算∠PBC和∠POC的度数，判断二者是否相等，验证结论④。
【解析】
∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B
∴OA⊥PA，OB⊥PB，PA=PB，OP平分∠APB
∵∠APB=60°，
∴∠APO=∠BPO=30°
在四边形OAPB中，∠OAP=∠OBP=90°，∠APB=60°
∴∠AOB=360°-90°-90°-60°=120°
∵AC是⊙O的直径，
∴∠AOC=180°，则∠BOC=180°-120°=60°
又
∵OB=OC（均为⊙O半径），
∴△OBC是等边三角形
∴OB=BC，∠OBC=60°，故①正确；
在Rt△OBP中，∠OBP=90°，∠BPO=30°，
∴∠POB=90°-30°=60°
∴∠POB=∠OBC=60°，内错角相等两直线平行，可得BC//PO，故②正确；
在Rt△OBP中，∠BPO=30°，
∴PO=2OB（直角三角形中30°角所对直角边是斜边的一半）
∵AC是⊙O直径，
∴AC=2OB，因此PO=AC，故③正确；
∵∠OBP=90°，∠OBC=60°，
∴∠PBC=90°-60°=30°
在Rt△OAP中，∠APO=30°，
∴∠POA=60°，则∠POC=180°-60°=120°
显然∠PBC≠∠POC，故④错误。
【答案】
①②③
【知识点】
切线的性质、等边三角形判定与性质、直角三角形30°角性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题关键是熟练运用切线性质推导角的数量关系，再结合特殊三角形、平行线判定等知识逐个验证结论，能有效考查逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
8. 如图30.1-24，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB，AC分别与小圆相切于点D，E. 求证AB=AC. 
图30.1-24
图30.1-24答案
8. 证明：如图，连接OE，OD.
∵AB，AC分别与小圆相切于点D，E，
∴OE⊥AC，OD⊥AB，AD=AE.
∵AB，AC是大圆的弦，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB，AE=$\frac{1}{2}$AC.
∴AB=AC.
解析
【分析】
解题时首先观察题干条件，出现圆的切线，优先考虑连接圆心与切点的辅助线：①连接OD、OE后，根据切线的性质可得OD⊥AB、OE⊥AC，同时根据切线长定理，点A到小圆的两条切线长相等，即AD=AE；②AB、AC是大圆的弦，OD、OE均过圆心O且分别垂直于两条弦，符合垂径定理的应用条件，可得AD是AB的一半，AE是AC的一半；③结合AD=AE做等量代换，即可推出AB=AC。
【解析】
证明：连接OE、OD。
∵AB、AC分别与小圆相切于点D、E，
∴根据切线的性质和切线长定理可得：OE⊥AC，OD⊥AB，AD=AE。
又
∵AB、AC是大圆的弦，OD过圆心O且垂直AB，OE过圆心O且垂直AC，
∴由垂径定理可知：$AD=\frac{1}{2}AB$，$AE=\frac{1}{2}AC$。
∴$\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}AC$，即AB=AC。
【答案】
8. 证明：如图，连接OE，OD.
∵AB，AC分别与小圆相切于点D，E，
∴OE⊥AC，OD⊥AB，AD=AE.
∵AB，AC是大圆的弦，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB，AE=$\frac{1}{2}$AC.
∴AB=AC.
【知识点】
切线的性质，垂径定理，切线长定理
【点评】
本题属于圆的性质的基础考查题，核心是掌握切线类问题的常用辅助线做法，结合垂径定理和切线长定理即可完成推导，是圆章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察题干条件，出现圆的切线，优先考虑连接圆心与切点的辅助线：①连接OD、OE后，根据切线的性质可得OD⊥AB、OE⊥AC，同时根据切线长定理，点A到小圆的两条切线长相等，即AD=AE；②AB、AC是大圆的弦，OD、OE均过圆心O且分别垂直于两条弦，符合垂径定理的应用条件，可得AD是AB的一半，AE是AC的一半；③结合AD=AE做等量代换，即可推出AB=AC。
【解析】
证明：连接OE、OD。
∵AB、AC分别与小圆相切于点D、E，
∴根据切线的性质和切线长定理可得：OE⊥AC，OD⊥AB，AD=AE。
又
∵AB、AC是大圆的弦，OD过圆心O且垂直AB，OE过圆心O且垂直AC，
∴由垂径定理可知：$AD=\frac{1}{2}AB$，$AE=\frac{1}{2}AC$。
∴$\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}AC$，即AB=AC。
【答案】
8. 证明：如图，连接OE，OD.
∵AB，AC分别与小圆相切于点D，E，
∴OE⊥AC，OD⊥AB，AD=AE.
∵AB，AC是大圆的弦，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB，AE=$\frac{1}{2}$AC.
∴AB=AC.
【知识点】
切线的性质，垂径定理，切线长定理
【点评】
本题属于圆的性质的基础考查题，核心是掌握切线类问题的常用辅助线做法，结合垂径定理和切线长定理即可完成推导，是圆章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.8
9. 如图 30.1-25，△ABC 是直角三角形，∠ACB＝90°，若 AC＝48，BC＝90，AB 与⊙O 相切于点 D，CE，CF 分别与⊙O 相切于点 E，F.则⊙O 的半径是（
A.100
B.120
C.140
D.160
B
）.A.100
B.120
C.140
D.160
答案
9. B
解析
【分析】
解题时先结合切线性质判断四边形OECF的形状，得到半径与CE、CF的等量关系，再用勾股定理求出AB的长度，最后根据切线长定理找到线段间的和差关系列方程求解即可。要注意E、F在AC、BC的延长线上，需正确表示AE、BF的长度。
【解析】
1. 求AB的长度：
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=48$，$BC=90$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{48^2+90^2}=\sqrt{2304+8100}=\sqrt{10404}=102$
2. 设$\odot O$的半径为$r$：
$\because CE、CF$分别与$\odot O$相切于$E、F$，$\therefore OE⊥ CE$，$OF⊥ CF$，$OE=OF=r$
又$\because ∠ ECF=∠ ACB=90°$，$\therefore$四边形$OECF$是正方形，得$CE=CF=r$
3. 由切线长定理可知：从圆外一点引圆的两条切线长度相等
$\therefore AD=AE=CE-AC=r-48$，$BD=BF=CF-BC=r-90$
$\because AD+BD=AB$，代入得方程：
$(r-48)+(r-90)=102$
$2r-138=102$
解得$r=120$
【答案】
B
【知识点】
切线长定理，勾股定理，正方形的判定
【点评】
本题是圆的切线性质的综合应用题型，核心是通过切线长定理构建线段等量关系，结合方程思想求解，掌握切线相关基础性质是解题的关键。
【难度系数】
0.6
解题时先结合切线性质判断四边形OECF的形状，得到半径与CE、CF的等量关系，再用勾股定理求出AB的长度，最后根据切线长定理找到线段间的和差关系列方程求解即可。要注意E、F在AC、BC的延长线上，需正确表示AE、BF的长度。
【解析】
1. 求AB的长度：
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=48$，$BC=90$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{48^2+90^2}=\sqrt{2304+8100}=\sqrt{10404}=102$
2. 设$\odot O$的半径为$r$：
$\because CE、CF$分别与$\odot O$相切于$E、F$，$\therefore OE⊥ CE$，$OF⊥ CF$，$OE=OF=r$
又$\because ∠ ECF=∠ ACB=90°$，$\therefore$四边形$OECF$是正方形，得$CE=CF=r$
3. 由切线长定理可知：从圆外一点引圆的两条切线长度相等
$\therefore AD=AE=CE-AC=r-48$，$BD=BF=CF-BC=r-90$
$\because AD+BD=AB$，代入得方程：
$(r-48)+(r-90)=102$
$2r-138=102$
解得$r=120$
【答案】
B
【知识点】
切线长定理，勾股定理，正方形的判定
【点评】
本题是圆的切线性质的综合应用题型，核心是通过切线长定理构建线段等量关系，结合方程思想求解，掌握切线相关基础性质是解题的关键。
【难度系数】
0.6
10. 如图30.1-26，$\odot O$与正方形ABCD的两边AB，AD都相切，且DE与$\odot O$相切于点E，若正方形ABCD的边长为4，$DE=3$，则OD的长为
$\sqrt{10}$
。答案
10. $\sqrt{10}$
解析
【分析】
解题时先观察图形特征：⊙O与正方形相邻两边AB、AD相切，可知圆心O到AB、AD的距离相等，都等于圆的半径，且从点D出发向⊙O引了两条切线DF（F为AD与⊙O的切点）和DE，可联想到切线长定理。第一步先利用切线长定理求出DF的长度，第二步结合AD的边长求出圆的半径，第三步构造直角三角形，利用勾股定理计算OD的长度即可。
【解析】
设$\odot O$与AD边相切于点F，连接$OF$。
1. 根据切线性质：$\odot O$与AD相切，因此$OF⊥ AD$，且$OF$为$\odot O$的半径$r$。
2. 由切线长定理：$DE$和$DF$都是$\odot O$的切线，切点分别为$E$、$F$，因此$DF=DE=3$。
3. 已知正方形ABCD边长为4，即$AD=4$，因此$AF=AD-DF=4-3=1$。
又因为$\odot O$同时与AB、AD相切，$∠ BAD=90°$，所以$AF=OF=r=1$。
4. 在$Rt△ OFD$中，$OF=1$，$DF=3$，由勾股定理得：
$OD=\sqrt{OF^2 + DF^2}=\sqrt{1^2 + 3^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$。
【答案】
$\sqrt{10}$
【知识点】
切线长定理，勾股定理，正方形的性质
【点评】
本题是圆与正方形结合的基础几何计算题，解题核心是熟练运用切线长定理得到等长线段，进而求出圆的半径，再结合勾股定理求解目标线段长度，解题时注意正确作出辅助线构造直角三角形。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形特征：⊙O与正方形相邻两边AB、AD相切，可知圆心O到AB、AD的距离相等，都等于圆的半径，且从点D出发向⊙O引了两条切线DF（F为AD与⊙O的切点）和DE，可联想到切线长定理。第一步先利用切线长定理求出DF的长度，第二步结合AD的边长求出圆的半径，第三步构造直角三角形，利用勾股定理计算OD的长度即可。
【解析】
设$\odot O$与AD边相切于点F，连接$OF$。
1. 根据切线性质：$\odot O$与AD相切，因此$OF⊥ AD$，且$OF$为$\odot O$的半径$r$。
2. 由切线长定理：$DE$和$DF$都是$\odot O$的切线，切点分别为$E$、$F$，因此$DF=DE=3$。
3. 已知正方形ABCD边长为4，即$AD=4$，因此$AF=AD-DF=4-3=1$。
又因为$\odot O$同时与AB、AD相切，$∠ BAD=90°$，所以$AF=OF=r=1$。
4. 在$Rt△ OFD$中，$OF=1$，$DF=3$，由勾股定理得：
$OD=\sqrt{OF^2 + DF^2}=\sqrt{1^2 + 3^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$。
【答案】
$\sqrt{10}$
【知识点】
切线长定理，勾股定理，正方形的性质
【点评】
本题是圆与正方形结合的基础几何计算题，解题核心是熟练运用切线长定理得到等长线段，进而求出圆的半径，再结合勾股定理求解目标线段长度，解题时注意正确作出辅助线构造直角三角形。
【难度系数】
0.7
