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1.函数$y=|a|x+a$与$y=\frac{a}{x}(a≠0)$在同一平面直角坐标系中的图象可能是 （
C
）答案
1.C
解析
【分析】
解题需采用分类讨论思想，根据参数a的正负分别判断一次函数与反比例函数的图象特征，再逐一比对选项排除不符合的即可。首先分a＞0和a＜0两种情况：先根据a的正负确定|a|的符号，再结合一次函数的一次项系数、常数项判断一次函数经过的象限；同时根据a的正负判断反比例函数所在的象限，两种函数图象特征均吻合的选项即为正确答案。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当$a＞0$时：
一次函数$y=|a|x+a$可化为$y=ax+a$，一次项系数$a＞0$，常数项$a＞0$，因此图象经过第一、二、三象限；
反比例函数$y=\frac{a}{x}$中$a＞0$，因此图象位于第一、三象限。
观察选项：C符合该特征，D中一次函数与y轴交于负半轴，不符合，排除D。
2. 当$a＜0$时：
一次函数$y=|a|x+a$可化为$y=-ax+a$，一次项系数$-a＞0$，常数项$a＜0$，因此图象经过第一、三、四象限；
反比例函数$y=\frac{a}{x}$中$a＜0$，因此图象位于第二、四象限。
观察选项：A、B中一次函数斜率为负（从左到右下降），不符合一次项系数为正的特征，排除A、B。
综上，只有C选项符合所有特征。
【答案】
C
【知识点】
一次函数图象性质，反比例函数图象性质，分类讨论
【点评】
本题是一次函数与反比例函数图象的综合题，核心考查两类函数的图象与系数的关系，通过分类讨论参数的取值范围，结合图象性质逐一排除错误选项，是这类题的通用解法。
【难度系数】
0.7
解题需采用分类讨论思想，根据参数a的正负分别判断一次函数与反比例函数的图象特征，再逐一比对选项排除不符合的即可。首先分a＞0和a＜0两种情况：先根据a的正负确定|a|的符号，再结合一次函数的一次项系数、常数项判断一次函数经过的象限；同时根据a的正负判断反比例函数所在的象限，两种函数图象特征均吻合的选项即为正确答案。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当$a＞0$时：
一次函数$y=|a|x+a$可化为$y=ax+a$，一次项系数$a＞0$，常数项$a＞0$，因此图象经过第一、二、三象限；
反比例函数$y=\frac{a}{x}$中$a＞0$，因此图象位于第一、三象限。
观察选项：C符合该特征，D中一次函数与y轴交于负半轴，不符合，排除D。
2. 当$a＜0$时：
一次函数$y=|a|x+a$可化为$y=-ax+a$，一次项系数$-a＞0$，常数项$a＜0$，因此图象经过第一、三、四象限；
反比例函数$y=\frac{a}{x}$中$a＜0$，因此图象位于第二、四象限。
观察选项：A、B中一次函数斜率为负（从左到右下降），不符合一次项系数为正的特征，排除A、B。
综上，只有C选项符合所有特征。
【答案】
C
【知识点】
一次函数图象性质，反比例函数图象性质，分类讨论
【点评】
本题是一次函数与反比例函数图象的综合题，核心考查两类函数的图象与系数的关系，通过分类讨论参数的取值范围，结合图象性质逐一排除错误选项，是这类题的通用解法。
【难度系数】
0.7
2.如图，直线$y_{1}=-x+2$与双曲线$y_{2}=\frac{k}{x}$相交于A，B两点，已知点B坐标为$(2m,-m)$，当$y_{2}＞-m$时，$x$的取值范围为（
A.$x＞4$或$x＜0$
B.$-2＜x＜4$
C.$x＞4$
D.$x＞4$或$-2＜x＜0$
A
）A.$x＞4$或$x＜0$
B.$-2＜x＜4$
C.$x＞4$
D.$x＞4$或$-2＜x＜0$
答案
2.A
解析
【分析】
解题思路分三步：第一步，点B既在直线上，将B点坐标代入一次函数解析式即可求出m的值，进而得到B点坐标和不等式右侧的数值；第二步，把B点坐标代入反比例函数解析式求出k，得到反比例函数的完整表达式；第三步，解反比例函数值大于给定值的不等式，也可结合反比例函数图象的性质直接判断取值范围。
【解析】
1. 求参数m的值
∵ 点$B(2m,-m)$在直线$y_1=-x+2$上
∴ 将$x=2m$，$y=-m$代入直线解析式得：
$-m=-(2m)+2$
解得$m=2$
∴ 点B的坐标为$(4,-2)$，要求$y_2＞-m$即$y_2＞-2$
2. 求反比例函数解析式
将$B(4,-2)$代入$y_2=\frac{k}{x}$得：
$-2=\frac{k}{4}$，解得$k=-8$
∴ 反比例函数解析式为$y_2=-\frac{8}{x}$
3. 求解x的取值范围
解不等式$-\frac{8}{x}＞-2$：
移项整理得$\frac{2x-8}{x}＞0$，分式大于0等价于分子分母同号，即$x(2x-8)＞0$，化简得$x(x-4)＞0$
解得$x＜0$或$x＞4$
【答案】
A
【知识点】
一次函数与反比例函数综合；分式不等式求解；反比例函数图象性质
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的常见综合题型，解题的核心是利用交点坐标同时满足两个函数解析式的特点求出未知参数，既可以通过解不等式得到结果，也可以结合函数图象直观判断，难度适中。
【难度系数】
0.7
解题思路分三步：第一步，点B既在直线上，将B点坐标代入一次函数解析式即可求出m的值，进而得到B点坐标和不等式右侧的数值；第二步，把B点坐标代入反比例函数解析式求出k，得到反比例函数的完整表达式；第三步，解反比例函数值大于给定值的不等式，也可结合反比例函数图象的性质直接判断取值范围。
【解析】
1. 求参数m的值
∵ 点$B(2m,-m)$在直线$y_1=-x+2$上
∴ 将$x=2m$，$y=-m$代入直线解析式得：
$-m=-(2m)+2$
解得$m=2$
∴ 点B的坐标为$(4,-2)$，要求$y_2＞-m$即$y_2＞-2$
2. 求反比例函数解析式
将$B(4,-2)$代入$y_2=\frac{k}{x}$得：
$-2=\frac{k}{4}$，解得$k=-8$
∴ 反比例函数解析式为$y_2=-\frac{8}{x}$
3. 求解x的取值范围
解不等式$-\frac{8}{x}＞-2$：
移项整理得$\frac{2x-8}{x}＞0$，分式大于0等价于分子分母同号，即$x(2x-8)＞0$，化简得$x(x-4)＞0$
解得$x＜0$或$x＞4$
【答案】
A
【知识点】
一次函数与反比例函数综合；分式不等式求解；反比例函数图象性质
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的常见综合题型，解题的核心是利用交点坐标同时满足两个函数解析式的特点求出未知参数，既可以通过解不等式得到结果，也可以结合函数图象直观判断，难度适中。
【难度系数】
0.7
3.已知直线$y=x+2$与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象有交点，则$k$的取值范围是（
A.$k＞-1$
B.$k≥-1$
C.$k＞-1$且$k≠0$
D.$k≥-1$且$k≠0$
D
）A.$k＞-1$
B.$k≥-1$
C.$k＞-1$且$k≠0$
D.$k≥-1$且$k≠0$
答案
3.D
解析
【分析】
要解决本题，可按以下思路思考：首先，反比例函数的定义要求比例系数k≠0，这是容易遗漏的隐含条件；其次，两个函数图象有交点，等价于联立两个函数解析式得到的方程组有实数解，将方程组消元后可转化为一元二次方程有实根的问题，利用一元二次方程根的判别式建立不等式求解，最后结合k≠0的限制即可得到k的取值范围。
【解析】
1. 由反比例函数的定义可知，$y=\frac{k}{x}$中$k≠0$。
2. 联立两个函数的解析式：
$\begin{cases} y=x+2 \\y=\frac{k}{x}\end{cases}$
消去$y$可得：$x+2=\frac{k}{x}$，两边同乘$x$（$x≠0$）整理得一元二次方程：$x^2+2x -k=0$。
3. 因为直线与反比例函数图象有交点，所以上述一元二次方程有实数根，根据根的判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$，其中$a=1$，$b=2$，$c=-k$，代入得：
$\Delta=2^2 - 4×1×(-k)=4+4k≥0$
解不等式得：$k≥-1$。
4. 结合反比例函数$k≠0$的限制，最终$k$的取值范围是$k≥-1$且$k≠0$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的定义；函数交点与方程根的关系；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是函数综合类基础题，解题的关键是先明确反比例函数中k不为0的隐含条件，再将函数交点问题转化为一元二次方程根的问题求解，易错点是容易遗漏k≠0的限制条件导致错选。
【难度系数】
0.7
要解决本题，可按以下思路思考：首先，反比例函数的定义要求比例系数k≠0，这是容易遗漏的隐含条件；其次，两个函数图象有交点，等价于联立两个函数解析式得到的方程组有实数解，将方程组消元后可转化为一元二次方程有实根的问题，利用一元二次方程根的判别式建立不等式求解，最后结合k≠0的限制即可得到k的取值范围。
【解析】
1. 由反比例函数的定义可知，$y=\frac{k}{x}$中$k≠0$。
2. 联立两个函数的解析式：
$\begin{cases} y=x+2 \\y=\frac{k}{x}\end{cases}$
消去$y$可得：$x+2=\frac{k}{x}$，两边同乘$x$（$x≠0$）整理得一元二次方程：$x^2+2x -k=0$。
3. 因为直线与反比例函数图象有交点，所以上述一元二次方程有实数根，根据根的判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$，其中$a=1$，$b=2$，$c=-k$，代入得：
$\Delta=2^2 - 4×1×(-k)=4+4k≥0$
解不等式得：$k≥-1$。
4. 结合反比例函数$k≠0$的限制，最终$k$的取值范围是$k≥-1$且$k≠0$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的定义；函数交点与方程根的关系；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是函数综合类基础题，解题的关键是先明确反比例函数中k不为0的隐含条件，再将函数交点问题转化为一元二次方程根的问题求解，易错点是容易遗漏k≠0的限制条件导致错选。
【难度系数】
0.7
4.我们知道,方程$kx^2 + x - 4 = 0(k≠0)$的两个解可看作直线$y = kx + 1$与双曲线$y = \frac{4}{x}$的图象交点的横坐标.若这两个交点所对应的坐标为$(x_1,\frac{4}{x_1}),(x_2,\frac{4}{x_2})$,且均在直线$y = x$的同侧,则实数$k$的取值范围是 （
A.$\frac{1}{2} ＜ k ＜ \frac{3}{2}$
B.$-\frac{1}{2} ＜ k ＜ \frac{3}{2}$
C.$\frac{1}{2} ＜ k ＜ \frac{3}{2}$或$-\frac{1}{16} ＜ k ＜ 0$
D.$-\frac{1}{16} ＜ k ＜ 0$或$0 ＜ k ＜ \frac{3}{2}$
C
）A.$\frac{1}{2} ＜ k ＜ \frac{3}{2}$
B.$-\frac{1}{2} ＜ k ＜ \frac{3}{2}$
C.$\frac{1}{2} ＜ k ＜ \frac{3}{2}$或$-\frac{1}{16} ＜ k ＜ 0$
D.$-\frac{1}{16} ＜ k ＜ 0$或$0 ＜ k ＜ \frac{3}{2}$
答案
4.C
解析
【分析】
解题思路如下：首先，方程有两个不相等的实根，需先满足判别式大于0，得到k的初步范围；其次，两个交点在直线$y=x$同侧的本质是两点的$(y-x)$值同号，即乘积大于0，将该不等式结合韦达定理表示的两根之和、两根之积展开化简，求解不等式；最后综合判别式的条件，得到k的最终取值范围。
【解析】
1. 求方程有两个不等实根的条件
对于方程$kx^2 + x -4=0(k≠0)$，判别式$\Delta=1^2 -4· k· (-4)=1+16k＞0$，解得$k＞-\frac{1}{16}$，结合$k≠0$，得$k\in(-\frac{1}{16},0)\cup(0,+∞)$。
2. 转化点在$y=x$同侧的条件
点$(x,\frac{4}{x})$在$y=x$同侧，即$(\frac{4}{x_1}-x_1)$与$(\frac{4}{x_2}-x_2)$同号，因此$(\frac{4}{x_1}-x_1)(\frac{4}{x_2}-x_2)＞0$，整理得：
$\frac{(x_1^2-4)(x_2^2-4)}{x_1x_2}＞0$
3. 结合韦达定理化简不等式
由韦达定理得：$x_1+x_2=-\frac{1}{k}$，$x_1x_2=-\frac{4}{k}$，$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=\frac{1}{k^2}+\frac{8}{k}$。
展开分子：$(x_1x_2)^2-4(x_1^2+x_2^2)+16=\frac{16}{k^2}-4(\frac{1}{k^2}+\frac{8}{k})+16=\frac{12}{k^2}-\frac{32}{k}+16$。
代入不等式化简得：
$\frac{\frac{12}{k^2}-\frac{32}{k}+16}{-\frac{4}{k}}＞0 \implies k(2k-1)(2k-3)＜0$
解得：$k＜0$或$\frac{1}{2}＜k＜\frac{3}{2}$。
4. 综合条件得结果
结合$k＞-\frac{1}{16}$，最终$k$的取值范围是$-\frac{1}{16}＜k＜0$或$\frac{1}{2}＜k＜\frac{3}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
函数交点与方程根的关系，韦达定理，不等式求解
【点评】
本题将函数交点性质和一元二次方程知识点结合考查，解题的核心是正确转化"点在直线同侧"的代数含义，同时不要遗漏判别式大于0的前提条件。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：首先，方程有两个不相等的实根，需先满足判别式大于0，得到k的初步范围；其次，两个交点在直线$y=x$同侧的本质是两点的$(y-x)$值同号，即乘积大于0，将该不等式结合韦达定理表示的两根之和、两根之积展开化简，求解不等式；最后综合判别式的条件，得到k的最终取值范围。
【解析】
1. 求方程有两个不等实根的条件
对于方程$kx^2 + x -4=0(k≠0)$，判别式$\Delta=1^2 -4· k· (-4)=1+16k＞0$，解得$k＞-\frac{1}{16}$，结合$k≠0$，得$k\in(-\frac{1}{16},0)\cup(0,+∞)$。
2. 转化点在$y=x$同侧的条件
点$(x,\frac{4}{x})$在$y=x$同侧，即$(\frac{4}{x_1}-x_1)$与$(\frac{4}{x_2}-x_2)$同号，因此$(\frac{4}{x_1}-x_1)(\frac{4}{x_2}-x_2)＞0$，整理得：
$\frac{(x_1^2-4)(x_2^2-4)}{x_1x_2}＞0$
3. 结合韦达定理化简不等式
由韦达定理得：$x_1+x_2=-\frac{1}{k}$，$x_1x_2=-\frac{4}{k}$，$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=\frac{1}{k^2}+\frac{8}{k}$。
展开分子：$(x_1x_2)^2-4(x_1^2+x_2^2)+16=\frac{16}{k^2}-4(\frac{1}{k^2}+\frac{8}{k})+16=\frac{12}{k^2}-\frac{32}{k}+16$。
代入不等式化简得：
$\frac{\frac{12}{k^2}-\frac{32}{k}+16}{-\frac{4}{k}}＞0 \implies k(2k-1)(2k-3)＜0$
解得：$k＜0$或$\frac{1}{2}＜k＜\frac{3}{2}$。
4. 综合条件得结果
结合$k＞-\frac{1}{16}$，最终$k$的取值范围是$-\frac{1}{16}＜k＜0$或$\frac{1}{2}＜k＜\frac{3}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
函数交点与方程根的关系，韦达定理，不等式求解
【点评】
本题将函数交点性质和一元二次方程知识点结合考查，解题的核心是正确转化"点在直线同侧"的代数含义，同时不要遗漏判别式大于0的前提条件。
【难度系数】
0.6
