5.如图,在直角坐标系中,$Rt△ ABC$位于第一象限,两条直角边$AC$,$AB$分别平行于$x$轴、$y$轴,点$A$的坐标为$(1,1)$,$AB=AC=2$.
(1)求$BC$边所在直线的表达式.
(2)若反比例函数$y=\frac{m}{x}(x＞0)$的图象经过点$A$,求$m$的值.
(3)若反比例函数$y=\frac{n}{x}(x＞0)$的图象与$△ ABC$有公共点,请直接写出$n$的取值范围.

5.解:(1)$y=-x+4$.
(2)$m=1$.
(3)$1≤ n≤4$.

【分析】
(1) 求BC边的直线表达式，首先要确定B、C两点的坐标：已知点A坐标为(1,1)，AB平行y轴、AC平行x轴，且AB=AC=2，因此B点横坐标与A相同，纵坐标为1+2=3，即B(1,3)；C点纵坐标与A相同，横坐标为1+2=3，即C(3,1)，再用待定系数法代入两点坐标即可求解直线表达式。
(2) 反比例函数图象经过点A，将A(1,1)直接代入$y=\frac{m}{x}$，即可求出m的值。
(3) 求反比例函数与$△ ABC$有公共点时n的取值范围，需分析临界情况：当反比例函数过点A时n取最小值；当反比例函数与BC边有唯一公共点时n取最大值，结合计算即可得到n的取值范围。
【解析】
(1) 已知AC平行x轴，AB平行y轴，A(1,1)，AB=AC=2
∴点B坐标为$(1,1+2)=(1,3)$，点C坐标为$(1+2,1)=(3,1)$
设BC边所在直线表达式为$y=kx+b(k≠0)$，将B(1,3)、C(3,1)代入得：
$\begin{cases}k+b=3 \\3k+b=1 \end{cases}$
两式相减得$2k=-2$，解得$k=-1$，将$k=-1$代入$k+b=3$得$b=4$
∴BC边所在直线表达式为$y=-x+4$
(2) 将A(1,1)代入反比例函数$y=\frac{m}{x}$得：
$1=\frac{m}{1}$，解得$m=1$
(3) 当反比例函数$y=\frac{n}{x}$过点A(1,1)时，n最小，此时$n=1×1=1$
联立$\begin{cases}y=\frac{n}{x} \\y=-x+4 \end{cases}$，消去y整理得$x^2-4x+n=0$
当方程有两个相等的实数根时，判别式$\Delta=(-4)^2-4n=0$，解得$n=4$，此时交点为(2,2)，在线段BC上，符合要求
因此n的取值范围是$1≤n≤4$
【答案】
(1) $y=-x+4$
(2) $m=1$
(3) $1≤n≤4$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；函数交点问题
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的基础综合题，解题核心是先确定三角形各顶点坐标，再结合函数性质逐步求解，第三问需结合图象分析临界情况，考查数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.7

6.如图,已知矩形OABC中,$OA=3$,$AB=4$,反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象与矩形两边$AB$,$BC$分别交于点$D$,$E$,且$BD=2AD$.
(1)求此反比例函数的表达式及点$E$的坐标.
(2)若矩形$OABC$的对角线$OB$与反比例函数相交于点$P$,连结$PC$,求$△ POC$的面积.

6.解:(1)$\because OA=3,AB=4,BD=2AD,\therefore D(\frac{4}{3},3)$,
$\therefore$反比例函数的表达式为$y=\frac{4}{x}(x＞0)$,
$\because$点$E$的横坐标为$4,\therefore E(4,1)$.
(2)$\because B(4,3),\therefore$直线$OB$的表达式为$y=\frac{3}{4}x$,
$\because$点$P$在反比例函数$y=\frac{4}{x}$和直线$y=\frac{3}{4}x$上,
$\therefore\begin{cases}y=\frac{4}{x},\\y=\frac{3}{4}x,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=\frac{4}{3}\sqrt{3},\\y=\sqrt{3}\end{cases}$或$\begin{cases}x=-\frac{4}{3}\sqrt{3},\\y=-\sqrt{3},\end{cases}$
$\because$点$P$在第一象限,$\therefore$点$P$的坐标为$(\frac{4}{3}\sqrt{3},\sqrt{3})$,
$\therefore S_{△ POC}=\frac{1}{2}OC×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$.

【分析】
(1) 首先根据矩形的边长确定点B的坐标，再结合BD=2AD的关系求出AD的长度，得到点D的坐标，将D点代入反比例函数求出k值即可得到反比例函数表达式；点E在BC边上，横坐标等于AB的长度4，将x=4代入反比例函数即可求出E点的纵坐标，得到E点坐标。
(2) 先根据O、B两点坐标求出直线OB的解析式，再联立直线OB和反比例函数的解析式，解方程组得到交点P的坐标，舍去第三象限的解，取第一象限的解；△POC的底为OC=4，高为P点的纵坐标，代入三角形面积公式即可求出面积。
【解析】
(1)
∵ 矩形OABC中，OA=3，AB=4，
∴ 点B坐标为$(4,3)$，
又
∵ $BD=2AD$，$AB=AD+BD=3AD$，
∴ $AD=\frac{1}{3}AB=\frac{4}{3}$，即点D的坐标为$(\frac{4}{3},3)$，
将$D(\frac{4}{3},3)$代入$y=\frac{k}{x}$得：$3=\frac{k}{\frac{4}{3}}$，解得$k=4$，
∴ 反比例函数的表达式为$y=\frac{4}{x}(x＞0)$，
∵ 点E在BC边上，BC上所有点的横坐标均为4，
∴ 将$x=4$代入$y=\frac{4}{x}$得$y=1$，即点E的坐标为$(4,1)$。
(2) 设直线OB的解析式为$y=mx$，将$B(4,3)$代入得$3=4m$，解得$m=\frac{3}{4}$，
∴ 直线OB的表达式为$y=\frac{3}{4}x$，
∵ 点P是直线OB与反比例函数$y=\frac{4}{x}$的交点，
∴ 联立方程组$\begin{cases}y=\frac{4}{x}\\y=\frac{3}{4}x\end{cases}$，
解得$\begin{cases}x=\frac{4}{3}\sqrt{3}\\y=\sqrt{3}\end{cases}$或$\begin{cases}x=-\frac{4}{3}\sqrt{3}\\y=-\sqrt{3}\end{cases}$，
∵ 点P在第一象限，
∴ 点P坐标为$(\frac{4}{3}\sqrt{3},\sqrt{3})$，
∵ $OC=AB=4$，△POC的高为P点的纵坐标$\sqrt{3}$，
∴ $S_{△ POC}=\frac{1}{2} × OC × \sqrt{3}=\frac{1}{2} ×4×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{4}{x}(x＞0)}$，点E的坐标为$\boldsymbol{(4,1)}$；
(2) $△ POC$的面积为$\boldsymbol{2\sqrt{3}}$。
【知识点】
1. 反比例函数解析式确定
2. 一次函数解析式求解
3. 函数交点坐标计算
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合题，结合了矩形的性质考查函数相关知识，解题关键是准确推导各点坐标，熟练掌握联立方程求交点的方法，以及灵活运用三角形面积公式。
【难度系数】
0.7