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5.某公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售，记汽车行驶时间为$t$小时，平均速度为$v$千米/时(汽车行驶速度不超过100千米/时).根据经验，$v$，$t$的几组对应值如下表：
| $v$(千米/时) | 75 | 80 | 85 | 90 | 95 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $t$(时) | 4.00 |
| 3.53 | 3.33 | 3.16 |
(1)根据表中的数据，求出平均速度$v$(千米/时)关于行驶时间$t$(时)的函数表达式.
(2)汽车上午7:30从丽水出发，能否在上午10:00之前到达杭州市场？请说明理由.
(3)若汽车到达杭州市场的行驶时间$t$满足$3.5≤ t≤4$，求平均速度$v$的取值范围.
| $v$(千米/时) | 75 | 80 | 85 | 90 | 95 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $t$(时) | 4.00 |
| 3.53 | 3.33 | 3.16 |(1)根据表中的数据，求出平均速度$v$(千米/时)关于行驶时间$t$(时)的函数表达式.
(2)汽车上午7:30从丽水出发，能否在上午10:00之前到达杭州市场？请说明理由.
(3)若汽车到达杭州市场的行驶时间$t$满足$3.5≤ t≤4$，求平均速度$v$的取值范围.
答案
5.解:(1)根据表格中数据,可知 $v=\frac{k}{t}(k ≠ 0)$,
$\because v=75$ 时, $t=4, \therefore k=75 × 4=300$,
$\therefore v=\frac{300}{t}(t ≥ 3)$.
(2) $\because 10-7.5=2.5$,
$\therefore$ 当 $t=2.5$ 时, $v=\frac{300}{2.5}=120＞100$,
$\therefore$ 汽车上午7:30从丽水出发,不能在上午10:00之前到达杭州市场.
(3) $\because 3.5 ≤ t ≤ 4, \therefore 75 ≤ v ≤ \frac{600}{7}$.
$\because v=75$ 时, $t=4, \therefore k=75 × 4=300$,
$\therefore v=\frac{300}{t}(t ≥ 3)$.
(2) $\because 10-7.5=2.5$,
$\therefore$ 当 $t=2.5$ 时, $v=\frac{300}{2.5}=120＞100$,
$\therefore$ 汽车上午7:30从丽水出发,不能在上午10:00之前到达杭州市场.
(3) $\because 3.5 ≤ t ≤ 4, \therefore 75 ≤ v ≤ \frac{600}{7}$.
解析
【分析】
首先观察表格中v与t的对应值，发现两者的乘积为定值，因此判断v与t成反比例关系，用待定系数法求反比例函数表达式；解决第二问时，先计算从7:30到10:00的行驶时间，代入函数求出对应速度，与限速100千米/时比较即可判断；第三问利用反比例函数“v随t增大而减小”的单调性，将t的范围代入表达式，结合实际意义确定v的取值范围。
【解析】
(1) 由表格数据可知，v与t的乘积为定值，故设v关于t的函数表达式为$v=\frac{k}{t}(k≠0)$。将$v=75$、$t=4$代入得：$k=75×4=300$，因此函数表达式为$v=\frac{300}{t}$。结合汽车速度不超过100千米/时，得$t=\frac{300}{v}≥\frac{300}{100}=3$，最终表达式为$v=\frac{300}{t}(t≥3)$。
(2) 从7:30到10:00的行驶时间为$10 - 7.5 = 2.5$小时，将$t=2.5$代入$v=\frac{300}{t}$得：$v=\frac{300}{2.5}=120$千米/时，因$120＞100$，超过速度上限，故不能在上午10:00前到达。
(3) 因$v=\frac{300}{t}$中v随t增大而减小，当$t=4$时，$v=75$；当$t=3.5$时，$v=\frac{300}{3.5}=\frac{600}{7}$，结合$3.5≤t≤4$，得v的取值范围为$75≤v≤\frac{600}{7}$。
【答案】
(1) $v=\frac{300}{t}(t≥3)$；(2) 不能，理由见解析；(3) $75≤v≤\frac{600}{7}$
【知识点】
反比例函数应用；反比例函数表达式；反比例函数性质
【点评】
本题结合行程问题考查反比例函数的实际应用，需先判断函数类型，利用待定系数法求表达式，再结合实际约束和反比例函数单调性解决问题，是基础的函数应用题型。
【难度系数】
0.6
首先观察表格中v与t的对应值，发现两者的乘积为定值，因此判断v与t成反比例关系，用待定系数法求反比例函数表达式；解决第二问时，先计算从7:30到10:00的行驶时间，代入函数求出对应速度，与限速100千米/时比较即可判断；第三问利用反比例函数“v随t增大而减小”的单调性，将t的范围代入表达式，结合实际意义确定v的取值范围。
【解析】
(1) 由表格数据可知，v与t的乘积为定值，故设v关于t的函数表达式为$v=\frac{k}{t}(k≠0)$。将$v=75$、$t=4$代入得：$k=75×4=300$，因此函数表达式为$v=\frac{300}{t}$。结合汽车速度不超过100千米/时，得$t=\frac{300}{v}≥\frac{300}{100}=3$，最终表达式为$v=\frac{300}{t}(t≥3)$。
(2) 从7:30到10:00的行驶时间为$10 - 7.5 = 2.5$小时，将$t=2.5$代入$v=\frac{300}{t}$得：$v=\frac{300}{2.5}=120$千米/时，因$120＞100$，超过速度上限，故不能在上午10:00前到达。
(3) 因$v=\frac{300}{t}$中v随t增大而减小，当$t=4$时，$v=75$；当$t=3.5$时，$v=\frac{300}{3.5}=\frac{600}{7}$，结合$3.5≤t≤4$，得v的取值范围为$75≤v≤\frac{600}{7}$。
【答案】
(1) $v=\frac{300}{t}(t≥3)$；(2) 不能，理由见解析；(3) $75≤v≤\frac{600}{7}$
【知识点】
反比例函数应用；反比例函数表达式；反比例函数性质
【点评】
本题结合行程问题考查反比例函数的实际应用，需先判断函数类型，利用待定系数法求表达式，再结合实际约束和反比例函数单调性解决问题，是基础的函数应用题型。
【难度系数】
0.6
6.电子体重秤读数直观又便于携带,为人们带来了方便.某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤:制作一个装有踏板(踏板质量忽略不计)的可变电阻$R_1$,$R_1$与踏板上人的质量$m$之间的函数关系式为$R_1=km+b$(其中$k,b$为常数,$0≤ m≤120$),其图象如图1所示;图2的电路中,电源电压恒为8伏,定值电阻$R_0$的阻值为30欧,接通开关,人站上踏板,电压表显示的读数为$U_0$,该读数可以换算为人的质量$m$.
温馨提示:①导体两端的电压$U$,导体的电阻$R$,通过导体的电流$I$,满足关系式$I=\frac{U}{R}$;
②串联电路中电流处处相等,各电阻两端的电压之和等于总电压.
(1)求$k,b$的值.
(2)求$R_1$关于$U_0$的函数表达式.
(3)用含$U_0$的代数式表示$m$.
(4)若电压表量程为0~6伏,为保护电压表,请确定该电子体重秤可称的最大质量.
温馨提示:①导体两端的电压$U$,导体的电阻$R$,通过导体的电流$I$,满足关系式$I=\frac{U}{R}$;
②串联电路中电流处处相等,各电阻两端的电压之和等于总电压.
(1)求$k,b$的值.
(2)求$R_1$关于$U_0$的函数表达式.
(3)用含$U_0$的代数式表示$m$.
(4)若电压表量程为0~6伏,为保护电压表,请确定该电子体重秤可称的最大质量.
答案
6.解:(1)$k=-2,b=240$.
(2)可变电阻电压$=8-U_0$,
$\because I=\frac{U}{R}$,可变电阻和定值电阻的电流大小相等,
$\therefore \frac{8-U_0}{R_1}=\frac{U_0}{R_0}$.
化简得 $R_1=R_0(\frac{8}{U_0}-1)$,
$\because R_0=30, \therefore R_1=\frac{240}{U_0}-30$.
(3)将 $R_1=-2 m+240(0 ≤ m ≤ 120)$ 代入 $R_1=\frac{240}{U_0}-30$,
得 $-2 m+240=\frac{240}{U_0}-30$,
化简得 $m=-\frac{120}{U_0}+135(0 ≤ m ≤ 120)$.
(4) $\because m=-\frac{120}{U_0}+135$ 中, $k=-120＜0$,
$\therefore m$ 随 $U_0$ 的增大而增大,
$\therefore U_0$ 取最大值 6 的时候, $m_{max}=-\frac{120}{6}+135=115$(千克).
(2)可变电阻电压$=8-U_0$,
$\because I=\frac{U}{R}$,可变电阻和定值电阻的电流大小相等,
$\therefore \frac{8-U_0}{R_1}=\frac{U_0}{R_0}$.
化简得 $R_1=R_0(\frac{8}{U_0}-1)$,
$\because R_0=30, \therefore R_1=\frac{240}{U_0}-30$.
(3)将 $R_1=-2 m+240(0 ≤ m ≤ 120)$ 代入 $R_1=\frac{240}{U_0}-30$,
得 $-2 m+240=\frac{240}{U_0}-30$,
化简得 $m=-\frac{120}{U_0}+135(0 ≤ m ≤ 120)$.
(4) $\because m=-\frac{120}{U_0}+135$ 中, $k=-120＜0$,
$\therefore m$ 随 $U_0$ 的增大而增大,
$\therefore U_0$ 取最大值 6 的时候, $m_{max}=-\frac{120}{6}+135=115$(千克).
解析
【分析】
本题需分步骤解决：①利用图1中R₁与m的函数图像，代入两点坐标求出k、b的值；②结合图2的串联电路，根据欧姆定律和串联电路规律推导R₁与U₀的关系；③将R₁关于m的表达式代入，得到m与U₀的函数；④根据电压表量程确定U₀的最大值，代入m的表达式求出最大质量。
【解析】
(1) 已知$R_1=km+b$，由图1可知：当$m=0$时，$R_1=240$欧；当$m=120$时，$R_1=0$欧。
将两点代入函数得：
$\begin{cases} b=240 \\ 120k + b=0 \end{cases}$
解得：$k=-2$，$b=240$。
(2) 图2中$R_1$与$R_0$串联，电源电压$U=8V$，电压表测$R_0$两端电压$U_0$。
根据欧姆定律，电路电流$I=\frac{U_0}{R_0}$，同时$R_1$两端电压为$8-U_0$，故电流也为$I=\frac{8-U_0}{R_1}$。
因串联电路电流相等，得：$\frac{U_0}{R_0}=\frac{8-U_0}{R_1}$。
代入$R_0=30$欧，整理得：
$R_1=30×(\frac{8}{U_0}-1)=\frac{240}{U_0}-30$。
(3) 将$R_1=-2m+240$代入$R_1=\frac{240}{U_0}-30$，得：
$-2m+240=\frac{240}{U_0}-30$
移项化简：
$-2m=\frac{240}{U_0}-270$
$m=-\frac{120}{U_0}+135$（$0≤m≤120$）。
(4) 电压表量程为0~6伏，故$U_0$最大为6V。
将$U_0=6$代入$m=-\frac{120}{U_0}+135$，得：
$m=-\frac{120}{6}+135=115$（千克），且115≤120，符合质量范围。
【答案】
(1) $k=-2$，$b=240$；(2) $R_1=\frac{240}{U_0}-30$；(3) $m=-\frac{120}{U_0}+135$；(4) 115千克
【知识点】
一次函数应用、串联电路规律、欧姆定律
【点评】
本题结合一次函数与电学知识，考查函数表达式求解、电路规律应用及量程限制下的最值计算，需理清物理量间的关系，是学科知识融合的典型题目。
【难度系数】
0.5
本题需分步骤解决：①利用图1中R₁与m的函数图像，代入两点坐标求出k、b的值；②结合图2的串联电路，根据欧姆定律和串联电路规律推导R₁与U₀的关系；③将R₁关于m的表达式代入，得到m与U₀的函数；④根据电压表量程确定U₀的最大值，代入m的表达式求出最大质量。
【解析】
(1) 已知$R_1=km+b$，由图1可知：当$m=0$时，$R_1=240$欧；当$m=120$时，$R_1=0$欧。
将两点代入函数得：
$\begin{cases} b=240 \\ 120k + b=0 \end{cases}$
解得：$k=-2$，$b=240$。
(2) 图2中$R_1$与$R_0$串联，电源电压$U=8V$，电压表测$R_0$两端电压$U_0$。
根据欧姆定律，电路电流$I=\frac{U_0}{R_0}$，同时$R_1$两端电压为$8-U_0$，故电流也为$I=\frac{8-U_0}{R_1}$。
因串联电路电流相等，得：$\frac{U_0}{R_0}=\frac{8-U_0}{R_1}$。
代入$R_0=30$欧，整理得：
$R_1=30×(\frac{8}{U_0}-1)=\frac{240}{U_0}-30$。
(3) 将$R_1=-2m+240$代入$R_1=\frac{240}{U_0}-30$，得：
$-2m+240=\frac{240}{U_0}-30$
移项化简：
$-2m=\frac{240}{U_0}-270$
$m=-\frac{120}{U_0}+135$（$0≤m≤120$）。
(4) 电压表量程为0~6伏，故$U_0$最大为6V。
将$U_0=6$代入$m=-\frac{120}{U_0}+135$，得：
$m=-\frac{120}{6}+135=115$（千克），且115≤120，符合质量范围。
【答案】
(1) $k=-2$，$b=240$；(2) $R_1=\frac{240}{U_0}-30$；(3) $m=-\frac{120}{U_0}+135$；(4) 115千克
【知识点】
一次函数应用、串联电路规律、欧姆定律
【点评】
本题结合一次函数与电学知识，考查函数表达式求解、电路规律应用及量程限制下的最值计算，需理清物理量间的关系，是学科知识融合的典型题目。
【难度系数】
0.5
