登录
1.用一定体积的面团做拉面,面条的总长度y(cm)与面条的粗细(横截面积)x(cm²)的关系如图所示.当面条的粗细为1.6 cm²时,面条的总长度是 (
A.80 cm
B.64 cm
C.50 cm
D.40 cm
A
)A.80 cm
B.64 cm
C.50 cm
D.40 cm
答案
1.A
解析
【分析】
本题是反比例函数在实际生活中的应用，解题思路如下：首先根据面团体积固定的特点，可知面条横截面积x与总长度y的乘积为定值，因此y是x的反比例函数；接下来用待定系数法，将已知点(4,32)代入反比例函数解析式，求出常数k；最后将x=1.6代入求出的解析式，计算得到对应的y值即可。
【解析】
由题意可知面条的总长度y是粗细x的反比例函数，设函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$。
∵ 函数图象经过点(4,32)
∴ 将$x=4,y=32$代入解析式得：$32=\frac{k}{4}$
解得$k=4×32=128$，即函数解析式为$y=\frac{128}{x}$。
当$x=1.6\mathrm{cm}^2$时，代入解析式得：$y=\frac{128}{1.6}=80(\mathrm{cm})$
因此面条总长度为80cm，故选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的应用；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数求值
【点评】
本题结合生活场景考查反比例函数的基础应用，解题核心是先利用已知点确定函数解析式，再代入数值计算，属于基础类考题，熟练掌握反比例函数的相关性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
本题是反比例函数在实际生活中的应用，解题思路如下：首先根据面团体积固定的特点，可知面条横截面积x与总长度y的乘积为定值，因此y是x的反比例函数；接下来用待定系数法，将已知点(4,32)代入反比例函数解析式，求出常数k；最后将x=1.6代入求出的解析式，计算得到对应的y值即可。
【解析】
由题意可知面条的总长度y是粗细x的反比例函数，设函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$。
∵ 函数图象经过点(4,32)
∴ 将$x=4,y=32$代入解析式得：$32=\frac{k}{4}$
解得$k=4×32=128$，即函数解析式为$y=\frac{128}{x}$。
当$x=1.6\mathrm{cm}^2$时，代入解析式得：$y=\frac{128}{1.6}=80(\mathrm{cm})$
因此面条总长度为80cm，故选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的应用；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数求值
【点评】
本题结合生活场景考查反比例函数的基础应用，解题核心是先利用已知点确定函数解析式，再代入数值计算，属于基础类考题，熟练掌握反比例函数的相关性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
2.某公园“水上滑梯”的侧面图如图所示，其中BC段可看成一段反比例函数的图象，建立如图的坐标系.矩形AOEB为向上攀爬的梯子，OA=5 m，AB//OD，且AB=2 m，出口C点距水面的距离CD为1 m，则B，C之间的水平距离DE的长度为（
A.5 m
B.6 m
C.7 m
D.8 m
D
）A.5 m
B.6 m
C.7 m
D.8 m
答案
2.D
解析
【分析】
要解决本题，首先明确BC段是反比例函数图象，解题思路分三步：第一步根据矩形的边长确定B点坐标，代入求出反比例函数解析式；第二步利用C点到x轴的距离即纵坐标，代入解析式求出C点横坐标，也就是OD的长度；最后用OD长度减去OE长度（OE等于AB的长度），即可得到DE的长度。
【解析】
设BC段对应的反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
∵ 四边形AOEB是矩形，OA=5m，AB=2m，
∴ 点B的坐标为$(2,5)$。
将$B(2,5)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$5=\frac{k}{2}$，解得$k=10$，
∴ 反比例函数解析式为$y=\frac{10}{x}$。
∵ CD=1m，即点C的纵坐标为1，
将$y=1$代入$y=\frac{10}{x}$，得$1=\frac{10}{x}$，解得$x=10$，即OD=10m。
又
∵ OE=AB=2m，
∴ $DE=OD-OE=10-2=8\mathrm{m}$。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数解析式求解，反比例函数的性质，坐标与图形性质
【点评】
本题属于反比例函数的实际应用基础题，解题核心是先确定反比例函数解析式，再结合点的坐标与线段的对应关系计算所求长度，解题时注意结合图形理解各量的含义。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先明确BC段是反比例函数图象，解题思路分三步：第一步根据矩形的边长确定B点坐标，代入求出反比例函数解析式；第二步利用C点到x轴的距离即纵坐标，代入解析式求出C点横坐标，也就是OD的长度；最后用OD长度减去OE长度（OE等于AB的长度），即可得到DE的长度。
【解析】
设BC段对应的反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
∵ 四边形AOEB是矩形，OA=5m，AB=2m，
∴ 点B的坐标为$(2,5)$。
将$B(2,5)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$5=\frac{k}{2}$，解得$k=10$，
∴ 反比例函数解析式为$y=\frac{10}{x}$。
∵ CD=1m，即点C的纵坐标为1，
将$y=1$代入$y=\frac{10}{x}$，得$1=\frac{10}{x}$，解得$x=10$，即OD=10m。
又
∵ OE=AB=2m，
∴ $DE=OD-OE=10-2=8\mathrm{m}$。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数解析式求解，反比例函数的性质，坐标与图形性质
【点评】
本题属于反比例函数的实际应用基础题，解题核心是先确定反比例函数解析式，再结合点的坐标与线段的对应关系计算所求长度，解题时注意结合图形理解各量的含义。
【难度系数】
0.8
3.某校在开学前对学生宿舍进行“熏药消毒”.已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量$ y $（毫克）与时间$ x $（分）之间的关系如图所示（图象由线段$ OA $与部分双曲线$ AB $组成）.根据药物说明书要求，只有当空气中每立方米的含药量不低于4毫克时，消毒才有作用，则本次消毒的有效时间是
18.75
分钟.答案
3.18.75
解析
【分析】
本题是分段函数的实际应用问题，图像由正比例函数段OA和反比例函数段AB组成。解题思路为：①先利用已知点B的坐标求出反比例函数解析式；②通过反比例函数解析式求出点A的坐标，再用点A坐标求出正比例函数OA的解析式；③分别令两个函数的y=4，求出对应的两个x值，两者的差即为消毒有效时间。
【解析】
1. 求反比例函数解析式：
设反比例函数AB段的解析式为$ y = \frac{k}{x} (x ≥ t，t为点A的横坐标) $，将点B(20,5)代入得：
$ 5 = \frac{k}{20} $，解得$ k = 100 $，故反比例函数为$ y = \frac{100}{x} $。
2. 求点A坐标：
点A在反比例函数上，纵坐标为8，将y=8代入$ y = \frac{100}{x} $得：
$ 8 = \frac{100}{x} $，解得$ x = 12.5 $，即A点坐标为(12.5,8)。
3. 求正比例函数OA的解析式：
设OA段解析式为$ y = mx (0 ≤ x ≤ 12.5) $，将A(12.5,8)代入得：
$ 8 = 12.5m $，解得$ m = \frac{16}{25} $，故正比例函数为$ y = \frac{16}{25}x $。
4. 计算有效时间：
当含药量$ y=4 $时，
在OA段：$ 4 = \frac{16}{25}x $，解得$ x_1 = 6.25 $；
在AB段：$ 4 = \frac{100}{x} $，解得$ x_2 = 25 $；
有效时间为$ x_2 - x_1 = 25 - 6.25 = 18.75 $分钟。
【答案】
18.75
【知识点】
反比例函数应用，正比例函数应用，分段函数求值
【点评】
本题结合生活中的消毒场景考查函数的实际应用，需要学生掌握正比例函数、反比例函数解析式的求解方法，明确分段函数的分段处理思路，计算时注意自变量的取值范围即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
本题是分段函数的实际应用问题，图像由正比例函数段OA和反比例函数段AB组成。解题思路为：①先利用已知点B的坐标求出反比例函数解析式；②通过反比例函数解析式求出点A的坐标，再用点A坐标求出正比例函数OA的解析式；③分别令两个函数的y=4，求出对应的两个x值，两者的差即为消毒有效时间。
【解析】
1. 求反比例函数解析式：
设反比例函数AB段的解析式为$ y = \frac{k}{x} (x ≥ t，t为点A的横坐标) $，将点B(20,5)代入得：
$ 5 = \frac{k}{20} $，解得$ k = 100 $，故反比例函数为$ y = \frac{100}{x} $。
2. 求点A坐标：
点A在反比例函数上，纵坐标为8，将y=8代入$ y = \frac{100}{x} $得：
$ 8 = \frac{100}{x} $，解得$ x = 12.5 $，即A点坐标为(12.5,8)。
3. 求正比例函数OA的解析式：
设OA段解析式为$ y = mx (0 ≤ x ≤ 12.5) $，将A(12.5,8)代入得：
$ 8 = 12.5m $，解得$ m = \frac{16}{25} $，故正比例函数为$ y = \frac{16}{25}x $。
4. 计算有效时间：
当含药量$ y=4 $时，
在OA段：$ 4 = \frac{16}{25}x $，解得$ x_1 = 6.25 $；
在AB段：$ 4 = \frac{100}{x} $，解得$ x_2 = 25 $；
有效时间为$ x_2 - x_1 = 25 - 6.25 = 18.75 $分钟。
【答案】
18.75
【知识点】
反比例函数应用，正比例函数应用，分段函数求值
【点评】
本题结合生活中的消毒场景考查函数的实际应用，需要学生掌握正比例函数、反比例函数解析式的求解方法，明确分段函数的分段处理思路，计算时注意自变量的取值范围即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
4.某校园艺社计划利用已有的一堵长为10 m的墙，用篱笆围一个面积为12 m²的矩形园子.
(1)如图，设矩形园子的相邻两边长分别为x(m), y(m).
①求y关于x的函数表达式；
②当y≥4 m时，求x的取值范围.
(2)小凯说篱笆的长可以为9.5 m，洋洋说篱笆的长可以为10.5 m.你认为他们俩的说法对吗？为什么？
(1)如图，设矩形园子的相邻两边长分别为x(m), y(m).
①求y关于x的函数表达式；
②当y≥4 m时，求x的取值范围.
(2)小凯说篱笆的长可以为9.5 m，洋洋说篱笆的长可以为10.5 m.你认为他们俩的说法对吗？为什么？
答案
4.解:(1)①由题意,得 $x y=12, \therefore y=\frac{12}{x}(x ≥ \frac{6}{5})$;
②当 $y ≥ 4$ 时, $\frac{6}{5} ≤ x ≤ 3$.
(2)当 $2 x+\frac{12}{x}=9.5$ 时,整理,得 $4 x^{2}-19 x+24=0$.
$\Delta＜0$,方程无解.
当 $2 x+\frac{12}{x}=10.5$ 时,整理,得 $4 x^{2}-21 x+24=0$.
$\Delta=57＞0$,符合题意.
$\therefore$ 小凯的说法错误,洋洋的说法正确.
②当 $y ≥ 4$ 时, $\frac{6}{5} ≤ x ≤ 3$.
(2)当 $2 x+\frac{12}{x}=9.5$ 时,整理,得 $4 x^{2}-19 x+24=0$.
$\Delta＜0$,方程无解.
当 $2 x+\frac{12}{x}=10.5$ 时,整理,得 $4 x^{2}-21 x+24=0$.
$\Delta=57＞0$,符合题意.
$\therefore$ 小凯的说法错误,洋洋的说法正确.
解析
【分析】
解题思路如下：
（1）①首先利用矩形面积公式“面积=长×宽”得到x与y的乘积为12，变形即可得到y关于x的函数表达式；再结合墙的最大长度为10m，即y≤10，求解得到x的取值范围，完善函数的定义域。
②将y≥4代入①得到的函数表达式，解不等式，同时结合x的定义域，即可得到x的取值范围。
（2）首先明确篱笆的总长度为2x+y，将y=12/x代入得到篱笆长关于x的表达式，分别令篱笆长等于9.5m和10.5m，得到对应的一元二次方程，通过计算判别式判断方程是否有符合要求的实根，即可判断两人说法是否正确。
【解析】
(1)①由矩形面积为12$\mathrm{m^2}$，可得：
$xy=12$，变形得 $y=\frac{12}{x}$
∵墙长为10$\mathrm{m}$，即y的最大值为10，
∴$\frac{12}{x} ≤ 10$，结合$x＞0$，解得$x ≥ \frac{6}{5}$
∴y关于x的函数表达式为$y=\frac{12}{x}(x ≥ \frac{6}{5})$。
②当$y ≥ 4$时，代入函数表达式得：
$\frac{12}{x} ≥ 4$
∵$x＞0$，不等式两边同乘x不等号方向不变，得$12 ≥ 4x$，解得$x ≤ 3$
结合x的定义域$x ≥ \frac{6}{5}$，可得x的取值范围为$\frac{6}{5} ≤ x ≤ 3$。
(2)由图可知，篱笆总长度为$2x + y$，将$y=\frac{12}{x}$代入得篱笆长$L=2x+\frac{12}{x}$：
若篱笆长为9.5$\mathrm{m}$，令$2x+\frac{12}{x}=9.5$，整理得：$4x^2 -19x +24=0$
计算判别式：$\Delta=(-19)^2 -4 × 4 × 24=-23＜0$，方程无实数根，因此篱笆长不可能为9.5m。
若篱笆长为10.5$\mathrm{m}$，令$2x+\frac{12}{x}=10.5$，整理得：$4x^2 -21x +24=0$
计算判别式：$\Delta=(-21)^2 -4 ×4 ×24=57＞0$，方程有符合实际意义的正实根，因此篱笆长可以为10.5m。
【答案】
(1)①$y=\frac{12}{x}(x ≥ \frac{6}{5})$；②$\frac{6}{5} ≤ x ≤ 3$
(2)小凯的说法错误，洋洋的说法正确。
【知识点】
反比例函数的应用，一元二次方程根的判别式，不等式的解法
【点评】
本题结合实际生活场景，考查了反比例函数、一元二次方程与不等式的综合应用，解题时需注意结合实际意义确定自变量的取值范围，避免忽略限制条件导致错误。
【难度系数】
0.65
解题思路如下：
（1）①首先利用矩形面积公式“面积=长×宽”得到x与y的乘积为12，变形即可得到y关于x的函数表达式；再结合墙的最大长度为10m，即y≤10，求解得到x的取值范围，完善函数的定义域。
②将y≥4代入①得到的函数表达式，解不等式，同时结合x的定义域，即可得到x的取值范围。
（2）首先明确篱笆的总长度为2x+y，将y=12/x代入得到篱笆长关于x的表达式，分别令篱笆长等于9.5m和10.5m，得到对应的一元二次方程，通过计算判别式判断方程是否有符合要求的实根，即可判断两人说法是否正确。
【解析】
(1)①由矩形面积为12$\mathrm{m^2}$，可得：
$xy=12$，变形得 $y=\frac{12}{x}$
∵墙长为10$\mathrm{m}$，即y的最大值为10，
∴$\frac{12}{x} ≤ 10$，结合$x＞0$，解得$x ≥ \frac{6}{5}$
∴y关于x的函数表达式为$y=\frac{12}{x}(x ≥ \frac{6}{5})$。
②当$y ≥ 4$时，代入函数表达式得：
$\frac{12}{x} ≥ 4$
∵$x＞0$，不等式两边同乘x不等号方向不变，得$12 ≥ 4x$，解得$x ≤ 3$
结合x的定义域$x ≥ \frac{6}{5}$，可得x的取值范围为$\frac{6}{5} ≤ x ≤ 3$。
(2)由图可知，篱笆总长度为$2x + y$，将$y=\frac{12}{x}$代入得篱笆长$L=2x+\frac{12}{x}$：
若篱笆长为9.5$\mathrm{m}$，令$2x+\frac{12}{x}=9.5$，整理得：$4x^2 -19x +24=0$
计算判别式：$\Delta=(-19)^2 -4 × 4 × 24=-23＜0$，方程无实数根，因此篱笆长不可能为9.5m。
若篱笆长为10.5$\mathrm{m}$，令$2x+\frac{12}{x}=10.5$，整理得：$4x^2 -21x +24=0$
计算判别式：$\Delta=(-21)^2 -4 ×4 ×24=57＞0$，方程有符合实际意义的正实根，因此篱笆长可以为10.5m。
【答案】
(1)①$y=\frac{12}{x}(x ≥ \frac{6}{5})$；②$\frac{6}{5} ≤ x ≤ 3$
(2)小凯的说法错误，洋洋的说法正确。
【知识点】
反比例函数的应用，一元二次方程根的判别式，不等式的解法
【点评】
本题结合实际生活场景，考查了反比例函数、一元二次方程与不等式的综合应用，解题时需注意结合实际意义确定自变量的取值范围，避免忽略限制条件导致错误。
【难度系数】
0.65
