3. 如图，已知A，C是半径为$\sqrt{3}$的$\odot O$上的两动点，以AC为直角边在$\odot O$内作等腰直角三角形ABC，$∠ ACB=90°$，连接OB，则OB的最小值为。

3. $\sqrt{6}-\sqrt{3}$（提示：连接OC，作等腰直角三角形△OCO'，易证△ACO≌△BCO'，从而得O'B=OA=$\sqrt{3}$. 当点C固定时，点B在以O'为圆心，OA为半径的圆上运动，故当O，B，O'共线时，OB的值最小，最小值为$OO'-O'B=\sqrt{6}-\sqrt{3}$.）

【分析】
本题是圆背景下的线段最值问题，解题核心是通过构造全等确定动点B的运动轨迹。首先观察到△ABC是等腰直角三角形，存在AC=BC、∠ACB=90°的特征，我们可以通过构造共顶点的等腰直角三角形推导全等，将已知的⊙O半径转化为与B相关的定长线段，从而确定B的轨迹为圆，最后利用“定点到圆上点的最短距离为两点间距减半径”的规律求解OB的最小值。
【解析】
解：连接OC，以OC为直角边作等腰直角△OCO'，使∠OCO'=90°，则$CO=CO'$，$OO'=\sqrt{2}· OC$。
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴$AC=BC$，$∠ ACB=∠ OCO'=90°$，
∴$∠ ACB - ∠ OCB = ∠ OCO' - ∠ OCB$，即$∠ ACO=∠ BCO'$。
在△ACO和△BCO'中：
$\{\begin{array}{l}AC=BC \\∠ ACO=∠ BCO' \\OC=O'C\end{array} $
∴$△ ACO≌△ BCO'$（SAS），
∴$O'B=OA=\sqrt{3}$（⊙O的半径为$\sqrt{3}$）。
∵$OC=\sqrt{3}$，△OCO'是等腰直角三角形，
∴$OO'=\sqrt{2}× OC=\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{6}$。
由此可知点B在以O'为圆心、$\sqrt{3}$为半径的圆上运动，当O、B、O'三点共线且B在O和O'之间时，OB取得最小值，最小值为$OO'-O'B=\sqrt{6}-\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{6}-\sqrt{3}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，圆的最值问题
【点评】
本题属于几何综合题型，解题关键是通过构造共顶点等腰直角三角形得到全等关系，进而确定动点的运动轨迹，将未知线段最值转化为熟悉的定点到圆的最短距离问题，对学生的几何构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.3

1. 下列图形中能够得到$AE=BE$的图形有(). (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个

1. B

【分析】
要判断能否得到$AE=BE$，需依据垂径定理的成立条件分析：垂径定理要求同时满足两个核心条件，一是过圆心的直线，二是该直线垂直于弦，两个条件都满足时才能平分弦。我们逐个分析四个图形：
1. 图A：仅满足$CD⊥ AB$，但$CD$没有经过圆心$O$，不满足过圆心的条件，无法推出$AE=BE$；
2. 图B：仅满足$DC$过圆心$O$，但$DC$和$AB$仅相交不垂直，不满足垂直弦的条件，无法推出$AE=BE$；
3. 图C：$CD$是过圆心$O$的直径，且$CD⊥ AB$于$E$，两个条件都满足，可推出$AE=BE$；
4. 图D：$OE$过圆心$O$，且$OE⊥ AB$于$E$，两个条件都满足，可推出$AE=BE$。
综上符合条件的图形共有2个。
【解析】
根据垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，定理成立需同时满足“直线过圆心”“直线垂直于弦”两个条件：
图A：只有垂直弦的条件，未过圆心，不满足垂径定理要求，不能得到$AE=BE$；
图B：只有过圆心的条件，未垂直于弦，不满足垂径定理要求，不能得到$AE=BE$；
图C：$CD$是过圆心的直径，且$CD⊥ AB$，满足垂径定理，可得$AE=BE$；
图D：$OE$过圆心，且$OE⊥ AB$，满足垂径定理，可得$AE=BE$。
因此能得到$AE=BE$的图形共2个。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理
【点评】
本题重点考查垂径定理的适用条件，解题时要注意两个成立条件缺一不可，避免遗漏条件出现判断错误。
【难度系数】
0.7