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2. 若三点$M(1,2)$，$N(3,4)$，$P(x,y)$可以确定一个圆，则点$P$的坐标可以是(
A.$(3.1,2.9)$
B.$(-2.5,-1.5)$
C.$(-1,0)$
D.$(-2,-1)$
A
).A.$(3.1,2.9)$
B.$(-2.5,-1.5)$
C.$(-1,0)$
D.$(-2,-1)$
答案
2. A
解析
【分析】
要判断三点能否确定一个圆，核心判断依据是三点不共线。解题时我们可以先求出已知两点M、N所在的直线解析式，再逐一验证各选项中的点是否在该直线上，不在直线上的点即可与M、N确定一个圆。
【解析】
首先求直线MN的解析式，设直线MN的表达式为$y = kx + b$（$k≠0$），将$M(1,2)$、$N(3,4)$分别代入得：
$\begin{cases}k + b = 2 \\3k + b = 4\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$2k = 2$，解得$k=1$，将$k=1$代入$k + b = 2$，得$1 + b = 2$，解得$b=1$，因此直线MN的解析式为$y = x + 1$。
接下来逐个验证选项：
A. 当$x=3.1$时，代入解析式得$y=3.1 + 1 = 4.1 ≠ 2.9$，故点$(3.1,2.9)$不在直线MN上，三点不共线，可以确定一个圆；
B. 当$x=-2.5$时，$y=-2.5 + 1 = -1.5$，故点$(-2.5,-1.5)$在直线MN上，三点共线，不能确定圆；
C. 当$x=-1$时，$y=-1 + 1 = 0$，故点$(-1,0)$在直线MN上，三点共线，不能确定圆；
D. 当$x=-2$时，$y=-2 + 1 = -1$，故点$(-2,-1)$在直线MN上，三点共线，不能确定圆。
综上，符合要求的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
三点定圆的条件；待定系数法求一次函数解析式；点与直线的位置判断
【点评】
本题主要考查三点确定圆的前提条件，解题的关键是明确共线的三点无法确定一个圆，通过求解已知两点所在直线验证第三点位置即可快速得出答案，解题思路清晰直观。
【难度系数】
0.7
要判断三点能否确定一个圆，核心判断依据是三点不共线。解题时我们可以先求出已知两点M、N所在的直线解析式，再逐一验证各选项中的点是否在该直线上，不在直线上的点即可与M、N确定一个圆。
【解析】
首先求直线MN的解析式，设直线MN的表达式为$y = kx + b$（$k≠0$），将$M(1,2)$、$N(3,4)$分别代入得：
$\begin{cases}k + b = 2 \\3k + b = 4\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$2k = 2$，解得$k=1$，将$k=1$代入$k + b = 2$，得$1 + b = 2$，解得$b=1$，因此直线MN的解析式为$y = x + 1$。
接下来逐个验证选项：
A. 当$x=3.1$时，代入解析式得$y=3.1 + 1 = 4.1 ≠ 2.9$，故点$(3.1,2.9)$不在直线MN上，三点不共线，可以确定一个圆；
B. 当$x=-2.5$时，$y=-2.5 + 1 = -1.5$，故点$(-2.5,-1.5)$在直线MN上，三点共线，不能确定圆；
C. 当$x=-1$时，$y=-1 + 1 = 0$，故点$(-1,0)$在直线MN上，三点共线，不能确定圆；
D. 当$x=-2$时，$y=-2 + 1 = -1$，故点$(-2,-1)$在直线MN上，三点共线，不能确定圆。
综上，符合要求的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
三点定圆的条件；待定系数法求一次函数解析式；点与直线的位置判断
【点评】
本题主要考查三点确定圆的前提条件，解题的关键是明确共线的三点无法确定一个圆，通过求解已知两点所在直线验证第三点位置即可快速得出答案，解题思路清晰直观。
【难度系数】
0.7
3. 如图，方格纸中每个方格的边长为1，A，O两点皆在格线的交点上，在此方格纸格线的交点上另外找两点B，C，使得△ABC的外心为O，则BC的长度为
$2\sqrt{5}$
。答案
3. $2\sqrt{5}$
解析
【分析】
解题首先要回忆三角形外心的性质：外心到三角形三个顶点的距离相等，因此OA=OB=OC。第一步先通过勾股定理计算OA的长度，得到OB、OC需要满足的长度；第二步在方格纸的格点中找到所有到点O距离等于OA的点，排除点A后即可确定B、C的位置；最后再用勾股定理计算B、C两点间的距离，就是所求的BC长度。
【解析】
设点O为坐标原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，每个方格边长为1：
1. 计算OA的长度：由图可得点A坐标为(1,3)，根据勾股定理，$OA=\sqrt{(1-0)^2+(3-0)^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$。
2. 确定B、C的位置：因为O是△ABC的外心，所以$OB=OC=OA=\sqrt{10}$，即B、C是到O距离为$\sqrt{10}$的格点。结合方格纸范围，满足条件的格点除A(1,3)外，仅剩(3,1)和(-1,3)，即B、C为这两点。
3. 计算BC的长度：根据勾股定理，$BC=\sqrt{[3-(-1)]^2+(1-3)^2}=\sqrt{4^2+(-2)^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
【答案】
$2\sqrt{5}$
【知识点】
外心的性质，勾股定理，两点间距离计算
【点评】
本题将三角形外心的性质与格点、勾股定理相结合，解题的关键是抓住外心到三顶点距离相等的核心性质，先确定OB、OC的长度，再找到符合条件的格点，最后计算距离即可，属于基础与拓展结合的题型。
【难度系数】
0.6
解题首先要回忆三角形外心的性质：外心到三角形三个顶点的距离相等，因此OA=OB=OC。第一步先通过勾股定理计算OA的长度，得到OB、OC需要满足的长度；第二步在方格纸的格点中找到所有到点O距离等于OA的点，排除点A后即可确定B、C的位置；最后再用勾股定理计算B、C两点间的距离，就是所求的BC长度。
【解析】
设点O为坐标原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，每个方格边长为1：
1. 计算OA的长度：由图可得点A坐标为(1,3)，根据勾股定理，$OA=\sqrt{(1-0)^2+(3-0)^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$。
2. 确定B、C的位置：因为O是△ABC的外心，所以$OB=OC=OA=\sqrt{10}$，即B、C是到O距离为$\sqrt{10}$的格点。结合方格纸范围，满足条件的格点除A(1,3)外，仅剩(3,1)和(-1,3)，即B、C为这两点。
3. 计算BC的长度：根据勾股定理，$BC=\sqrt{[3-(-1)]^2+(1-3)^2}=\sqrt{4^2+(-2)^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
【答案】
$2\sqrt{5}$
【知识点】
外心的性质，勾股定理，两点间距离计算
【点评】
本题将三角形外心的性质与格点、勾股定理相结合，解题的关键是抓住外心到三顶点距离相等的核心性质，先确定OB、OC的长度，再找到符合条件的格点，最后计算距离即可，属于基础与拓展结合的题型。
【难度系数】
0.6
4. 如图，D为等边三角形ABC的边BC的中点，AB＝2，动点M满足AM⊥CM。
(1)求证：点A，D，C，M在同一个圆上；
(2)连接BM，求线段BM的最大值与最小值。
(1)求证：点A，D，C，M在同一个圆上；
(2)连接BM，求线段BM的最大值与最小值。
答案
(1)证明：如图，连接AD，取AC的中点O，连接OD，OM.
∵△ABC是等边三角形，BD=DC，
∴AD⊥BC.
∵AM⊥CM，
∴∠ADC=∠AMC=90°.
∵OA=OC，
∴OD=OA=OC=OM，
∴A，D，C，M四点共圆.
(2)如图，连接OB.
∵AB=AC=BC=2，$AO=OC=\frac{1}{2}AC=1$，
∴$BO⊥ AC$，
∴$BO=\sqrt{AB^2-AO^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$.
∵OM=OA=OC=1，
∴$OB-OM≤ BM≤ OB+OM$，
∴$\sqrt{3}-1≤ BM≤\sqrt{3}+1$，
∴BM的最大值为$1+\sqrt{3}$，最小值为$-1+\sqrt{3}$.
解析
【分析】
(1) 要证明A、D、C、M四点共圆，可通过证明四点到同一定点的距离相等实现。已知△ABC是等边三角形，D为BC中点，由等边三角形三线合一可得AD⊥BC，即∠ADC=90°；结合已知AM⊥CM得∠AMC=90°，两个直角三角形共斜边AC，取AC中点O，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可证OA=OC=OD=OM，即可得四点共圆。
(2) 由(1)可知点M在以O为圆心、OA为半径的圆上，求BM的最值可转化为求定点B到圆O上动点M的距离最值，根据圆的性质：点到圆上点的最大距离为点到圆心的距离加半径，最小距离为点到圆心的距离减半径，先求出OB的长度，结合半径长度即可求解。
【解析】
(1) 证明：连接AD，取AC的中点O，连接OD，OM。
∵△ABC是等边三角形，BD=DC，
∴AD⊥BC（等边三角形三线合一），即∠ADC=90°。
∵AM⊥CM，
∴∠AMC=9°。
∵O为AC中点，
∴在Rt△ADC中，OD=OA=OC=$\frac{1}{2}$AC；在Rt△AMC中，OM=OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，
∴OD=OA=OC=OM，
∴A，D，C，M四点在以O为圆心、OA为半径的同一个圆上。
(2) 解：连接OB。
∵△ABC是等边三角形，AB=AC=BC=2，O为AC中点，
∴BO⊥AC（等边三角形三线合一），$AO=OC=\frac{1}{2}AC=1$。
在Rt△ABO中，由勾股定理得：
$BO=\sqrt{AB^2-AO^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
∵点M在⊙O上，⊙O半径OM=1，根据点与圆的位置关系可得：
$OB-OM≤ BM≤ OB+OM$，
即$\sqrt{3}-1≤ BM≤\sqrt{3}+1$，
∴BM的最大值为$\sqrt{3}+1$，最小值为$\sqrt{3}-1$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) BM的最大值为$1+\sqrt{3}$，最小值为$\sqrt{3}-1$。
【知识点】
四点共圆判定；等边三角形性质；点与圆的距离最值
【点评】
本题综合考查了等边三角形、直角三角形的性质和圆的相关应用，解题关键是确定动点M的运动轨迹，将线段最值问题转化为圆的性质求解，对几何综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明A、D、C、M四点共圆，可通过证明四点到同一定点的距离相等实现。已知△ABC是等边三角形，D为BC中点，由等边三角形三线合一可得AD⊥BC，即∠ADC=90°；结合已知AM⊥CM得∠AMC=90°，两个直角三角形共斜边AC，取AC中点O，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可证OA=OC=OD=OM，即可得四点共圆。
(2) 由(1)可知点M在以O为圆心、OA为半径的圆上，求BM的最值可转化为求定点B到圆O上动点M的距离最值，根据圆的性质：点到圆上点的最大距离为点到圆心的距离加半径，最小距离为点到圆心的距离减半径，先求出OB的长度，结合半径长度即可求解。
【解析】
(1) 证明：连接AD，取AC的中点O，连接OD，OM。
∵△ABC是等边三角形，BD=DC，
∴AD⊥BC（等边三角形三线合一），即∠ADC=90°。
∵AM⊥CM，
∴∠AMC=9°。
∵O为AC中点，
∴在Rt△ADC中，OD=OA=OC=$\frac{1}{2}$AC；在Rt△AMC中，OM=OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，
∴OD=OA=OC=OM，
∴A，D，C，M四点在以O为圆心、OA为半径的同一个圆上。
(2) 解：连接OB。
∵△ABC是等边三角形，AB=AC=BC=2，O为AC中点，
∴BO⊥AC（等边三角形三线合一），$AO=OC=\frac{1}{2}AC=1$。
在Rt△ABO中，由勾股定理得：
$BO=\sqrt{AB^2-AO^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
∵点M在⊙O上，⊙O半径OM=1，根据点与圆的位置关系可得：
$OB-OM≤ BM≤ OB+OM$，
即$\sqrt{3}-1≤ BM≤\sqrt{3}+1$，
∴BM的最大值为$\sqrt{3}+1$，最小值为$\sqrt{3}-1$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) BM的最大值为$1+\sqrt{3}$，最小值为$\sqrt{3}-1$。
【知识点】
四点共圆判定；等边三角形性质；点与圆的距离最值
【点评】
本题综合考查了等边三角形、直角三角形的性质和圆的相关应用，解题关键是确定动点M的运动轨迹，将线段最值问题转化为圆的性质求解，对几何综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
1. 已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点E，以AB为直径作$\odot O$，则点E与$\odot O$的位置关系为
点E在$\odot O$上
.答案
1. 点E在$\odot O$上
解析
【分析】
要判断点E与$\odot O$的位置关系，首先需明确点和圆位置关系的判定逻辑：比较点到圆心的距离$d$与圆半径$r$的大小，若$d=r$则点在圆上，$d＜r$则点在圆内，$d＞r$则点在圆外。首先确定$\odot O$的基本要素：以AB为直径的圆，圆心O是AB中点，半径$r=\frac{1}{2}AB$。接下来结合菱形性质推导E到O的距离：菱形对角线互相垂直，可得$△ AEB$是直角三角形，再利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，即可得到OE的长度等于半径，进而判断位置关系。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，即$∠ AEB=90°$，$△ AEB$为直角三角形。
∵$\odot O$以AB为直径，
∴O是AB的中点，$\odot O$的半径$r=\frac{1}{2}AB$。
在$Rt△ AEB$中，O为斜边AB的中点，根据直角三角形斜边中线定理，得$OE=\frac{1}{2}AB=r$，
∴点E在$\odot O$上。
【答案】
点E在$\odot O$上
【知识点】
菱形的性质；直角三角形斜边中线定理；点与圆的位置关系判定
【点评】
本题属于基础综合题，解题核心是将菱形的性质和直角三角形的性质结合，通过计算点到圆心的距离与半径的大小关系判断点与圆的位置，是圆相关性质的典型应用题型。
【难度系数】
0.8
要判断点E与$\odot O$的位置关系，首先需明确点和圆位置关系的判定逻辑：比较点到圆心的距离$d$与圆半径$r$的大小，若$d=r$则点在圆上，$d＜r$则点在圆内，$d＞r$则点在圆外。首先确定$\odot O$的基本要素：以AB为直径的圆，圆心O是AB中点，半径$r=\frac{1}{2}AB$。接下来结合菱形性质推导E到O的距离：菱形对角线互相垂直，可得$△ AEB$是直角三角形，再利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，即可得到OE的长度等于半径，进而判断位置关系。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，即$∠ AEB=90°$，$△ AEB$为直角三角形。
∵$\odot O$以AB为直径，
∴O是AB的中点，$\odot O$的半径$r=\frac{1}{2}AB$。
在$Rt△ AEB$中，O为斜边AB的中点，根据直角三角形斜边中线定理，得$OE=\frac{1}{2}AB=r$，
∴点E在$\odot O$上。
【答案】
点E在$\odot O$上
【知识点】
菱形的性质；直角三角形斜边中线定理；点与圆的位置关系判定
【点评】
本题属于基础综合题，解题核心是将菱形的性质和直角三角形的性质结合，通过计算点到圆心的距离与半径的大小关系判断点与圆的位置，是圆相关性质的典型应用题型。
【难度系数】
0.8
2. 如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，AC=6，∠BAC=60°，点E是AB的中点，点F是直线BD上的一个动点.将△BEF沿EF所在直线翻折，得到△B'EF，则线段B'C的最大值为
$2+2\sqrt{7}$
.答案
2. $2+2\sqrt{7}$
解析
【分析】
解题时先利用折叠的性质确定动点B'的运动轨迹：折叠后B'E始终等于BE，结合E是AB中点可知B'到定点E的距离恒为2，因此B'的轨迹是以E为圆心、2为半径的圆。根据圆的性质，圆外一点到圆上点的最大距离为该点到圆心的距离加半径，因此只需先计算点C到圆心E的距离EC，再加上半径即可得到B'C的最大值。计算EC时可通过作高构造直角三角形，结合锐角三角函数和勾股定理求解。
【解析】
1. 确定B'的运动轨迹
∵点E是AB的中点，AB=4，
∴$AE=BE=\frac{1}{2}AB=2$。
由折叠的性质可得$B'E=BE=2$，
∴点B'在以E为圆心，半径$r=2$的圆上运动。
2. 计算EC的长度
过点E作$EH ⊥ AC$，垂足为H，
在$Rt△ AEH$中，$AE=2$，$∠ EAH=∠ BAC=60°$，
∴$AH=AE·\cos60°=2×\frac{1}{2}=1$，
$EH=AE·\sin60°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$。
∵$AC=6$，
∴$HC=AC-AH=6-1=5$。
在$Rt△ EHC$中，由勾股定理得：
$EC=\sqrt{EH^2+HC^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2+5^2}=\sqrt{3+25}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$。
3. 求B'C的最大值
根据圆外一点到圆上点的最大距离等于点到圆心的距离加半径，可得：
$B'C_{\mathrm{max}}=EC+r=2\sqrt{7}+2$。
【答案】
$2+2\sqrt{7}$
【知识点】
折叠的性质，圆的最值性质，勾股定理
【点评】
本题属于几何最值综合题，解题的核心是判断翻折后动点的运动轨迹，将线段最值问题转化为点到圆的距离问题，考查了学生对几何变换性质和圆相关性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时先利用折叠的性质确定动点B'的运动轨迹：折叠后B'E始终等于BE，结合E是AB中点可知B'到定点E的距离恒为2，因此B'的轨迹是以E为圆心、2为半径的圆。根据圆的性质，圆外一点到圆上点的最大距离为该点到圆心的距离加半径，因此只需先计算点C到圆心E的距离EC，再加上半径即可得到B'C的最大值。计算EC时可通过作高构造直角三角形，结合锐角三角函数和勾股定理求解。
【解析】
1. 确定B'的运动轨迹
∵点E是AB的中点，AB=4，
∴$AE=BE=\frac{1}{2}AB=2$。
由折叠的性质可得$B'E=BE=2$，
∴点B'在以E为圆心，半径$r=2$的圆上运动。
2. 计算EC的长度
过点E作$EH ⊥ AC$，垂足为H，
在$Rt△ AEH$中，$AE=2$，$∠ EAH=∠ BAC=60°$，
∴$AH=AE·\cos60°=2×\frac{1}{2}=1$，
$EH=AE·\sin60°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$。
∵$AC=6$，
∴$HC=AC-AH=6-1=5$。
在$Rt△ EHC$中，由勾股定理得：
$EC=\sqrt{EH^2+HC^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2+5^2}=\sqrt{3+25}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$。
3. 求B'C的最大值
根据圆外一点到圆上点的最大距离等于点到圆心的距离加半径，可得：
$B'C_{\mathrm{max}}=EC+r=2\sqrt{7}+2$。
【答案】
$2+2\sqrt{7}$
【知识点】
折叠的性质，圆的最值性质，勾股定理
【点评】
本题属于几何最值综合题，解题的核心是判断翻折后动点的运动轨迹，将线段最值问题转化为点到圆的距离问题，考查了学生对几何变换性质和圆相关性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
