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4. 若△ABC的三边长分别为5，12，13，则其外接圆的半径是
$\frac{13}{2}$
。答案
4. $\frac{13}{2}$
解析
【分析】
解题时首先观察三角形三边长，发现5、12、13是常见的勾股数，因此第一步可通过勾股定理的逆定理判断三角形的形状；确认是直角三角形后，回忆三角形外接圆的相关性质：直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆的直径等于斜边的长度，因此外接圆半径为斜边长的一半，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$，$13^2 = 169$
∴ $5^2 + 12^2 = 13^2$
根据勾股定理的逆定理可得，$△ ABC$是直角三角形，且斜边长为13。
∵ 直角三角形外接圆的直径等于斜边的长度，即$2R = 13$
∴ 外接圆的半径$R = \frac{13}{2}$
【答案】
$\frac{13}{2}$
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形外接圆性质
【点评】
本题为基础题，解题关键是先判定三角形为直角三角形，再结合直角三角形外接圆的特征计算半径，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察三角形三边长，发现5、12、13是常见的勾股数，因此第一步可通过勾股定理的逆定理判断三角形的形状；确认是直角三角形后，回忆三角形外接圆的相关性质：直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆的直径等于斜边的长度，因此外接圆半径为斜边长的一半，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$，$13^2 = 169$
∴ $5^2 + 12^2 = 13^2$
根据勾股定理的逆定理可得，$△ ABC$是直角三角形，且斜边长为13。
∵ 直角三角形外接圆的直径等于斜边的长度，即$2R = 13$
∴ 外接圆的半径$R = \frac{13}{2}$
【答案】
$\frac{13}{2}$
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形外接圆性质
【点评】
本题为基础题，解题关键是先判定三角形为直角三角形，再结合直角三角形外接圆的特征计算半径，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5. 在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示.
(1)作出△ABC的外接圆⊙D；
(2)点D的坐标为
(3)△ABC外接圆的半径长为
(1)作出△ABC的外接圆⊙D；
(2)点D的坐标为
$(3,4)$
；(3)△ABC外接圆的半径长为
$\sqrt{10}$
.答案
5. (1)略 (2)(3，4) (3)$\sqrt{10}$
解析
【分析】
要解决本题，首先明确三角形外接圆的圆心（外心）是三角形三边垂直平分线的交点，外心到三个顶点的距离相等。①作外接圆时，只需作出任意两边的垂直平分线，交点即为圆心，再以圆心到顶点的距离为半径画圆即可；②求圆心坐标时，先观察AB边平行于x轴，可快速得到AB的垂直平分线为直线x=3，设出圆心坐标后，利用外心到A、C两点距离相等列方程求解；③求半径时，利用两点间距离公式计算圆心到任意顶点的距离即可。
【解析】
首先由图可得各点坐标：$A(2,1)$，$B(4,1)$，$C(0,3)$。
(1) 分别作边AB、AC的垂直平分线，两条垂直平分线交于点D，以D为圆心，DA的长度为半径作圆，$\odot D$即为所求的$△ ABC$的外接圆；
(2) $\because$点A坐标为$(2,1)$，点B坐标为$(4,1)$，$\therefore AB$平行于x轴，AB的中点坐标为$(\frac{2+4}{2},\frac{1+1}{2})=(3,1)$，因此AB的垂直平分线为直线$x=3$，即圆心D的横坐标为3，设D的坐标为$(3,m)$。
$\because D$是$△ ABC$的外心，$\therefore DC=DA$，根据两点间距离公式：
$DC^2=(3-0)^2+(m-3)^2=9+(m-3)^2$，
$DA^2=(3-2)^2+(m-1)^2=1+(m-1)^2$，
列等式得：$9+(m-3)^2=1+(m-1)^2$，
展开化简：$9+m^2-6m+9=1+m^2-2m+1$，
即$18-6m=2-2m$，解得$m=4$，
$\therefore$点D的坐标为$(3,4)$；
(3) 外接圆半径为DA的长度，代入两点间距离公式：
$DA=\sqrt{(3-2)^2+(4-1)^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$，即外接圆半径为$\sqrt{10}$。
【答案】
(1)略；(2)$(3,4)$；(3)$\sqrt{10}$
【知识点】
三角形外心的性质，垂直平分线的性质，两点间距离公式
【点评】
本题重点考查三角形外接圆的相关性质，解题的核心是抓住外心到三角形三个顶点距离相等的特点，结合坐标系的特征简化计算，属于基础类题目，掌握外心的定义是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先明确三角形外接圆的圆心（外心）是三角形三边垂直平分线的交点，外心到三个顶点的距离相等。①作外接圆时，只需作出任意两边的垂直平分线，交点即为圆心，再以圆心到顶点的距离为半径画圆即可；②求圆心坐标时，先观察AB边平行于x轴，可快速得到AB的垂直平分线为直线x=3，设出圆心坐标后，利用外心到A、C两点距离相等列方程求解；③求半径时，利用两点间距离公式计算圆心到任意顶点的距离即可。
【解析】
首先由图可得各点坐标：$A(2,1)$，$B(4,1)$，$C(0,3)$。
(1) 分别作边AB、AC的垂直平分线，两条垂直平分线交于点D，以D为圆心，DA的长度为半径作圆，$\odot D$即为所求的$△ ABC$的外接圆；
(2) $\because$点A坐标为$(2,1)$，点B坐标为$(4,1)$，$\therefore AB$平行于x轴，AB的中点坐标为$(\frac{2+4}{2},\frac{1+1}{2})=(3,1)$，因此AB的垂直平分线为直线$x=3$，即圆心D的横坐标为3，设D的坐标为$(3,m)$。
$\because D$是$△ ABC$的外心，$\therefore DC=DA$，根据两点间距离公式：
$DC^2=(3-0)^2+(m-3)^2=9+(m-3)^2$，
$DA^2=(3-2)^2+(m-1)^2=1+(m-1)^2$，
列等式得：$9+(m-3)^2=1+(m-1)^2$，
展开化简：$9+m^2-6m+9=1+m^2-2m+1$，
即$18-6m=2-2m$，解得$m=4$，
$\therefore$点D的坐标为$(3,4)$；
(3) 外接圆半径为DA的长度，代入两点间距离公式：
$DA=\sqrt{(3-2)^2+(4-1)^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$，即外接圆半径为$\sqrt{10}$。
【答案】
(1)略；(2)$(3,4)$；(3)$\sqrt{10}$
【知识点】
三角形外心的性质，垂直平分线的性质，两点间距离公式
【点评】
本题重点考查三角形外接圆的相关性质，解题的核心是抓住外心到三角形三个顶点距离相等的特点，结合坐标系的特征简化计算，属于基础类题目，掌握外心的定义是解题的关键。
【难度系数】
0.7
6. 如图，在$△ ABC$中，$BC=12\ \mathrm{cm}$，$AB=AC$，$∠ BAC=120°$。
(1)作$△ ABC$的外接圆(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)求$△ ABC$的外接圆的直径。
(1)作$△ ABC$的外接圆(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)求$△ ABC$的外接圆的直径。
答案
(1)图略 (2)$8\sqrt{3}$
解析
【分析】
(1) 作三角形外接圆的核心是找到外心，外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等。本题中△ABC是等腰三角形，外心一定在BC的垂直平分线上，只需分别作出BC、AB的垂直平分线，交点即为外接圆圆心，再以该点为圆心，到任意顶点的距离为半径画圆即可。
(2) 求外接圆直径时，先利用等腰三角形三线合一求出BC一半的长度，再结合圆周角定理得到劣弧BC对应的圆心角度数，通过垂径定理构造含特殊角的直角三角形，利用特殊角的三角函数值求出半径，进而得到直径。
【解析】
(1) 作图略，作图提示：分别作BC和AB的垂直平分线，两线交于点O，以O为圆心、OA长为半径作圆，即为△ABC的外接圆。
(2) 解：设△ABC的外接圆圆心为O，连接OB、OC，过O作OD⊥BC于点D。
∵ ∠BAC=120°，∠BAC是优弧BC所对的圆周角，
∴ 优弧BC的度数为$2×120°=240°$，
∴ 劣弧BC对应的圆心角$∠ BOC=360°-240°=120°$。
∵ OB=OC，OD⊥BC，$BC=12\ \mathrm{cm}$，
∴ $BD=\frac{1}{2}BC=6\ \mathrm{cm}$，$∠ BOD=\frac{1}{2}∠ BOC=60°$。
在$Rt△ BOD$中，$\sin∠ BOD=\frac{BD}{OB}$，
代入$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，得$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{6}{OB}$，
解得$OB=4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，
∴ △ABC外接圆的直径为$2OB=8\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 图略；(2) $8\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
三角形外接圆的作法，垂径定理，圆周角定理
【点评】
本题结合等腰三角形的性质考查了三角形外接圆的作图及半径计算，解题的关键是明确外心的性质，灵活运用垂径定理和特殊角的三角函数值求解，注重对基础作图能力和几何计算能力的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 作三角形外接圆的核心是找到外心，外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等。本题中△ABC是等腰三角形，外心一定在BC的垂直平分线上，只需分别作出BC、AB的垂直平分线，交点即为外接圆圆心，再以该点为圆心，到任意顶点的距离为半径画圆即可。
(2) 求外接圆直径时，先利用等腰三角形三线合一求出BC一半的长度，再结合圆周角定理得到劣弧BC对应的圆心角度数，通过垂径定理构造含特殊角的直角三角形，利用特殊角的三角函数值求出半径，进而得到直径。
【解析】
(1) 作图略，作图提示：分别作BC和AB的垂直平分线，两线交于点O，以O为圆心、OA长为半径作圆，即为△ABC的外接圆。
(2) 解：设△ABC的外接圆圆心为O，连接OB、OC，过O作OD⊥BC于点D。
∵ ∠BAC=120°，∠BAC是优弧BC所对的圆周角，
∴ 优弧BC的度数为$2×120°=240°$，
∴ 劣弧BC对应的圆心角$∠ BOC=360°-240°=120°$。
∵ OB=OC，OD⊥BC，$BC=12\ \mathrm{cm}$，
∴ $BD=\frac{1}{2}BC=6\ \mathrm{cm}$，$∠ BOD=\frac{1}{2}∠ BOC=60°$。
在$Rt△ BOD$中，$\sin∠ BOD=\frac{BD}{OB}$，
代入$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，得$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{6}{OB}$，
解得$OB=4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，
∴ △ABC外接圆的直径为$2OB=8\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 图略；(2) $8\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
三角形外接圆的作法，垂径定理，圆周角定理
【点评】
本题结合等腰三角形的性质考查了三角形外接圆的作图及半径计算，解题的关键是明确外心的性质，灵活运用垂径定理和特殊角的三角函数值求解，注重对基础作图能力和几何计算能力的考查。
【难度系数】
0.7
1. 下列说法正确的是(
A.三角形的外心是三角形三条高的交点
B.钝角三角形的外心一定在三角形外
C.三角形的外心到三角形三边的距离相等
D.一个圆有且只有一个内接三角形
B
).A.三角形的外心是三角形三条高的交点
B.钝角三角形的外心一定在三角形外
C.三角形的外心到三角形三边的距离相等
D.一个圆有且只有一个内接三角形
答案
1. B
解析
【分析】
本题考查三角形外心、圆内接三角形的相关概念辨析，解题时需先回忆各知识点的准确内容，再逐一排查每个选项的正误，最终选出正确选项。首先明确三角形外心是三边垂直平分线的交点，结合其性质、不同三角形外心的位置，以及圆内接三角形的定义逐一判断即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：三角形的外心是三条边垂直平分线的交点，而三条高的交点是三角形的垂心，故A错误；
B选项：锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在斜边的中点处，钝角三角形的外心在三角形外部，故B正确；
C选项：三角形的外心到三个顶点的距离相等，到三边距离相等的是三角形的内心（三条角平分线的交点），故C错误；
D选项：圆上任意取三个不共线的点都可以构成一个圆的内接三角形，因此一个圆有无数个内接三角形，故D错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
1. 三角形外心的性质
2. 圆的内接三角形
【点评】
本题是基础概念类选择题，重点考查对相关几何概念的记忆和辨析能力，解题的关键是区分开三角形外心、内心、垂心的不同性质，牢记不同类型三角形外心的位置特点，避免概念混淆即可得分。
【难度系数】
0.8
本题考查三角形外心、圆内接三角形的相关概念辨析，解题时需先回忆各知识点的准确内容，再逐一排查每个选项的正误，最终选出正确选项。首先明确三角形外心是三边垂直平分线的交点，结合其性质、不同三角形外心的位置，以及圆内接三角形的定义逐一判断即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：三角形的外心是三条边垂直平分线的交点，而三条高的交点是三角形的垂心，故A错误；
B选项：锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在斜边的中点处，钝角三角形的外心在三角形外部，故B正确；
C选项：三角形的外心到三个顶点的距离相等，到三边距离相等的是三角形的内心（三条角平分线的交点），故C错误；
D选项：圆上任意取三个不共线的点都可以构成一个圆的内接三角形，因此一个圆有无数个内接三角形，故D错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
1. 三角形外心的性质
2. 圆的内接三角形
【点评】
本题是基础概念类选择题，重点考查对相关几何概念的记忆和辨析能力，解题的关键是区分开三角形外心、内心、垂心的不同性质，牢记不同类型三角形外心的位置特点，避免概念混淆即可得分。
【难度系数】
0.8
