4. 如图，A，B，C为$\odot O$上的三点，$∠ OBC = 55°$，$∠ OAC = 35°$. 求$∠ AOB$的度数. 第4题

$∠AOB=40°$

【分析】
解题时首先观察到OA、OB、OC都是圆的半径，根据圆的半径相等可得△OAC和△OBC均为等腰三角形，再利用等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和定理分别求出∠AOC和∠BOC的度数，最后通过两角作差即可得到∠AOB的度数。
【解析】
解：
∵OA、OB、OC都是$\odot O$的半径
∴$OA=OC$，$OB=OC$
∴$△ OAC$和$△ OBC$都是等腰三角形
∴$∠ OAC=∠ OCA=35°$，$∠ OBC=∠ OCB=55°$
在$△ OAC$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ AOC=180°-∠ OAC-∠ OCA=180°-35°-35°=110°$
在$△ OBC$中，同理可得：
$∠ BOC=180°-∠ OBC-∠ OCB=180°-55°-55°=70°$
∴$∠ AOB=∠ AOC-∠ BOC=110°-70°=40°$
【答案】
$∠ AOB=40°$
【知识点】
圆的半径相等；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础角度计算题，核心是通过圆的半径相等构造等腰三角形，再结合三角形内角和公式求解角度，解题时要注意观察图形中角的和差关系。
【难度系数】
0.7

1. 下列条件中，能确定一个圆的是().

A.以点O为圆心
B.以3 cm长为半径
C.经过已知点A，且半径为2 cm
D.以点O为圆心，$\sqrt{3}$ cm长为半径

1. D

【分析】
确定一个圆需要同时满足两个核心条件：一是确定圆心（决定圆的位置），二是确定半径（决定圆的大小），二者缺一不可。解题时只需逐个判断选项是否同时给出了明确的圆心和半径，即可选出正确答案。
【解析】
根据圆的确定规则：只有同时明确圆心和半径，才能确定唯一的圆。
选项A：仅给出圆心O，未指定半径，可画出无数个大小不同的圆，无法确定唯一的圆，不符合要求；
选项B：仅给出半径3cm，未指定圆心，可画出无数个位置不同的圆，无法确定唯一的圆，不符合要求；
选项C：仅给出半径2cm和圆过点A，圆心可选取平面内到点A距离为2cm的任意点，可画出无数个圆，无法确定唯一的圆，不符合要求；
选项D：同时给出了明确的圆心O和半径√3cm，两个条件齐备，可确定唯一的圆，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
确定圆的条件
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是牢记确定圆必须同时具备圆心和半径两个要素，做题时注意不要遗漏任一条件即可快速作答。
【难度系数】
0.9

2. 根据尺规作图的痕迹，可以判定点O为△ABC外心的是().

2. C

【分析】
要判断点O是不是△ABC的外心，首先明确三角形外心的定义：外心是三角形三边垂直平分线的交点，因此我们需要识别各选项的尺规作图痕迹，找到交点是两条边垂直平分线的选项即可。首先区分两种常见尺规作图的痕迹特征：①作角平分线：在角的两侧画弧，交点落在角内部；②作线段垂直平分线：分别以线段两端点为圆心画弧，线段上下各有一个交点，连接两交点即为垂直平分线。带着这个特征逐一分析选项即可。
【解析】
三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，据此逐一分析选项：
A选项：作图痕迹是∠B和∠C的角平分线，交点为三角形的内心（角平分线的交点），不符合外心定义，排除；
B选项：作图痕迹是∠B的角平分线和BC边的垂直平分线，不是两条边垂直平分线的交点，不符合要求，排除；
C选项：作图痕迹是AB边和BC边的垂直平分线，两条边垂直平分线的交点即为三角形的外心，符合要求；
D选项：作图痕迹是∠C的角平分线和AB边的垂直平分线，不是两条边垂直平分线的交点，不符合要求，排除。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形外心定义；尺规作图识别；线段垂直平分线
【点评】
本题重点考查三角形外心的概念和常见尺规作图痕迹的辨认，属于基础类题目，解题的关键是牢记外心的本质是三角形三边垂直平分线的交点，能够准确区分角平分线和垂直平分线的作图特征即可快速解答。
【难度系数】
0.7

3. 用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于$45°$”时，应假设直角三角形中().

A.两锐角都小于$45°$
B.有一个锐角小于$45°$
C.有一个锐角大于$45°$
D.两锐角都大于$45°$

3. D

【分析】
要解决这道题，首先明确本题考查反证法的假设步骤，思考逻辑如下：第一步，回忆反证法的核心要求：证明命题前需先假设原命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；第二步，拆分原命题的结论：“直角三角形中至少有一个锐角不大于45°”，其中“至少有一个”的反面是“两个都（不存在一个）”，“不大于45°”即≤45°，它的反面是“大于45°”；第三步，将两部分否定结合，就能得到要假设的内容，对应选项即可得到答案。
【解析】
根据反证法的规则，证明命题时首先假设原命题的结论不成立，即结论的反面成立。
原命题的结论为：直角三角形中至少有一个锐角不大于45°（也就是至少有一个锐角≤45°）。
其中“至少有一个”的否定为“两个都”，“不大于45°”的否定为“大于45°”，因此结论的反面为：直角三角形中两个锐角都大于45°，即应假设两锐角都大于45°。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
反证法；命题的否定
【点评】
本题考查反证法的基础应用，解题关键是准确掌握常见限定表述的否定形式，属于对基础概念的考查，掌握反证法的基本步骤就能快速作答。
【难度系数】
0.8