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6. 如图，在$△ ABC$中，$CE$，$BD$分别是$AB$，$AC$边上的高. 求证：$B$，$C$，$D$，$E$四点在同一个圆上.
答案
证明略(提示：取BC中点O，连接OE，OD，证明OE=OB=OC=OD.)
解析
【分析】
要证明四个点在同一个圆上，可依据圆的定义：若多个点到同一个定点的距离相等，则这些点在同一个圆上。观察图形可得，△BCE和△BCD均为直角三角形，且公共斜边为BC，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，取BC的中点作为定点，只需证明该中点到B、C、D、E四个点的距离相等即可完成证明。
【解析】
证明：取BC的中点O，连接OE、OD。
∵ CE是AB边上的高，
∴ ∠BEC=90°，△BEC为直角三角形。
∵ O是Rt△BEC斜边BC的中点，
∴ $OE = OB = OC = \frac{1}{2}BC$。
同理，BD是AC边上的高，∠BDC=90°，△BDC为直角三角形，
O是Rt△BDC斜边BC的中点，
∴ $OD = OB = OC = \frac{1}{2}BC$。
综上可得$OE = OD = OB = OC$，
∴ B、C、D、E四点到定点O的距离相等，都在以O为圆心，OB长为半径的圆上。
【答案】
B、C、D、E四点在同一个圆上，证明如上。
【知识点】
圆的定义；直角三角形斜边中线性质；四点共圆判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是结合直角三角形的特征构造辅助线找到圆心，能帮助学生巩固圆的基本概念，掌握四点共圆的基础判定方法。
【难度系数】
0.7
要证明四个点在同一个圆上，可依据圆的定义：若多个点到同一个定点的距离相等，则这些点在同一个圆上。观察图形可得，△BCE和△BCD均为直角三角形，且公共斜边为BC，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，取BC的中点作为定点，只需证明该中点到B、C、D、E四个点的距离相等即可完成证明。
【解析】
证明：取BC的中点O，连接OE、OD。
∵ CE是AB边上的高，
∴ ∠BEC=90°，△BEC为直角三角形。
∵ O是Rt△BEC斜边BC的中点，
∴ $OE = OB = OC = \frac{1}{2}BC$。
同理，BD是AC边上的高，∠BDC=90°，△BDC为直角三角形，
O是Rt△BDC斜边BC的中点，
∴ $OD = OB = OC = \frac{1}{2}BC$。
综上可得$OE = OD = OB = OC$，
∴ B、C、D、E四点到定点O的距离相等，都在以O为圆心，OB长为半径的圆上。
【答案】
B、C、D、E四点在同一个圆上，证明如上。
【知识点】
圆的定义；直角三角形斜边中线性质；四点共圆判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是结合直角三角形的特征构造辅助线找到圆心，能帮助学生巩固圆的基本概念，掌握四点共圆的基础判定方法。
【难度系数】
0.7
1. 如图，点M，N在半圆O上，点P在$\overset{\frown}{MN}$上，且不与M，N重合，点A，B分别在OM，ON上，四边形PAOB是矩形. 当点P在$\overset{\frown}{MN}$上移动时，矩形PAOB的形状、大小随之变化，则线段AB的长度(
A.变小
B.变大
C.不能确定
D.不变
D
).A.变小
B.变大
C.不能确定
D.不变
答案
1. D
解析
【分析】
解题时首先观察图形，已知四边形PAOB是矩形，我们可以联想到矩形对角线相等的性质，AB是矩形的一条对角线，另一条对角线是OP；而OP是半圆O的半径，同一个半圆的半径长度是固定不变的，因此只要推导出AB和OP的等量关系，就能判断AB的长度变化情况。
【解析】
连接OP，
∵四边形PAOB是矩形，
∴矩形的对角线相等，即$AB=OP$。
又
∵OP是半圆O的半径，在同一个圆中，所有半径的长度都相等，为定值，
∴AB的长度也为定值，不随点P的移动发生变化。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
矩形的性质；同圆半径相等
【点评】
本题是基础的几何性质应用题，将矩形的对角线性质与圆的半径特征结合考查，解题的突破口是借助矩形对角线相等建立AB和圆半径的等量关系，能很好地检验对基础几何性质的理解和运用能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察图形，已知四边形PAOB是矩形，我们可以联想到矩形对角线相等的性质，AB是矩形的一条对角线，另一条对角线是OP；而OP是半圆O的半径，同一个半圆的半径长度是固定不变的，因此只要推导出AB和OP的等量关系，就能判断AB的长度变化情况。
【解析】
连接OP，
∵四边形PAOB是矩形，
∴矩形的对角线相等，即$AB=OP$。
又
∵OP是半圆O的半径，在同一个圆中，所有半径的长度都相等，为定值，
∴AB的长度也为定值，不随点P的移动发生变化。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
矩形的性质；同圆半径相等
【点评】
本题是基础的几何性质应用题，将矩形的对角线性质与圆的半径特征结合考查，解题的突破口是借助矩形对角线相等建立AB和圆半径的等量关系，能很好地检验对基础几何性质的理解和运用能力。
【难度系数】
0.8
2. 如图，AC是直径为8的$\odot O$的弦，点B为$\odot O$上的一个动点。若M，N分别为AC，BC中点，则MN的最大值是
4
。答案
2. 4
解析
【分析】
解题时首先观察到M、N是两条边的中点，可联想到三角形中位线定理，得到MN与AB的数量关系，将求MN的最大值转化为求弦AB的最大值；再结合圆的性质，圆中最长的弦是直径，已知圆的直径即可得到AB的最大值，代入数量关系就能求出MN的最大值。
【解析】
解：
∵M、N分别为AC、BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$MN=\frac{1}{2}AB$。
∵AB是⊙O的弦，⊙O的直径为8，且圆内最长的弦为直径，
∴AB的最大值为8，
∴$MN_{max}=\frac{1}{2}×8=4$。
【答案】
4
【知识点】
三角形中位线定理，圆的基本性质
【点评】
本题将线段最值问题和圆的性质、三角形中位线定理结合考查，核心是通过中位线实现问题转化，掌握圆中最长弦为直径是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察到M、N是两条边的中点，可联想到三角形中位线定理，得到MN与AB的数量关系，将求MN的最大值转化为求弦AB的最大值；再结合圆的性质，圆中最长的弦是直径，已知圆的直径即可得到AB的最大值，代入数量关系就能求出MN的最大值。
【解析】
解：
∵M、N分别为AC、BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$MN=\frac{1}{2}AB$。
∵AB是⊙O的弦，⊙O的直径为8，且圆内最长的弦为直径，
∴AB的最大值为8，
∴$MN_{max}=\frac{1}{2}×8=4$。
【答案】
4
【知识点】
三角形中位线定理，圆的基本性质
【点评】
本题将线段最值问题和圆的性质、三角形中位线定理结合考查，核心是通过中位线实现问题转化，掌握圆中最长弦为直径是解题的关键。
【难度系数】
0.7
3. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的⊙D.
(1)若r=4，则点A在⊙D
(2)当r=
(3)若A，B，C至少有一点在⊙D内，且至少有一点在⊙D外，则半径r的取值范围是
(1)若r=4，则点A在⊙D
内
，点B在⊙D外
，点C在⊙D上
.(2)当r=
5
，点B在⊙D上；若点B不在⊙D外，则r的取值范围是$r≥5$
.(3)若A，B，C至少有一点在⊙D内，且至少有一点在⊙D外，则半径r的取值范围是
$3＜r＜5$
.答案
3. (1)内 外 上 (2)5 $r≥5$ (3)$3＜r＜5$
解析
【分析】
判断点与圆的位置关系的核心依据是：设点到圆心的距离为$d$，圆的半径为$r$，若$d＜r$，点在圆内；若$d=r$，点在圆上；若$d＞r$，点在圆外。解题时首先结合矩形的性质和勾股定理，计算出$A、B、C$三点到圆心$D$的距离：$AD=3$，$CD=AB=4$，连接$BD$，由勾股定理得$BD=\sqrt{AD^2+AB^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，再将各点到$D$的距离和半径$r$对比即可求解各问。
【解析】
先计算矩形各顶点到圆心$D$的距离：$AD=3$，$CD=4$，$BD=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
(1)当$r=4$时：
$AD=3＜4$，故点$A$在$⊙D$内；
$BD=5＞4$，故点$B$在$⊙D$外；
$CD=4=r$，故点$C$在$⊙D$上。
(2)点$B$在$⊙D$上时，$r=BD=5$；
点$B$不在$⊙D$外，即点$B$在圆上或圆内，因此$r≥ BD$，即$r≥5$。
(3)$A、B、C$三点到$D$的最小距离为$AD=3$，最大距离为$BD=5$：
要使至少有1个点在圆内，需$r＞3$；要使至少有1个点在圆外，需$r＜5$，因此$r$的取值范围是$3＜r＜5$。
【答案】
(1)内 外 上 (2)$5$ $r≥5$ (3)$3＜r＜5$
【知识点】
点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质
【点评】
本题考查点和圆位置关系的判定，解题的关键是熟记位置关系的判定规则，结合矩形性质和勾股定理求出各点到圆心的距离，属于基础类题型，掌握判定方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
判断点与圆的位置关系的核心依据是：设点到圆心的距离为$d$，圆的半径为$r$，若$d＜r$，点在圆内；若$d=r$，点在圆上；若$d＞r$，点在圆外。解题时首先结合矩形的性质和勾股定理，计算出$A、B、C$三点到圆心$D$的距离：$AD=3$，$CD=AB=4$，连接$BD$，由勾股定理得$BD=\sqrt{AD^2+AB^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，再将各点到$D$的距离和半径$r$对比即可求解各问。
【解析】
先计算矩形各顶点到圆心$D$的距离：$AD=3$，$CD=4$，$BD=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
(1)当$r=4$时：
$AD=3＜4$，故点$A$在$⊙D$内；
$BD=5＞4$，故点$B$在$⊙D$外；
$CD=4=r$，故点$C$在$⊙D$上。
(2)点$B$在$⊙D$上时，$r=BD=5$；
点$B$不在$⊙D$外，即点$B$在圆上或圆内，因此$r≥ BD$，即$r≥5$。
(3)$A、B、C$三点到$D$的最小距离为$AD=3$，最大距离为$BD=5$：
要使至少有1个点在圆内，需$r＞3$；要使至少有1个点在圆外，需$r＜5$，因此$r$的取值范围是$3＜r＜5$。
【答案】
(1)内 外 上 (2)$5$ $r≥5$ (3)$3＜r＜5$
【知识点】
点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质
【点评】
本题考查点和圆位置关系的判定，解题的关键是熟记位置关系的判定规则，结合矩形性质和勾股定理求出各点到圆心的距离，属于基础类题型，掌握判定方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
