登录
2. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M. 下列结论不一定成立的是(
A.$CM=DM$
B.$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}$
C.$AD=2BD$
D.$∠BCD=∠BDC$
C
).A.$CM=DM$
B.$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}$
C.$AD=2BD$
D.$∠BCD=∠BDC$
答案
2. C
解析
【分析】
本题考查垂径定理及圆的相关性质的应用，解题思路如下：首先明确已知条件：AB是⊙O的直径，且AB垂直于弦CD；接下来回忆垂径定理的内容，先验证A、B两个选项，再结合同圆中等弧对应的圆周角、弦的关系验证剩余选项，排除一定成立的选项，即可得到不一定成立的结论。
【解析】
已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，根据垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧）分析各选项：
选项A：直径AB垂直CD，因此AB平分CD，即$CM=DM$，结论一定成立；
选项B：直径AB垂直CD，因此AB平分CD所对的两条弧，即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}$，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，结论一定成立；
选项D：由$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，根据同圆中等弧所对的圆周角相等，可得$\overset{\frown}{BC}$对应的∠BDC与$\overset{\frown}{BD}$对应的∠BCD相等，即$∠BCD=∠BDC$，结论一定成立；
选项C：题中无条件可证明$\overset{\frown}{AD}$的长度是$\overset{\frown}{BD}$的2倍，因此无法推出$AD=2BD$，该结论不一定成立。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；圆周角性质；圆的基本性质
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查垂径定理的应用，解题的关键是熟练掌握圆中弧、弦、圆周角之间的对应关系，逐项验证即可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
本题考查垂径定理及圆的相关性质的应用，解题思路如下：首先明确已知条件：AB是⊙O的直径，且AB垂直于弦CD；接下来回忆垂径定理的内容，先验证A、B两个选项，再结合同圆中等弧对应的圆周角、弦的关系验证剩余选项，排除一定成立的选项，即可得到不一定成立的结论。
【解析】
已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，根据垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧）分析各选项：
选项A：直径AB垂直CD，因此AB平分CD，即$CM=DM$，结论一定成立；
选项B：直径AB垂直CD，因此AB平分CD所对的两条弧，即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}$，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，结论一定成立；
选项D：由$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，根据同圆中等弧所对的圆周角相等，可得$\overset{\frown}{BC}$对应的∠BDC与$\overset{\frown}{BD}$对应的∠BCD相等，即$∠BCD=∠BDC$，结论一定成立；
选项C：题中无条件可证明$\overset{\frown}{AD}$的长度是$\overset{\frown}{BD}$的2倍，因此无法推出$AD=2BD$，该结论不一定成立。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；圆周角性质；圆的基本性质
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查垂径定理的应用，解题的关键是熟练掌握圆中弧、弦、圆周角之间的对应关系，逐项验证即可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
3. 如图，AB是$\odot O$的直径，弦$CD\bot AB$，垂足为E. 如果$AB=10$，$CD=8$，那么AE的长为(
A.2
B.3
C.4
D.5
A
).A.2
B.3
C.4
D.5
答案
3. A
解析
【分析】
本题是圆中求线段长度的问题，解题思路如下：首先看到直径垂直于弦，可联想到垂径定理得到弦长的一半；接着连接半径构造直角三角形，利用勾股定理求出圆心到弦的距离；最后用半径减去圆心到弦的距离即可得到AE的长度。
【解析】
连接OC，
∵AB是$\odot O$的直径，$AB=10$，
∴$OC=OA=\frac{1}{2}AB=5$，
∵$CD\bot AB$，AB为直径，根据垂径定理可得：
$CE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×8=4$，
在$\mathrm{Rt}△ OCE$中，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{OC^2-CE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3$，
∴$AE=OA-OE=5-3=2$。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆章节的基础常规题，解题的关键是通过连接半径构造直角三角形，结合垂径定理和勾股定理求解线段长度，掌握这类方法是解决圆中线段计算问题的基础。
【难度系数】
0.8
本题是圆中求线段长度的问题，解题思路如下：首先看到直径垂直于弦，可联想到垂径定理得到弦长的一半；接着连接半径构造直角三角形，利用勾股定理求出圆心到弦的距离；最后用半径减去圆心到弦的距离即可得到AE的长度。
【解析】
连接OC，
∵AB是$\odot O$的直径，$AB=10$，
∴$OC=OA=\frac{1}{2}AB=5$，
∵$CD\bot AB$，AB为直径，根据垂径定理可得：
$CE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×8=4$，
在$\mathrm{Rt}△ OCE$中，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{OC^2-CE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3$，
∴$AE=OA-OE=5-3=2$。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆章节的基础常规题，解题的关键是通过连接半径构造直角三角形，结合垂径定理和勾股定理求解线段长度，掌握这类方法是解决圆中线段计算问题的基础。
【难度系数】
0.8
4. 下列命题正确的有
①弦的垂直平分线必过圆心；②平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦；
③圆中两条非直径的相交弦不能互相平分；④平分弦的直径垂直于弦.
①③
（填序号）.①弦的垂直平分线必过圆心；②平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦；
③圆中两条非直径的相交弦不能互相平分；④平分弦的直径垂直于弦.
答案
4. ①③
解析
【分析】
本题考查垂径定理及其推论的辨析，解题时需结合圆的基本性质，逐个验证每个命题是否满足相关定理的前提条件：首先明确垂径定理及推论的核心内容，尤其要注意“平分弦的直径垂直于弦”的前提是被平分的弦不是直径，“平分弧的直线垂直于弦”的前提是这条直线是过圆心的直径，通过逐一排查每个命题的限定条件是否完整，即可判断正误。
【解析】
我们对4个命题逐一判断：
1. 命题①：圆的圆心到弦两端点的距离均等于半径，因此圆心在弦的垂直平分线上，即弦的垂直平分线必过圆心，①正确；
2. 命题②：只有平分弧的直径才垂直于该弧所对的弦，任意过弧中点的直线都可平分弧，但不一定垂直于弧所对的弦，②错误；
3. 命题③：假设两条非直径的相交弦互相平分，根据垂径定理推论，连接圆心与两弦交点的直线需同时垂直于这两条弦，而同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行，与“两弦相交”矛盾，假设不成立，因此两条非直径的相交弦不能互相平分，③正确；
4. 命题④：平分弦（非直径）的直径垂直于弦，若被平分的弦是直径，两条直径互相平分但不一定垂直，该命题缺少“弦非直径”的前提，④错误。
综上，正确的命题为①③。
【答案】
①③
【知识点】
垂径定理及推论；圆的基本性质；真假命题判断
【点评】
本题是垂径定理相关的典型易错题，解题关键是准确掌握定理及推论的限定条件，避免遗漏“弦非直径”“直线为直径”等前提导致判断失误。
【难度系数】
0.7
本题考查垂径定理及其推论的辨析，解题时需结合圆的基本性质，逐个验证每个命题是否满足相关定理的前提条件：首先明确垂径定理及推论的核心内容，尤其要注意“平分弦的直径垂直于弦”的前提是被平分的弦不是直径，“平分弧的直线垂直于弦”的前提是这条直线是过圆心的直径，通过逐一排查每个命题的限定条件是否完整，即可判断正误。
【解析】
我们对4个命题逐一判断：
1. 命题①：圆的圆心到弦两端点的距离均等于半径，因此圆心在弦的垂直平分线上，即弦的垂直平分线必过圆心，①正确；
2. 命题②：只有平分弧的直径才垂直于该弧所对的弦，任意过弧中点的直线都可平分弧，但不一定垂直于弧所对的弦，②错误；
3. 命题③：假设两条非直径的相交弦互相平分，根据垂径定理推论，连接圆心与两弦交点的直线需同时垂直于这两条弦，而同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行，与“两弦相交”矛盾，假设不成立，因此两条非直径的相交弦不能互相平分，③正确；
4. 命题④：平分弦（非直径）的直径垂直于弦，若被平分的弦是直径，两条直径互相平分但不一定垂直，该命题缺少“弦非直径”的前提，④错误。
综上，正确的命题为①③。
【答案】
①③
【知识点】
垂径定理及推论；圆的基本性质；真假命题判断
【点评】
本题是垂径定理相关的典型易错题，解题关键是准确掌握定理及推论的限定条件，避免遗漏“弦非直径”“直线为直径”等前提导致判断失误。
【难度系数】
0.7
5. 如图，在$\odot O$中，AB，AC为互相垂直的两条弦，$OD⊥ AB$于点D，$OE⊥ AC$于点E。若$AB=4\ \mathrm{cm}$，$AC=3\ \mathrm{cm}$，则$\odot O$的半径为
2.5 cm
。答案
5. 2.5 cm
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件：出现了圆心到弦的垂线，优先考虑垂径定理，可求出弦AB、AC被垂足平分后的线段长度；再结合AB与AC互相垂直、OD⊥AB、OE⊥AC的条件，可判断四边形OEAD是矩形，得到OD与AE的等量关系；最后在直角三角形OAD中利用勾股定理即可求出圆的半径。
【解析】
解：
∵OD⊥AB，OD过圆心O，AB=4cm
根据垂径定理，得$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{cm}$
同理，
∵OE⊥AC，OE过圆心O，AC=3cm
得$AE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×3=1.5\ \mathrm{cm}$
又
∵AB⊥AC，OD⊥AB，OE⊥AC
∴∠OEA=∠A=∠ODA=90°
∴四边形OEAD是矩形
∴OD=AE=1.5cm
在Rt△OAD中，由勾股定理得：
$OA=\sqrt{AD^2+OD^2}=\sqrt{2^2+1.5^2}=\sqrt{4+2.25}=\sqrt{6.25}=2.5\ \mathrm{cm}$
即$\odot O$的半径为2.5cm。
【答案】
2.5 cm
【知识点】
垂径定理；矩形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是圆的基础应用题，解题的关键是熟练运用垂径定理得到弦长的一半，再通过矩形的性质完成线段的转化，结合勾股定理求出半径，是圆章节中常见的基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知条件：出现了圆心到弦的垂线，优先考虑垂径定理，可求出弦AB、AC被垂足平分后的线段长度；再结合AB与AC互相垂直、OD⊥AB、OE⊥AC的条件，可判断四边形OEAD是矩形，得到OD与AE的等量关系；最后在直角三角形OAD中利用勾股定理即可求出圆的半径。
【解析】
解：
∵OD⊥AB，OD过圆心O，AB=4cm
根据垂径定理，得$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{cm}$
同理，
∵OE⊥AC，OE过圆心O，AC=3cm
得$AE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×3=1.5\ \mathrm{cm}$
又
∵AB⊥AC，OD⊥AB，OE⊥AC
∴∠OEA=∠A=∠ODA=90°
∴四边形OEAD是矩形
∴OD=AE=1.5cm
在Rt△OAD中，由勾股定理得：
$OA=\sqrt{AD^2+OD^2}=\sqrt{2^2+1.5^2}=\sqrt{4+2.25}=\sqrt{6.25}=2.5\ \mathrm{cm}$
即$\odot O$的半径为2.5cm。
【答案】
2.5 cm
【知识点】
垂径定理；矩形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是圆的基础应用题，解题的关键是熟练运用垂径定理得到弦长的一半，再通过矩形的性质完成线段的转化，结合勾股定理求出半径，是圆章节中常见的基础题型。
【难度系数】
0.7
6. 已知$\odot O$的直径为10，弦$AB=6$，$P$为$AB$上的一个动点，则$OP$的取值范围是
$4≤ OP≤ 5$
。第5题答案
6. $4≤ OP≤ 5$
解析
【分析】
要确定OP的取值范围，需找到OP的最大值和最小值：①最大值：弦AB上距离圆心O最远的点是弦的两个端点A、B，此时OP的长度等于圆的半径；②最小值：根据垂线段最短，过O作AB的垂线段，该垂线段的长度就是OP的最小值。先求出圆的半径，再结合垂径定理得到半弦长，用勾股定理计算出垂线段的长度，即可得到OP的取值范围。
【解析】
已知$\odot O$的直径为10，因此$\odot O$的半径$OA=OB=5$。
过点O作$OM⊥AB$于点M，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，可得：
$AM=BM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$。
在$Rt△ OMA$中，由勾股定理得：
$OM=\sqrt{OA^2 - AM^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{25 - 9}=\sqrt{16}=4$。
∵P是AB上的动点，根据垂线段最短的性质：
当P与M重合时，OP取得最小值，最小值为4；
当P与A（或B）重合时，OP取得最大值，最大值为半径5。
因此OP的取值范围是$4≤OP≤5$。
【答案】
$4≤ OP≤ 5$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，垂线段最短
【点评】
本题属于基础常考题，解题的关键是明确圆中弦上动点到圆心的最值对应的位置，结合垂径定理和勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要确定OP的取值范围，需找到OP的最大值和最小值：①最大值：弦AB上距离圆心O最远的点是弦的两个端点A、B，此时OP的长度等于圆的半径；②最小值：根据垂线段最短，过O作AB的垂线段，该垂线段的长度就是OP的最小值。先求出圆的半径，再结合垂径定理得到半弦长，用勾股定理计算出垂线段的长度，即可得到OP的取值范围。
【解析】
已知$\odot O$的直径为10，因此$\odot O$的半径$OA=OB=5$。
过点O作$OM⊥AB$于点M，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，可得：
$AM=BM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$。
在$Rt△ OMA$中，由勾股定理得：
$OM=\sqrt{OA^2 - AM^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{25 - 9}=\sqrt{16}=4$。
∵P是AB上的动点，根据垂线段最短的性质：
当P与M重合时，OP取得最小值，最小值为4；
当P与A（或B）重合时，OP取得最大值，最大值为半径5。
因此OP的取值范围是$4≤OP≤5$。
【答案】
$4≤ OP≤ 5$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，垂线段最短
【点评】
本题属于基础常考题，解题的关键是明确圆中弦上动点到圆心的最值对应的位置，结合垂径定理和勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
1. 用如图所示的方法将半圆O折叠，使$\overset{\frown}{AF}$经过点O. 若折痕AF的长度为$\sqrt{6}$，则$\odot O$的半径为
$\sqrt{2}$
. 答案
1. $\sqrt{2}$
解析
【分析】
遇到折叠问题首先利用轴对称性质，折痕是对应点连线的垂直平分线；已知弦长AF求半径，可结合垂径定理，过圆心作弦的垂线构造直角三角形，再根据折叠性质得到垂线长度和半径的关系，最后用勾股定理列方程即可求解半径。
【解析】
设$\odot O$的半径为$r$，过点$O$作$OM ⊥ AF$于点$M$。
1. 根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此$AM = \frac{1}{2}AF = \frac{1}{2} × \sqrt{6} = \frac{\sqrt{6}}{2}$。
2. 由折叠的轴对称性质可知，点$O$关于折痕$AF$的对称点在$\overset{\frown}{AF}$上，且该对称点在$\odot O$上，因此点$O$到折痕$AF$的距离$OM = \frac{1}{2}r$。
3. 在$\mathrm{Rt}△ AOM$中，由勾股定理得$OA^2 = AM^2 + OM^2$，代入对应量得：
$r^2 = (\frac{\sqrt{6}}{2})^2 + (\frac{r}{2})^2$
展开计算得$r^2 = \frac{6}{4} + \frac{r^2}{4}$，移项化简得$\frac{3r^2}{4} = \frac{3}{2}$，解得$r^2=2$，因为半径为正数，所以$r=\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
垂径定理；折叠的性质；勾股定理
【点评】
本题结合了折叠的轴对称性质和圆的垂径定理，通过作辅助线构造直角三角形，利用方程思想求解半径，是圆的基本性质应用的典型题型，要求能灵活结合几何性质建立等量关系。
【难度系数】
0.6
遇到折叠问题首先利用轴对称性质，折痕是对应点连线的垂直平分线；已知弦长AF求半径，可结合垂径定理，过圆心作弦的垂线构造直角三角形，再根据折叠性质得到垂线长度和半径的关系，最后用勾股定理列方程即可求解半径。
【解析】
设$\odot O$的半径为$r$，过点$O$作$OM ⊥ AF$于点$M$。
1. 根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此$AM = \frac{1}{2}AF = \frac{1}{2} × \sqrt{6} = \frac{\sqrt{6}}{2}$。
2. 由折叠的轴对称性质可知，点$O$关于折痕$AF$的对称点在$\overset{\frown}{AF}$上，且该对称点在$\odot O$上，因此点$O$到折痕$AF$的距离$OM = \frac{1}{2}r$。
3. 在$\mathrm{Rt}△ AOM$中，由勾股定理得$OA^2 = AM^2 + OM^2$，代入对应量得：
$r^2 = (\frac{\sqrt{6}}{2})^2 + (\frac{r}{2})^2$
展开计算得$r^2 = \frac{6}{4} + \frac{r^2}{4}$，移项化简得$\frac{3r^2}{4} = \frac{3}{2}$，解得$r^2=2$，因为半径为正数，所以$r=\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
垂径定理；折叠的性质；勾股定理
【点评】
本题结合了折叠的轴对称性质和圆的垂径定理，通过作辅助线构造直角三角形，利用方程思想求解半径，是圆的基本性质应用的典型题型，要求能灵活结合几何性质建立等量关系。
【难度系数】
0.6
2. 点P在$\odot O$内，且$OP=6$，已知$\odot O$的半径为10，则过点P的弦的长度m的取值范围为________.
答案
$16≤ m≤ 20$
解析
【分析】
要确定过圆内点P的弦长取值范围，需先明确过圆内一点的弦的最值规律：①最长的弦是圆的直径，长度固定；②最短的弦是与过点P的半径垂直的弦，此时圆心到弦的距离最大，对应弦长最小。再结合垂径定理和勾股定理计算最短弦长，即可得到完整的取值范围。
【解析】
1. 求最长弦长：过圆内一点的最长弦为圆的直径，已知⊙O的半径为10，因此直径长为$2×10=20$，即弦长$m$的最大值为20。
2. 求最短弦长：过点P作垂直于OP的弦AB，连接半径OA。
根据垂径定理可知，OP垂直平分AB，因此$AP=\frac{1}{2}AB$。
在$Rt△ OPA$中，$OA=10$，$OP=6$，由勾股定理得：
$AP=\sqrt{OA^2-OP^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$，
因此$AB=2AP=16$，即弦长$m$的最小值为16。
综上，过点P的弦的长度$m$的取值范围为$16≤ m≤20$。
【答案】
$16≤ m≤ 20$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆内弦长最值
【点评】
本题考查圆内弦长取值范围的求解，解题核心是牢记过圆内定点的弦的最值规律，结合垂径定理和勾股定理即可快速计算，解题时注意最值对应的端点值是可以取到的。
【难度系数】
0.7
要确定过圆内点P的弦长取值范围，需先明确过圆内一点的弦的最值规律：①最长的弦是圆的直径，长度固定；②最短的弦是与过点P的半径垂直的弦，此时圆心到弦的距离最大，对应弦长最小。再结合垂径定理和勾股定理计算最短弦长，即可得到完整的取值范围。
【解析】
1. 求最长弦长：过圆内一点的最长弦为圆的直径，已知⊙O的半径为10，因此直径长为$2×10=20$，即弦长$m$的最大值为20。
2. 求最短弦长：过点P作垂直于OP的弦AB，连接半径OA。
根据垂径定理可知，OP垂直平分AB，因此$AP=\frac{1}{2}AB$。
在$Rt△ OPA$中，$OA=10$，$OP=6$，由勾股定理得：
$AP=\sqrt{OA^2-OP^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$，
因此$AB=2AP=16$，即弦长$m$的最小值为16。
综上，过点P的弦的长度$m$的取值范围为$16≤ m≤20$。
【答案】
$16≤ m≤ 20$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆内弦长最值
【点评】
本题考查圆内弦长取值范围的求解，解题核心是牢记过圆内定点的弦的最值规律，结合垂径定理和勾股定理即可快速计算，解题时注意最值对应的端点值是可以取到的。
【难度系数】
0.7
